平面几何的复数证法8.doc

1、重庆一中高 2011 级奥赛平几讲义 第七讲 平几的复数证法1平面几何的复数证法一基本知识复数及其定义复数的常用形式1代数形式：形如 ；,zabiR2三角形式：形如 ；cosn0rr3指数形式：我们把 称为复数 的指数形式。iecsiz复数的运算法则1复数的代数形式的运算法则 设 ， ，其中的ibaz11 ibaz22，则：加减法法则： ；乘法法则：Rba2, z221；除法法则： 。ibaz21211 ibabaz2121212复数的三角形式的运算法则 乘法法则：模相乘，辐角相加，即； 除112211212cosincosincossinrrr法法则：模相除，辐角相减，即 ； 121222i

2、csinr乘方法则：（棣莫佛公式） ；cosiosinnrrZ开方法则：复数 共有 个 次方根，它们是sin0r,2N。22cosi,12,nkkr n3复数的指数形式运算法则： 。12121212,ni ii ii iieee 复数与向量1以原点为始点的向量与复数的一一对应；2复数的运算法则的几何意义。重庆一中高 2011 级奥赛平几讲义 第七讲 平几的复数证法2常用特殊复数及其性质1复数 i ； 4123, 0,nknniikZ复数 表示将复数 对应的向量逆时针旋转 900 所得向量对应的复数； izz两个非零向量 的充要条件是 ；12OZ12,ziR2复数 ；23123,0nnii Z

3、是正三角形的充要条件是 。123Z213zz二应用举例例 1求证：三角形三条中线共点。证明：设 的三顶点对应的复数依次为 ，ABC,abc为 边上的中线的交点对应的复数。因为复数z,以及 对应的点分别共线，故存在实数,2bca,2acz，使 。消去 得1,12baczbz21a，故 ，可解得0c 210，从而 。说明交点 与中线的选择无关，从而得 证。233azZ例 2由中心对称的六边形各边向外作正三角形。求证：相13456A邻正三角形的新顶点 依次123456,BB的连线的中点 构成正六边形。23456C证明：如图，以六边形的中心 为原点，O六个顶点对应的复数为 ，那么123,aE D ZC

4、 BAC3C2C1C6C5C4 B4B3B2B1B6B5A2A5A3A4A1A6 O重庆一中高 2011 级奥赛平几讲义 第七讲 平几的复数证法3，故33121232,i ibaebae231331 12iiaace， ，故 。同理可得32i 33221iic231i，故 是正六边形。3564132 ice123456C例 3求证：连接两个正三角形的三对顶点的线段的中点构成一个正三角形的顶点。证明：首先可证明 是正三角形的充要条ABC件是 ，其中 是 1 的20ABzz32i三次方根， 是 点对应 的复数：若 是正三AB角形，则 可由 逆时针 旋转 得到，故C0122cosinAB CBzz

5、z，整理得 。反之亦然。由题可得0ACz，故 是正 。2ABz1212120ABCzz ABC例 4已知 及其所在平面上另外两点 ， 是 的三边长，,PQ,abc求证： 。aPQbcPCabc证明：设 依次对应复数 ，考虑关于复数 的函数,AB123,zzz，易知112 323312132zzf12ff，故 ，因此3fzfz22131321| | |zzz ，即 ，从而得证。3312| |1zz|PAQBPCQbccabC2A2B2C1A1 B1CBA重庆一中高 2011 级奥赛平几讲义 第七讲 平几的复数证法4例 5设 是圆心在点 ，半径 为 1 的圆内接正 边形的顶点，点nA,21 On是

6、射线 上且在圆外的一点，求证： 。M1O|1MAnkk证明：建立复平面，使 分别对应复数 ，n,21 rn,1,012其中 。则 ，其中 。sin2cornzz Cz故 。|1|11010 OMrrnMA nnkkkknk 例 6平面上四点 ，动作 表示由目前所在点出发，笔直走到,BCDFx点，再左转 900 走相同距离。一人从 点出发，依次作x P， ，共作 2008 次后又回到,FAF,AD点。请问 四点的关系如何？PBCD证明：设 对应的复数为 ，作 次动作后到达点 ，对应,P,abcdpnnP复数 ，则 ，np1 211ipaiiibap。 32 43,1iccbdci 设 ，则 。故

7、 ，qdii48208,5qppq 0即 ，因此将 逆时针旋转 900 即得到 。bcaACBD例 7如图， 与 反向RtB1t相似， 与 为直角顶点，C1。设 与 交于 ，求AB1CM证： 。1M证明：如图建立复平面直角坐标系，设 11,|OAaiCcacRBCA，则 。令1BiOiicB1C1MCB AC1B1A1M1yxOABCM重庆一中高 2011 级奥赛平几讲义 第七讲 平几的复数证法5交 轴于 ，且 ，则1BCyM1,OyiRMyi，解得11iccaaii。同理可得 与 轴交点的纵坐标 ，从而得证。1yc1BCy1cya例 8已知单位圆上点 及内接正 边形 ，求证： 为定值；Pn1

