1、pqrpqr 的主要思路是针对三元齐次对称不等式，将其全部转化成关于 pqr 的式子，其中p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc对于每一个能取到的 p 与 q，我们都可以把式子转化成关于 r 的函数,当次数是 4，5 次时可以看做是关于 r 的一次函数, 当次数是 6,7,8 时可以看做是关于 r 的二次函数,这样最值一定在 r 的最值时取到 ,我们只要讨论 r 的最值即可1、当三元不等式转化成关于 r 的一次函数的时候,r 的最值一定在原三数存在一数为 0 或者两数相等的时候取到(此证明见 ) http:/ 12、当三元不等式转化成关于 r 的二次函数的时候,我们只需考虑此二次函数
2、的开口和对称正负便可判断 r 在何处取到最值此具体操作见下文例题 2下面是 6 次和 6 次以下对称式和 pqr 之间的转化：222333244423 (,)0:0()()(,1()4,abcsymabcpxzabcqrcabprqcp记 为 其 中若 简 记 若 简 记22555324323222666423(,1)5,()(,1()9rabprcqprqabpcrqq2354242323334 23232 16(, 7,)(1(,)3,) pqrprabpqrcabpqrr 2223223281:,0:()()8, 10()1abcabcabcpqrpqrpqrqfrrprr求 证 此 为
3、 一 次 函 数对 于 每 一 个 可 以 取 到 的 的 值此 为 关 于 的 一 次 函 数 ,由 结 论 可 知 最 值 在 一 数 为2 222222543:01,()3(),:(),()41;(0462:,1;)(1)3(4)60bcafbcgbcgtctfrttttttxx 或 两 数 相 等 时 取 到情 况 一 数 为 注 意 到 是 开 口 向 下 的 二 次 函 数最 小 值 在 边 界 取 到 均 大 于 等 于情 况 两 数 相 等 4323232322 25081()684(9)(6)(765)1(1)1)(:()0.5(hxxxxllsolxfr )0hxl均 大
4、于 等 于综 上 ,原 不 等 式 得 证2222223max()()()?:,0,:5(781)9:3,bcaabcpqcrarrrqs做 代 换第 一 题对 于 每 一 个 能 取 到 的 值 我 们 都 可 以 把 上 式 记 做 关 于 的 二 次 函 数注 意 到22222226332278100,:()()()()4344():=()129993(7)qorsocabcabababcabrqrq对 称 轴由 于 此 开 口 向 下 的 二 次 函 数 的 最 大 值 在 处 取 到不 妨 设 带 入 原 式 得 到再 由 均 值第 二 题 333323 322,01,: 07270
5、73,1,:277,:()( rpqqqrrrqabcrcab对 于 每 一 个 能 取 到 的 值 都 可 以 把 上 式 看 做 关 于 的 二 次 函 数此 为 开 口 向 上 对 称 轴 大 于 的 二 次 函 数说 明 函 数 的 定 义 域 为对 于 取 定 的 值 由 均 值最 大 值 只 能 在 或 处 取 到当 时 根 据 均 值 的 取 等 条 件 只 能 是 此 时 原 式 的 值 为当 时 不 妨 设 带 入 原 式 得 到 22222)()()39918()44461871873:, ,066cabsoc注 意 到 最 大 值 当 且 仅 当 取 到第二个题，文中说当 r=(q/27) 时，q=3 ，a=b=c=1，这是不合逻辑的，因为 q 是固定的，当 q3 时，r 取不到 r=(q/27) ，即使 r 硬要取(q/27)，根据 tejs 的文章，也不存在a,b,c 与 p,q,r 对应，所以就无所谓 a=b=c=1 的说法了。根据 tejs 的文章，当 u=1 且 v1 时，wv。不可能有 r=(q /27)，也不能认定 a=b=c
