1、谁最先到达顶点？,没有尾桨的直升飞机是怎么飞起来的?,质点系动量矩定理,质点系对固定点的动量矩定理,刚体定轴转动运动微分方程,质点系对质心的动量矩定理,刚体平面运动微分方程,一 质点的动量矩,质点系对固定点的动量矩定理,质点的动量矩是定位矢，其作用点在所选定的矩心O上。,代数量 右手法则,二 质点系的动量矩动量系的主矩,度量质点系整体运动的基本特征量,质点系中各质点的动量对点O之矩的矢量和：,质点系的动量矩是定位矢，其作用点在所选矩心O上。,质点系对轴的动量矩：,代数量 右手法则,质点系对O点的动量矩矢量LO在过该点的某坐标轴上的投影，等于质点系对该轴的动量矩。,例1：一双单摆在Oxy 平面内
2、振动.在图示瞬时角速度1 = 5rad/s , 2 = 10rad/s.如质点A,B的质量 m1 = m2 = 5kg OA=AB =1m。求在该瞬时质点系对O点的动量矩. (sin1= 0.6 ; sin2= 0.8),r1 = 0.8i + 0.6 j,r2 = 1.4i + 1.4 j,v1 = 1 r1,v2 = v1 + v21,= 5k (0.8i + 0.6 j),= -3i + 4 j,r1,r2,= 1 r1 + 2 (AB),= -3i + 4 j +10k (0.6i + 0.8 j ),= -11i + 10 j,LO = r1 m1v1 + r2 m2v2,=(0.8
3、i+0.6 j)5(-3i+4 j)+(1.4i +1.4 j)5(-11i +10 j),= 172 k,例：一双单摆在Oxy 平面内振动.在图示瞬时角速度1 = 5rad/s , 2 = 10rad/s.如质点A,B的质量m1 = m2 = 5kg OA=AB =1m。求在该瞬时质点系对O点的动量矩.(sin1= 0.6 ; sin2= 0.8),例题2：求质点系对C点和对 z 轴的动量矩。,解：根据动量矩的定义，有,质点系动量对某点之矩在通过该点坐标轴上的投影 等于质点系动量对该轴之矩,刚体的动量矩：,与刚体的运动形式有关,平移刚体：,刚体上各质点的速度均相等，即vi=v，则,平移刚体对
4、o点的动量矩 等于质量集中在质心处质点的动量矩,定轴转动刚体对转动轴的动量矩,Jz称为刚体对轴z的转动惯量(moment of inertial)。,定轴转动刚体对转轴的动量矩 等于刚体对转轴转动惯量与角速度的乘积,思考：对x、y轴的动量矩 ？,1. 回转半径（或称惯性半径）,2平行移轴定理,请问下列物体对固定轴的动量矩等于多少？,例3：求系统在此瞬时对O轴的动量矩。 设各杆长为L，质量为m,解：分别计算每个刚体对O轴的动量矩,例4：已知： ，求系统对Z轴的动量矩。,解：,系统对z轴的动量矩为：,分别求每个物体对z轴的动量矩,三 质点对固定点的动量矩定理,四 质点系对固定点的动量矩定理,质点系
5、对固定点的动量矩定理,质点系动量矩定理的投影形式即质点系相对定轴的动量矩定理,例5：系统如图所示， 弹簧刚度为k，原长 。求弹簧伸长s时，杆的加速度和O轴的约束力,解：取塔轮和杆为研究对象，进行受力分析和运动分析,系统对O轴的动量矩：,根据动量矩定理有,根据质心运动定理有,例6 两个质量为m1，m2的重物分别系在绳子的两端。两绳分别绕在半径为r1和r2并固结在一起的两鼓轮上，设两鼓轮对O轴的转动惯量为JO，重为W，求鼓轮的角加速度和轴承的约束力。,解题分析：,多少未知量？多少动力学方程？,例题7: 均质圆轮半径为R、质量为m。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求：重物下落的加
