1、1分式方程的增根与无解讲解例 1 解方程 2342xx解：方程两边都乘以（x+2） （x-2） ，得 2（x+2）-4x=3（x-2） 解这个方程，得 x=2经检验：当 x=2时，原方程无意义，所以 x=是原方程的增根所以原方程无解例 2 解方程 231x解：去分母后化为 x13x2（2x） 整理得 0x8因为此方程无解，所以原分式方程无解例 3（2007 湖北荆门） 若方程 = 无解，则 m=32xm解：原方程可化为 = 方程两边都乘以 x2，得 x3=m解这个方程，得 x=3m因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根即 x=2，所以 2=3m，解得 m=1故当 m=1时，原方程无解例 4
2、当 a为何值时，关于 x的方程 会产生增根？234ax解：方程两边都乘以（x+2） （x-2） ，得 2（x2）ax3（x2）整理得（a1）x10 若原分式方程有增根，则 x2 或2 是方程的根把 x2 或2 代入方程中，解得，a4 或 6若将此题“会产生增根”改为“无解” ，即：当 a为何值时，关于 x的方程 无解？234ax此时还要考虑转化后的整式方程（a1）x10 本身无解的情况，解法如下：解：方程两边都乘以（x+2） （x-2） ，得 2（x2）ax3（x2）整理得（a1）x10 2若原方程无解，则有两种情形：（1）当 a10（即 a1）时，方程为 0x10，此方程无解，所以原方程无解
3、。（2）如果方程的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解原方程若有增根，增根为x2 或2，把 x2 或2 代入方程中，求出 a4 或 6综上所述，a1 或 a一或 a6 时，原分式方程无解例 5：（2005 扬州中考题）若方程 - =1有增根，则它的增根是（ ）)1(6xmA、0 B、1 C、-1 D、1 或-1分析：使方程的最简公分母 (x+1)(x-1)=0则 x=-1或 x=1,但不能忽略增根除满足最简公分母为零,还必须是所化整式方程的根。原方程易化成整式方程：6-m(x+1)=x2-1整理得：m(x+1)=7-x2当 x= -1 时,此时 m 无解；当 x=1时,解得 m=3。由
4、此可得答案为 B。例 6：关于 x的方程 -2= 有一个正数解，求 m 的取值范围。3x分析：把 m 看成常数求解，由方程的解是正数，确定 m 的取值范围，但不能忽略产生增根时 m 的值。原方程易化为整式方程：x-2 (x-3)=m整理得：x=6-m原方程有解，故 6-m 不是增根。6-m3 即 m3x0m6由此可得答案为 m 的取值范围是 m6 且 m3。一、分式方程有增根，求参数值例 7 a 为何值时，关于 x 的方程 =0 有342xa增根？3解：原方程两边同乘以（x-3）去分母整理，得x2-4x+a=0（）因为分式方程有增根，增根为 x=3，把 x=3 代入（）得，9-12+a=0 a
5、=3所以 a=3 时， =0 有增根。342xa例 8 m 为何值时，关于 x 的方程 + = 有增根。1x2xm232x解：原方程两边同乘以（x-1） （x-2 ）去分母整理，得（1+m）x=3m+4（）因为分式方程有增根，据性质（2）知：增根为 x=1 或 x=2。把 x=1 代入（） ，解得 m=- ；把 x=2 代23入（）得 m=-2所以 m=- 或 -2 时，原分式方程有增根23点评：分式方程有增根，不一定分式方程无解（无实根） ，如方程 +1= 有增根，可求1xk)2)(1(x得 k=- ，但分式方程这时有一实根 x= 。32 38二、分式方程是无实数解，求参数值例 9 若关于
6、x 的方程 = +2 无实数，求 m 的值。52xxm解：去分母，得 x-2=m+2x-10，x=-m+8因为原方程无解，所以 x=-m+8 为原方程的增根。又由于原方程的增根为 x=5，所以-m+8=5所以 m=3例 10若解分式方程 产生增根，则 m 的值是（ ）211xxA. B. 1或 或C. D. 2或 2或分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是： 化x01或 ，简原方程为： 把 代入解得 ，故选择 D。122xmx()()， x01或 m12或例 11. m 为何值时，关于 x 的方程 会产生增根？432m解：方程两边都乘以 ，得246x整理，得 ()x
7、104当 时 ，如 果 方 程 产 生 增 根 ， 那 么 ， 即 或（ ） 若 ， 则（ ） 若 ， 则（ ） 综 上 所 述 ， 当 或 时 ， 原 方 程 产 生 增 根mxxxmx101402221634说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根例 12、 解方程： 120438924371695xx分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。解：由原方程得： 384xxxx即 289628107x于 是 ，所 以解 得 ：经 检 验 ： 是 原 方 程 的 根 。89681071()()(xx例 13、若解分式方程 产生增根，则 m 的值是（ ）211xmxA. B. 1或 或C. D. 2或 2或分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是： 化x01或 ，简原方程为： 把 代入解得 ，故选择 D。122xmx()()， x01或 m12或练习题1 解方程 2342xx52 解方程 231x3（2007 湖北荆门） 若方程 = 无解，则 m=32xm4当 a为何值时，关于 x的方程 会产生增根？234ax5当 a为何值时，关于 x的方程 无解？234ax
