1、第二章 轴向拉伸和压缩2-1 一圆截面直杆，其直径 d 20mm, 长 L=40m，材料的弹性模量 E=200GPa，容重 80kN/m 3, 杆的上端固定，下端作用有拉力 F =4KN，试求此杆的：最大正应力；最大线应变；最大切应力；下端处横截面的位移 。BA题 2-1图LFx+504.8N解：首先作直杆的轴力图最大的轴向拉力为 32N,max 80.04054.8N4dVLF故最大正应力为： ,N,max,axax22254.=1.9MPa.FA最大线应变为: 64axma 915.40.710E 当 （ 为杆内斜截面与横截面的夹角）为 时，5maxa7.9Pa2取 A 点为 轴起点，x2
2、N(.140)N4dFVxxF故下端处横截面的位移为： 240N005.d(.56)2.87mLLxxEAEA2-2 试求垂直悬挂且仅受自重作用的等截面直杆的总伸长 L 。已知杆横截面面积为 A，长度为 L,材料的容重为 。 B题 -图解：距离 为 x 处的轴力为 AN()F所以总伸长 200LdLLAxEE2-3 图示结构，已知两杆的横截面面积均为 A=200mm2,材料的弹性模量 E=200GPa。在结点 A 处受荷载 F 作用，今通过试验测得两杆的纵向线应变分别为 1410 4 ， 2210 4 ，试确定荷载 P 及其方位角 的大小。BCA1230F题 2-3图解: 由胡克定律得 945
3、1201081PaE2相应杆上的轴力为1NA2A568010KN12取 A 节点为研究对象，由力的平衡方程得12sin30sisincocoNPA解上述方程组得.89217PK2-4 图示杆受轴向荷载 F1、 F2 作用，且 F1F 2F，已知杆的横截面面积为 A，材料的应力应变关系为 c n，其中 c、 n 为由试验测定的常数。(1) 试计算杆的总伸长；(2) 如果用叠加法计算上述伸长，则所得的结果如何？(3) 当 n1 时，上述两解答是否相同？由此可得什么结论？ 12a+FN图（ a） 图（ b） N图（ c） 题 2-4图解：（）轴力图如图（a）所示。根据 ： nc12()nlFcaA1
4、2nFlacA2nl 2nl则 12(1)ncll（）采用叠加法。单独作用 F1 时，轴力图如图（b）所示。 1()nlFcaA1nFlacA单独作用 F2 时，轴力图如图（c ）所示。 2nl2nl则 3nalA（）当 n=1 时，上述两解答相同。结论：只有当 与 成线性关系时，叠加法才适用于求伸长。2-5 试求图示构架点 C 的铅垂位移和水平位移，已知两根杆的抗拉刚度均为 EA。(a)(c)DBF题 2-5图(b)FCDBClD4解： 取 C 点分析受力情况，如图（ b）所示，得 ,0CDBF因此只有 CD 杆有伸长 CDLlEA变形几何图如图（c）所示 ，得 。xy2-6 刚性梁 ABC
5、D 在 B、 D 两点用钢丝绳悬挂，钢丝绳绕过定滑轮 G、 H。已知钢丝的 E210GPa，绳横截面面积 A100mm 2，荷载 F20KN，试求 C 点的铅垂位移（不计绳与滑轮间的摩擦） 。解：首先要求绳的内力 。刚性梁 的受力分析如图TABCD，()b由平衡方程： 0AM解得： 8KN7T绳的原长 24mL绳的伸长量为在 作339680174.5102TEAF用下结构变形如图 ，()c可得：5m31m2题 2-6图PBGHFTFPBGCHDA(b)(c)(a)34.510mBDL()再由三角几何关系得：9BDA(2)由 、 式联立可得： (1)23.50mBL又因为： 8BCA所以， 32
6、.49102.49L2-7 图示结构中 AB 杆为刚性杆，杆 AC 为钢质圆截面杆，直径 d1=20mm，E 1=200GPa；杆 BD 为铜质圆截面杆，直径 d225mm，E 2=100GPa，试求：(1) 外力 F 作用在何处(x ？)时 AB 梁保持水平？(2) 如此时 F30kN，则两拉杆横截面上的正应力各为多少？解：(1). 容易求得 AC 杆、BD 杆的轴力分别为 12,NNxxFF从而 AC 杆、BD 杆的伸长量 111222224NNNlxlllEAdEFllFll若要 AB 梁保持水平，则两杆伸长量应相等，即 .12l于是, 12244.FlxlEd2 921 929211.