6、速度。,解：设圆轮的角速度和角加速度分别为 和 ，重物的加速度为aP。,圆轮对O轴的动量矩,重物对O的轴动量矩,系统对O的轴总动量矩,应用动量矩定理,aP=R,质点系对固定点的动量矩定理,五、动量矩守恒：,质点系对该轴的动量矩守恒,质点系对该点的动量矩守恒,例8：均质方板可绕中心铅垂轴 O 转动，初始时系统静止，若人以相对速度 u 沿板边自A向B行走，求图示瞬时板的角速度。已知：,解：取板和人为研究对象，系统对O轴的动量矩守恒,问题：若人相对板匀速行走，何时板的角加速度为零？,谁最先到达顶点？,由质点的动量矩守恒：,质点在 平面上运动,单位时间内质点轨迹半径扫过的面积为定常值 面积速度定理,1
7、）轨迹为平面曲线；,2）面积速度定理；,自学：P224,刚体定轴转动运动微分方程,一 刚体绕定轴转动运动微分方程,刚体定轴转动运动微分方程,例 题 9,图示钟摆简化模型中，已知均质细杆和均质圆盘的质量分别为m1 、m2 ，杆长为l，圆盘直径为d。试求：钟摆作小摆动时的周期。,分析受力，建立钟摆的运动微分方程,解：摆绕O轴作定轴转动。设j 为任意时刻转过的角度，规定逆时针为正。根据定轴转动的微分方程,根据转动惯量的定义,例9： 图示钟摆简化模型中，已知均质细杆和均质圆盘的质量分别为m1 、m2 ，杆长为l，圆盘直径为d。试求：钟摆作小摆动时的周期。,微小摆动时，,化为标准形式:,摆的周期为:,图
8、示钟摆简化模型中，已知均质细杆和均质圆盘的质量分别为m1 、m2 ，杆长为l，圆盘直径为d。试求：钟摆作小摆动时的周期。,质点系对质心的动量矩定理,一 质点系相对质心动量矩,1. 质点系相对于固定点O的动量矩与相对于质心C的动量矩之间的关系,质点系运动分解为随质心的平移和绕质心的转动时，计算质点系相对质心的动量矩，用绝对速度和相对速度结果相同。,例10：一双复摆在Oxy平面内振动.在图示瞬时, 角速度1= 5rad/s , 2=10rad/s.如杆OA,AB的质量m1=m2= 6kg OA = AB =1m. 求在该瞬时质点系对O点的动量矩. (sin1= 0.6 ; sin2= 0.8),解
9、：,vC = vA + vC1,C,LO = LO1 + LO2,= 1 r1+ 2 (AC),= -3i + 4 j +10k (0.3i + 0.4 j ) = -7i +7 j,例11 ：一双复摆在Oxy平面内振动.在图示瞬时, 角速度1= 5rad/，2=10rad/s.如杆OA,AB的质量m1=m2= 6kg OA = AB =1m.求在该瞬时质点系对O点的动量矩.(sin1= 0.6 ; sin2= 0.8),rc p =(1.1 i + j)(-42i +42 j) = 88.2 k,LO2 = (88.2 + 5) k = 93.2k,LO = 10k + 93.2k = 10
10、3.2k (kgm2/s),rc =1.1 i + j,p = -42i +42 j,rc,例题12：质量为m长度为l 的均质杆AB的一端靠在光滑的墙面 OA 上 ,另一端靠在光滑的地面OB上 ,如图所示 。图示瞬时杆AB的角速度为.求杆AB对O点的动量矩。,解：,C,vc,rc = 0.5l (i cos + j sin),vc = k 0.5l (- i cos - j sin )= 0.5l (i sin - j cos ),rcmvc = 0.5l (icos+jsin)0.5ml(isin-jcos)= - 0.25ml2 k,I,rc,解：取平移动系cxy,顺时针,半径为R，质量为