8、2nA 21|niiPA求 的最小值和最大值；当 为任意点时 ，求 的最小值。1|niiPA1|ii解：设正 边形各顶点对应的复数分别为 ，点202,inne对应的复数为 ，且 ，则Pz|1（定值）；12210| 2nniiiiiAn如图，设 对应复数 ，Pize且 ，点 对应的复数为A1n1,2kn，易知 ，故2kie1k1|nkPA21 1| |k kn nii iin nk kzeze ，故当点 为 的中点时，2cos| |in|inii inzeePA1n取得最大值 。当点 与 或 重合时， 取得最小值1|kPA2csP1An1|nk；2cotn 不限制在圆上时， ，2121211|

9、|kkknn nii innnkzeze AnAkA2A11yxPO重庆一中高 2011 级奥赛平几讲义 第七讲 平几的复数证法6当且仅当点 在圆心处时取等号。因此所求最小值为 。Pn例 9设 是 的内切圆在 上的切点，求证：1,ABC,BCA 共点；求 与 的面积之比。1, 1解：以内切圆圆心 为原点建立复平面直角坐标系，设 所O1,BCA对应的复数依次为 ，连接 ，则 ，故1,abc1,AC1bciai，相加得 ，故 。同理可得：2211,cbriri21ar1。因此 ，从而三线共点；11,aba11bcb用面积公式 可得 。4ABCiSacb14ABCS例 10考虑在同一平面上半径为 和

10、 （ ）的两个同心圆，设 是小圆RrP周上的一个定点， 是大圆 周上的一个动点，直 线 与大圆周相交于另外一点BP，过点 且与 垂直的直 线 与小圆周相交于另一点 （如果 与小圆相切于CPBl Al，则 ）。求 的取值集合； 求线段 的中点的轨迹。A22ABC三练习题1求证：在四边形 中，ABCD（ 定理）。ABCDPtolemy2设 都,PHMETKX是平行四边形，求证： 也是平行四边形。AB3凸四边形对边中点连线叫凸四边形的中位线。若凸四边形的两条中位 线的和等于周长之半，XKTEBMH PCAB5B4B3B2B1A4A5A1A2A3O重庆一中高 2011 级奥赛平几讲义 第七讲 平几的复

11、数证法7求证：此四边形是平行四边形。4自正五边形 的中心 作边心距 ，求证：12345AO1,2345iB。510iiSOB5边长为 1000 的正方形 所在平面另有一点 ，且 。将 绕BCDP10DP顺时针转 900，得到点 ，称为 对 向左转。点 依次对APA向左转，共转 11111 次到达 点，求 的长。,BCD Q6在四边形 中，由各边中点向外作AB垂线段，其 长为该边的一半，得到四点，求证： 且 。,PQRSPQSR7求单位圆内接凸 边形所有边及所有n对角线的平方和的最大值，此 时凸 边形有什么特点？8已知单位圆上一点 及内接正 边形Pn，求证： ；求证： ；求证：12nA 41|6

12、niiA12|iiAn；求 的最大值。2,1|nijij1|niiP附：习题解答1如图，以 为原点， 设 对应的复数分别A,BCD为 。因为 ，所以,bcdcdbcd，从而得证。|2设 对应的复数依次,ABCEHMPTXK为 ，由 可得 即 。同理可得,abcehmptxkAachpach，故 即 。,abxktbeateDCBASRQPCDBA重庆一中高 2011 级奥赛平几讲义 第七讲 平几的复数证法83设凸四边形 各顶点对应的复数依次为 ，则由题可知ABCD,abcd，又因为| | |cdabcadb，所以| |,|cc，从而 是平行四边形。/,/BCADABCD4将各边逆时针旋转 后

13、不变，故 ，从而 。25S25ieS05如图建系，设 对应复数 ，则,abcd，点02,02,0abici对应复数为 ，则 ，按 题意旋转后得到Pz|1d的点对应复数 。则 ，12, zia23243,zibicizd，故 ，从而 。d1z3|10QDz6设 对应复数 ，则 ，,ABC,abc,22PRabcdzizi故 。同理可得 ，22cabdPRi dbaQS故 。得证。iQS7取圆心为原点建立复平面直角坐标系， 设单位圆内接 边形各顶点对应n的复数为 ，则所求和为12,na 21, 1,|2ij ijijijnijnSaa。当且 仅当 时， 取得最大值 ，21, 1|2nijij iijn 10iS2n此时凸 边形的重心（对应复数 ）在圆心处。1niga8设正 边形各顶点对应的复数分别为 ，点 对n 20121,inne PyxDCBAO重庆一中高 2011 级奥赛平几讲义 第七讲 平几的复数证法9应的复数为 ，且 ，则z|1114422100|nnni iiiii iPAzz；1 12 22 2 20 066n niiii iiiii iz n 因为 ，所以 ；10niiz11102|nnniiiiiA ；2 22,1,1,1 ,1|nn n nijji jij jiijijij j iA ，故最大值为 2，当且仅当 为 的10|2nninniiiPzzz次方根时取得。