7、50.5. 10.0.08lxm(2).当 时，两拉杆横截面上的正应力分别为3,.08FkN312 21322210.84.4401.8.54NxMPadAxFad1.5mmxACPBD题 -7 图22-8 图示五根杆的铰接结构，沿其对角线 AC 方向作用两力 F20 kN，各杆弹性模量 E=200GPa，横截面面积 A500mm 2，L1m，试求：(1) AC 之间的相对位移 AC，(2) 若将两力 F 改至 BD 点，则 BD 点之间的相对位移 BD又如何？解：(1)取 节点为研究对象，受力分析如图(b)A由平衡方程： ,0XFcos450ABF0,sin45AYAD得 210BDkN同理
8、，可得： CDBF节点受力分析如图(c)，0X20cos45ABBDFkN, , , 四杆材料相同，受力大小相同，所以四个杆的应 变能A相同，可求得整个杆件应变能为： 2246.8ABDLJE力 作的功为： F1ACWF由弹性体的功能原理得： 16.82AC30.m当两力 移至 两点时，可知，只有 杆受力，轴力为F.BDBDF所以 212BDLFEA从而 39601.285m2-9 图示结构，已知三根杆 AF、CD、CE 的横截面面积均为 A=200mm2, E=200GPa,试求每根杆横截面上的应力及荷载作用点 B 的竖向位移。 3m0F=1kN题 2-9图DBC30F=1kNyxOABND
9、EACm2BABCDAABCDFFFF(a)B题 2-8 图(b)(c)(d)解：取 AB 为研究对象，选取如图所示坐标轴，故 ，即 ,0xFNDEF,即 ,y2sin30A于是得 ，ND，即 ，0AM3si6F于是 ，2120KND解得： ，ENA所有构件的应变能为 *23max10346304680 171.MPa1.5BBSzSFFFhbI由功能原理得， 作的功在数值上等于该结构的应变能即： 12BV所以 .342.58m01F2-10 图示结构，已知四根杆 AC、CB、AD、BD 的长度均为 a,抗拉刚度均为 EA,试求各杆轴力，并求下端 B 点的位移。 q=F/aABCDB(a)题
10、2-10图 q=F/CD(b)q=F/ABCD(c)BFF(d)xy xy341234 F刚 性 杆解：(1)以 B 结点为研究对象，受力图如图（a）所示由 得0xF34F得 342以刚性杆为研究对象，受力图如图（b）所示由 得0xF12F由 得y12(1)(2)由于 1，2 杆的伸长变形，引起 CD 刚性杆以及 B 结点的下降（如图（ c） ）1 12()BFalllEA由于 3，4 杆的伸长引起 B 点的继续下降（如图（d） ）2 3Bll则 12()BllFaEA2-11 重 G=500N,边长为 a=400mm 的箱子，用麻绳套在箱子外面起吊如图所示。已知此麻绳在 290N的拉力作用下
11、将被拉断。(1) 如麻绳长为 1.7m 时，试问此时绳是否会拉断？(2) 如改变 角使麻绳不断，则麻绳的长度至少应为多少？解：(1)取整体作为研究对象,经分析得本受力体系为对称体系.由于箱子重 G=500N,由竖直方向的受力平衡可知,每根绳子竖直方向受力为 F=250N.GaF即 cos250F而21.7.4().97则 250720.9FN于是,此时绳子不会被拉断.(2)绳子被拉断时 cos5u其中 290FN则220.4()250cos.869L解得: .7Lm答：(1)N =417N (2)L=1.988mGaa题 2-1图 LDBFCEx12题 2-1图2-12 图示结构， BC 为刚
12、性杆, 长度为 L, 杆 1、2 的横截面面积均为 A，其容许应力分别为 1和 2，且 1=2 2，荷载可沿梁 BC 移动, 其移动范围 0xL, 试从强度方面考虑，当 x 取何值时，F的容许值最大，F max 等于多少？解：分析题意可知，由于 1、2 两杆横截面积均为 A，而 1 杆的容许应力为 2 杆的二倍，则由公式可知，破坏时 2 杆的轴力也为 1 杆的二倍。A本题要求 F 的容许值最大，即当力 F 作用在距离 B 点 的位置上时，1、2 两杆均达到破坏所需的轴x力，即 BDEC此时，对力的作用点求矩得： ()0BExLx解得： 3此时，由竖直方向的受力平衡得： max1213BDECF