11、m车轮视为均质圆盘，在地面上滚动，其质心的速度为 ，角速度为 。求圆盘对O点的动量矩。,例13：,二 质点系相对质心动量矩定理,质点系相对质心动量矩定理,由该定理可知：,（1）质系相对质心的运动只与外力系对质心的主矩有关，而与内力无关。,（2）当外力系相对质心的主矩为零时，质系相对质心的动量矩守恒。,试分析： 由静止状态自由下落的猫，从四肢朝上转为朝下，在空中翻转180，其动量矩发生是否发生变化？,相对质心动量矩定理,（3）刚体平面运动时： 选质心C为基点：随C的平动绕基点C转动,试分析比较两式的不同之处,定轴转动时：,对轴的？对点的？,刚体平面运动的运动方程：,刚体平面运动微分方程,刚体平面
12、运动微分方程,选质心C为基点：随C的平动绕基点C转动,应用质心运动定理和相对质心动量矩定理：,刚体平面运动的微分方程,例14：图示圆柱体A的质量为m，在其中部绕以细绳，绳一端B固定。当BC铅垂时圆柱体沿绳子下落，其初速为零。求当圆柱体轴心降落了高度h时，圆柱体中心A的速度和绳子的拉力FT。,常量,半径为r 质量为m的均质圆盘在水平轨道运动，设盘关于质心C的回转半径为C，作用的主动力偶矩为M。如果与地面间的静滑动摩擦系数是fS，问力偶矩在什么范围内方能保证圆盘滚而不滑？,若圆盘纯滚动，有运动学补充关系：,P252,若圆盘纯滚动，应满足静滑动摩擦定律：,P252 半径为r 质量为m的均质圆盘在水平
13、轨道运动，设盘关于质心C的回转半径为C，作用的主动力偶矩为M。如果与地面间的静滑动摩擦系数是fS，问力偶矩在什么范围内方能保证圆盘滚而不滑？,P261 质量为m2长为l的均质杆AB，其一端铰接于半径为R质量为m1的均质圆轮的中心A，圆轮在水平面上作纯滚动，试列写系统运动微分方程。,解：系统具有两个自由度， 选图示广义坐标 xA 、 。,分析圆轮， 列写其运动微分方程：,运动学方程,分析AB杆，列写AB的运动微分方程,P276： 均质实心圆柱A和薄铁环B的质量均为m，半径都等于r，两者用杆AB铰接,无滑动地沿斜面滚下,斜面与水平面的夹角为，如杆的质量忽略不计，求杆AB的加速度和杆的内力。,整个系
14、统为研究对象？,AB为研究对象？,均质实心圆柱A和薄铁环B的质量均为m，半径都等于r，两者用杆AB铰接,无滑动地沿斜面滚下,斜面与水平面的夹角为，如杆的质量忽略不计，求杆AB的加速度和杆的内力。,多少未知量？ 多少动力学方程？ 多少运动学方程？,均质实心圆柱A和薄铁环B的质量均为m，半径都等于r，两球用杆AB铰接,无滑动地沿斜面滚下,斜面与水平面的夹角为，如杆的质量忽略不计，求杆AB的加速度和杆的内力。,实体A：,圆环B：,例题15： 跨过定滑轮D的细绳，一端缠绕在均质圆柱体A上，另一端系在光滑水平面上的物体B上，如图所示。已知圆柱A的半径为r，质量为m1；物块B的质量为m2。试求物块B和圆柱
15、质心C的加速度以及绳索的拉力。滑轮D和细绳的质量以及轴承摩擦忽略不计。,跨过定滑轮D的细绳，一端缠绕在均质圆柱体A上，另一端系在光滑水平面上的物体B上，如图所示。已知圆柱A的半径为r，质量为m1；物块B的质量为m2。试求物块B和圆柱质心C的加速度以及绳索的拉力。滑轮D和细绳的质量以及轴承摩擦忽略不计。,解：1、受力分析、运动分析,对物块B：,运动学关系：,多少未知量？多少动力学方程？,？假设、 aC方向,由受力判断、 aC方向！,对轮C：,例题16：图示重物A的质量为m，当其下降时，借无重且不可伸长的绳使滚子C沿水平轨道纯滚动。绳子跨过不计质量的定滑轮D并绕在滑轮B上。滑轮B与滚子C固结为一体