13、AA2-13 图示结构，AC 为刚性杆, BD 为斜撑杆, 荷载 F 可沿杆 AC 移动,试问：为使 BD 杆的重量最轻, BD 杆与 AC 杆之间的夹角 应取何值？LBCD刚 性 杆FA解：如图所示，取整体为研究对象，对 A 点取钜，由 得：0AMsincos0BDBDFLl而 则1sin2BDBFLAlWl要想使重量最轻，应该使 sin2 最大，即 2=90 解得：=45 FBACD3m题 2-14图2-14 铰接桁架承受水平力 F=150kN,桁架所有杆件的许用应力 =125Mpa,试求 AB 杆和 CD 杆所需的横截面面积。解：由零杆的判别条件知，图中 BC 杆为零杆。取整体为研究对象
14、，对 A 点取钜，由 得：0AM解得： 260DF13DF取 D 节点为研究对象，由平衡方程得：则可以解得： 1.80.63F5BDCBDDCB23BDCD FBAD同理，对于 B 节点，也有平衡方程：则可以解得： 0.6ABDFF于是，由许用应力定义得： 4226.157.10m720. 6ABCDF2-15 圆截面钢杆如图所示，已知材料的 E=200GPa，若杆内应变能 U=4Nm,试求此杆横截面上的最大正应力。 4m题 2-15图0mF解：各截面压力相同为 F应变能 2231lllUEA代入数据 可得 kN8.6MPamaxin2902-16 图示杆件的抗拉（压）刚度为 EA，试求此杆的
15、应变能。 aF题 2-16图解：+FFN图如图所示，为杆件的轴力图，则杆件的应变能计算应该分为两部分。 12U2230DABBF其中：2221(3)a9FLFUEAEA222()则：221919FaaUEAEA第三章 扭 转3-1 直径 d =400mm 的实心圆截面杆扭转时，其横截面上最大切应力 max=100Mpa，试求图示阴影区域内所承担的部分扭矩。 题 3-1图0m40m20m解：法 1 距圆心 处切应力为()max2d阴影部分扭矩 k0.1()52d73.6Mem法 2:距离圆心 处切应力为 ()maxd12()1()2dAAe0. 0.5maxmax2d kN73.63-2 将空心
16、管 B 和实心杆 A 牢固地粘结在一起而组成一实心圆杆，如图所示。管 B 和杆 A 材料的剪切弹性模量分别为 GB 和 GA。 试分别求出该组合杆承受扭矩 MT 时，实心杆与空心管中的最大切应力表达式。答：实心杆： ，空心管：max2ATAPBDImax2BTBPADGI解：设实心杆受扭矩 ，空心管受扭矩 ，且两杆的最大切应力出现在外边缘处，aMb由已知得 + = ；ABT对两杆接触截面的相对转角相同，即 = ；AB且 = ， = ；aAPlGIbBPlI所以 = ， = ；BMTAPBGIBMTBPAGI则实心杆： = ，max2APDI 2ATPBPDII空心管： =axBPI BTPAB
17、PGIIDAB题 3-2图3-3 图示受扭轴， AB 段因安装手轮，截面为正方形，试从强度方面考虑，轴的容许扭矩因此降低了多少（用百分比表示）？ br(a)题 图C解：由题意可知，从强度方面考虑，即： maxPT圆圆截面为圆时， 33ax162prd圆 圆当截面为正方形时，如图 ，边长b查表可得，当 时， 1hm0.2833 30.28.5pbrr正 所以 max.pT正 正3max 00.587.52rTk正圆 所以降低为： 016.k3-4 受扭转力偶作用的圆截面杆，长 L=1m，直径 d20mm ，材料的剪切弹性模量 G80GPa，两端截面的相对扭转角 0.1rad, 试求此杆外表面处沿
18、图示方向的切应变 、横截面上的最大切应力 max和扭转力偶矩 Me。答： =1103 ， max80 MPa，M e125.6Nm解：由公式 , =PlGI42d得出 Me125.6Nm且 = =80 MPa，axPW815.670由 ，得 = = .G69130eMeLd题 3-4图3-5 圆截面橡胶棒的直径 d40mm，受扭后，原来表面上互相垂直的圆周线和纵向线间夹角变为86，如杆长 L300mm,试求端截面的扭转角；如果材料的 G2.7MPa ，试求杆横截面上的最大切应力和杆上的外力偶矩 Me。 题 3-5图LTB OAd解： rad4908610oo2dL所以 rad1.047MPa6
19、max40.18G另外 因为 432.7eeMLIdNm所以 42.367eGdMNmL3-6 一根在 A 端固定的圆截面杆 AB 如图所示，图中的 a、b 及此杆的抗扭刚度 GI 均为已知。杆在B 端焊有一根不计自重的刚性臂，在截面 C 处有一固定指针，当杆未受荷载时，刚性臂及指针均处于水平位置。如现在刚性臂的端部悬挂一重量为 F 的重物，同时在杆上 D 和 E 处作用有扭转力偶 MD 和 ME。当刚性臂及指针仍保持水平时，试求 MD 和 ME。 BF图 +-解：扭矩图如图（a）所示要保证指针及刚性臂保持水平则 0ACB得()()0EDEPPFbMaFbGII（1）2()2ECBPPII得
20、（2）20EFbM（1） 、 （2）两式联立 得 4D3EFb3-7 图示圆截面杆，其全长受集度为 m= 的均布扭转力偶作用，并在中点受其矩为 T 的扭转力偶LT作用，试作此杆的扭矩图，并求杆的应变能。 +-T2T题 37图Tm=T/LL/2L/22112T mxx解：对 1-1 截面，有, .0xM1()0TmLx.1()a2ADCEMFb刚 性 臂题 3-6图对 2-2 截面，有, .0xM2()0TmLxT.2作出扭矩图.(2)杆的应变能.222 200()()()ddd4LL LppppxxTTTx LVGIIGII aq()ABCF+-Fs图M图 qa2qa28+-30309.362
21、Fs图(kN)b图 m第四章 弯曲应力4-1 试作下列梁的剪力图和弯矩图。 aaq2m2mMM=0kNmq=60kN/q0q0L/2L/2 M=qa2/3a() (b)(d)(c)题 4-1图解：（a ） 1、计算支反力 由平衡方程： 即 得0AM3202BaFq2BqaF即 得YA A2、列剪力、弯矩方程AC 段：2()()(0)2SqaqxaFxMxaCB 段：223 (2)S q3、作剪力、弯矩图2mM=0kNq6/(b)ABFLcC+-q l40ql40 l20Fs图M图 +-3a3qa42971Fs图M图(c)(d)=/ABC（b）1、计算支反力 由平衡方程： 即 得0AM21046
22、203BF30kNBF 即 得YAA 2、列剪力、弯矩方程AB 段： 2 32()15603()50(04SFxxMxxx 3、作剪力、弯矩图（c）1、计算支反力 由平衡方程： 即 得0AM00546BqL04BqLF 即 得Y0AF0A 2、列剪力、弯矩方程AC 段： 2 320000() () ()442SqxLqxqxMLCB 段： 2 320000()1SqLLF x 3、作剪力、弯矩图（d）1、计算支反力 由平衡方程：即 得0AM24203BaqaF34BqaF即 得YAA2、列剪力、弯矩方程AC 段：233()()(0)44SqaqxaFxMxaCB 段：2 2255(2)66qx
23、 xa3、作剪力、弯矩图qa2ABCF()D1m25kN0/AB(b)+-qa82Fs图M图 +-5s图kN图(m)4-2 作图示梁的剪力图和弯矩图。 qa2qaqa2CADB1m2m5kNm10kN/mM= qPqqaa() (b)(c) (d)qaaq2/aa1.8m2.3m2.5kNm1.2kNm/(e) (f)题 4-2图解：（a ） 1、计算支反力 由平衡方程： 即 得0AM220BFaqaqBFqa即 得YA A2、列剪力、弯矩方程CA 段： ()()(0)SFxqaMxqaxaAB 段：2252 (3qax3、作剪力、弯矩图（b）1、计算支反力 由平衡方程：即 得0A351205
24、BF10BF即 得YA 5kA2、列剪力、弯矩方程CA 段： ()5()5(01)SFxMxxM= qa2PABCF(c)qa2ABCDF(d)2/CMe+-qa2573Fs图M图 qa652+-s图 图(c)AD 段： ()10()105(12)SFxMxxDB 段： 23304(4)x 3、作剪力、弯矩图（c） 1、计算支反力 由平衡方程： 即 得0AM2320Aaaqq25Mqa即 得Y0FAFq2、列剪力、弯矩方程AB 段：22()()5(0)S xxqaMaxaBC 段：223342S qx3、作剪力、弯矩图（d）1、计算支反力 由平衡方程：即 得0A230BaFq56Bqa即 得Y