16、。已知滑轮B的半径为R，滚子C的半径为r，二者总质量为m，其对与图面垂直的轴O的回转半径为。求：重物A的加速度。,解题分析：,？假设、 aO方向,力对E点取矩方向,纯滚动、 方向 aO方向,E点不是质心！,拓展：质点系相对运动点的动量矩定理,作用在第i个质点上外力的合力 作用在第i个质点上内力的合力 第i个质点的牵连惯性力,质点系相对运动点动量矩定理公式的讨论,相对质心的动量矩定理,研究AB杆和小球B,解：取滑块A和小球B为研究对象,系统的动量：,水平方向动量守恒,例17：滑块A可在光滑水平面上滑动，求为使AB杆以匀角速度 绕铰链A转动，在AB杆上作用的力偶M。设：,应用相对动点A的动量矩定理
17、,知识拓展：相对特殊瞬心的动量矩定理:平面运动过程中，如果刚体的质心C到速度瞬心C*的距离保持不变时，则质点系相对速度瞬心的动量矩对时间的导数等于质点系外力对同一点的主矩，即,例题：图示重物A的质量为m，当其下降时，借无重且不可伸长的绳使滚子C沿水平轨道纯滚动。绳子跨过不计质量的定滑轮D并绕在滑轮B上。滑轮B与滚子C固结为一体。已知滑轮B的半径为R，滚子C的半径为r，二者总质量为m，其对与图面垂直的轴O的回转半径为。求：重物A的加速度。,解题分析：,多少未知量？多少动力学方程？ 多少运动学方程？,？假设、 aO方向,力对E点取矩方向,纯滚动、 方向 aO方向,E点不是质心！,例题：图示重物A的
18、质量为m，当其下降时，借无重且不可伸长的绳使滚子C沿水平轨道纯滚动。绳子跨过不计质量的定滑轮D并绕在滑轮B上。滑轮B与滚子C固结为一体。已知滑轮B的半径为R，滚子C的半径为r，二者总质量为m，其对与图面垂直的轴O的回转半径为。求：重物A 的加速度。,解：,对轮：,对A：,P266 重物A质量为m1，系在绳子上，绳子跨过不计质量的固定滑轮D并绕在鼓轮B上，由于重物下降，带动了轮C ,使它沿水平轨道滚动而不滑动。设鼓轮半径为r ，轮C的半径为R ,两者固连在一起,总质量为m2 ,对于其水平轴O的回转半径为 。求重物A的加速度。,解:,例18：小车上放一半径为R质量为 M 的钢管(钢管厚度计) ,钢
19、管与车面间有足够的摩擦力防止滑动 .今小车以加速度a向右运动,不计滚动摩擦求钢管中心C的加速度.,解：取钢管为研究对象进行运动分析.,动系固接在小车上，钢管的相对运动为纯滚动，I为瞬心。,ac = ae+ ar,ae = a,ar = R ,ac = a - R (1),I,C点加速度图？,画钢管受力图,M (a -R ) = F (2) MR2 = F R (3),应用平面运动微分方程：,以o动点，动系固结于板上：,P276 9-5：质量为m2半径为R的均质圆盘，置于质量为m1的平板上，沿平板加一常力F 。设平板与地面间摩擦系数为f ，平板与圆盘间的接触是足够粗糙的，求圆盘中心O点的加速度。
20、,圆盘作平面运动,平板应用质心运动定理,O,？假设、 aO方向,由受力判断、 aO方向！,接触点是瞬心？,以轮的接触点为基点：,P253 例910 均质细杆AB，长l，重P，两端分别沿铅垂墙和水平面滑动，不计摩擦，若杆在铅垂位置受干扰后，由静止状态沿铅垂面滑下，求杆在任意位置的角加速度。,解：1、杆在任意位置的受力分析,2、分析杆质心的运动,3列写杆的平面运动微分方程,4微分方程,知识拓展：相对特殊瞬心的动量矩定理：平面运动过程中，如果刚体的质心C到速度瞬心C*的距离保持不变时，则质点系相对速度瞬心的动量矩对时间的导数等于质点系外力对同一点的主矩，即,杆的质心到速度瞬心的距离恒等于l/2，应用
21、相对特殊瞬心的动量矩定理；,对上式积分可以得到杆的角速度，进而可以比较方便地求出其余未知量。,请问：突然去掉平衡物体的某些约束，这时如要求解瞬时的约束反力，是用动力学方程还是静力平衡方程？,例题19：均质细杆长2l，质量为m，放在两个支承A和B上，如图所示。杆的质心C到两支承的距离相等，即AC = CB = e。现在突然移去支承B，求在刚移去支承B瞬时支承A上压力的改变量FA。,A,B,C,解：受力分析、运动分析,运动关系：,例题20:匀质细长杆AB，质量为m，长为l，CD = d，与铅垂墙间的夹角为，D棱是光滑的。在图示位置将杆突然释放，试求刚释放时，质心C的加速度和D处的约束力。,解：受力
22、分析、运动分析,平面运动微分方程：,运动关系：,以D为基点：,例题20:匀质细长杆AB，质量为m，长为l，CD = d，与铅垂墙间的夹角为，D棱是光滑的。在图示位置将杆突然释放，试求刚释放时，质心C的加速度和D处的约束力。,解：受力分析、运动分析,讨论：,例题21:重100N、长l=1m的均质杆AB，B搁在地面上，A端用软绳吊住。设杆与地面间的静摩擦因数为fs=0.30，试问在软绳剪断的瞬间B端滑动否？并求此瞬时杆的角加速度以及地面对杆的作用力。,解：受力分析、运动分析,假定B端向左滑动,列写AB杆的平面运动动力学方程,运动学关系：,B端向左滑动,B端向左滑动 ？ B端不滑动 ？,课堂练习:长
23、为L、质量为m的均质杆AB受力如图。将绳子突然剪断。求：该瞬时AB杆的角加速度和A处的约束反力。,绳子被突然剪断时AB杆：,作定轴转动,根据质心运动定理,课下研究： 已知均质杆AB、BD，重均为P，LAB=LBD=l ，不计滑块重。求剪断绳子瞬时滑槽对滑块的反力。,受力图?,绳子被剪断时,两杆的角速度?角加速度?,动力学方程?,已知均质杆AB、BD，重均为P，LAB=LBD=l ，不计滑块重。求剪断绳子瞬时滑槽对滑块的反力。,BD杆:,AB杆作定轴转动,解:,第一阶段：定轴转动（一个自由度）,运动分几个阶段？,研究性问题：杆AB的1/3放在固定的箱子上，设两者的静（动）摩擦因数 f = 0.5
24、, 求 1: 杆开始滑动时与水平线的夹角 ;2: 杆在运动过程中的角速度和角加速度.,刚体平面运动微分方程,第二阶段: 平面运动（两个自由度）,第三阶段: 平面运动（三个自由度）,用广义坐标描述运动量,第一阶段：定轴转动,第二阶段：平面运动（滑动未脱离）,第三阶段：平面运动（脱离）,一半径为r的均质圆球，开始时0 ，v0 ， ，试问，经过多长时间后圆球作纯滚动？此时中心的速度多大？设接触面间的静摩擦因数为 fs,解:由动量定理积分形式：,由对质心动量矩定理积分形式：,？思考：若开始时v00,应用动量矩定理求解动力学问题的步骤为：明确分析对象；选取广义坐标，在有一固定轴的情况下广义坐标一般为角位
25、移，角位移的正方向确定后，角速度、角加速度以及力矩的正方向均与角位移的正方向一致；计算系统的动量矩；分析系统受力，区分外力与内力；应用动量矩定理，建立系统外力的主矩与系统动量矩变化率之间的关系；解方程并对其结果进行讨论。动量矩定理一般用来解决系统已知力求运动的问题，在运动已确定的情况下也可用来求未知力。,例 两个质量为m1，m2的重物分别系在绳子的两端。两绳分别绕在半径为r1和r2并固结在一起的两鼓轮上，设两鼓轮对O轴的转动惯量为JO，重为W，求鼓轮的角加速度和轴承的约束力。,解：取鼓轮与两重物组成的系统研究对象，由对O轴的动量矩定理有：,动量定理：,作业： 91、2、3、4、5、6、7、12、16、18,