25、AAF2、列剪力、弯矩方程AC 段： ()()(0)66SqaqaxFxMaCD 段：2277(2)6S qxaxDB 段：255()()(36Sqaaxx3、作剪力、弯矩图（e） 1、计算支反力 由平衡方程：即 得0CM202Caqq2CMqa即 得YFF2、列剪力、弯矩方程1.8m235kN/ABCDF(f)+0.1752q=3kN/m4M图()荷 载 图 8kNq=6/m107-图()荷 载 图ab-+qa2 2Fs图M图 0.51638+Fs图(kN)e图AB 段： 2()0()(0)S qaFxMxxaBC 段： 2(2)Sq 3、作剪力、弯矩图（f）1、计算支反力 由平衡方程： 即
26、 得0A4.521.40BF0.51kNBF 即 得Y0A.A2、列剪力、弯矩方程CA 段： ()()1.2(01.8)SFxMxxAD 段： 0.5169.(4)xDB 段： .536.3S3、作剪力、弯矩图4-3 已知简支梁的剪力图如图所示，试作此梁的弯矩图和荷载图。梁内若有集中力偶，则作用在右端。 +Fs+-Fs1kN2kN10kN410kN(a(b)题 43图解：依据剪力与弯矩的微分关系作图+-F43aL2s图荷 载 图 +-qL22Fs图荷 载 图F232kNm8+s图荷 载 图 荷 载 图()(b)(c)(d)1Fs图4-4 已知简支梁的弯矩图如图所示，试作此梁的剪力图和荷载图。
27、-ML/3M426m(c)(d)题 图+-+F/16L8qL2/842ab解：依据剪力与弯矩的微分关系作图4-5 试作图示简单刚架的内力图。 a(a)aCBA2qDaABCa2Mqb(c)(d)题 4-5图qA解：（a ） 1、计算支反力 由平衡方程：即 得0AM02Aqa2AqaM即 得XxFxF即 得0Y0AyqaAyqa+-qaqa2F 图 s图 M图N-qa+qa2232F 图 s图 M图N+-M2a2aF 图 s图 M图N2、列内力方程AB 段：2()()()(0)NS qaFxqaFxqaMxxaBC 段： 211111S3、作内力图（b）1、计算支反力 由平衡方程得 223AxA
28、yAFqaFqaqa2、列内力方程AB 段：22()()() (02)NS xFxqaMxaBC 段： 111110 0)Fxqaxa3、作内力图（c） 1、计算支反力 由平衡方程得 2ADMFaa2、列内力方程AB 段： 00NSMFaBC 段： ()0()()(02)22SxFxxxaaaCD 段： 11110()2N Ma3、作内力图+-qa233qa22F 图 s图 M图N（d）1、计算支反力 由平衡方程得 322AxAyDyqaqaFqaF 2、列内力方程AB 段： 3()()()(0)2NSqaFx MxxBC 段： 22111111 133 (02)2S qaqaFx qxaCD
29、 段： 2222 22(0)()() ()0()NSxxqaFx 3、作内力图4-6 试作图示梁的内力图。 Lqh/2(a)q(b)题 4-6图h/2LqFAByxFNSM-(b1)ql 2hl(b2)解：对系统进行受力分析（如图 b1）由 得 0xF2Bxql由 得 ，由 得BMAh0yF2Byqh因此图示梁的内力图如图 b2 所示。 （M 图有问题）aLaABFFaLaABFFBAmx4-7 试从弯矩来考虑，说明为什么双杠的尺寸常设计成 ？La41aa题 4-7图解：由题意只需要考虑两种临界情况即可。 1、当力 F 在中间位置时，由对称可知 /2ABF最大弯矩发生在正中，即 max124L
30、M2、当力 F 在最边缘位置时，由平衡条件：即 得0A()0BLBFL即 得YAAa最大弯矩发生在 B 处，即 max2M所以，根据材料的许用强度可知，当两者相等时最佳，即即4FLa4L4-8 试推导梁受均布弯曲力偶 m 时的荷载与剪力、弯矩之间的微分关系。解：由题意如图所示，由平衡条件：即 得0AM0BFLBFL即 得YAA所以 AB 段： ()()0SmmxMxxLL4-9 已知悬臂梁及其剪力图如图 a、b 所示，若在梁的自由端无弯曲力偶作用，试作此梁的弯矩图及荷载图。从剪力图和弯矩图直接求出支反力和支反力偶，并在荷载图上画出其方向和转向。 Bq/2a+-LFs(b)题 49图解：由剪力图
31、知 AC 段受均布力作用，大小为 ；C 点受集中力 ；BC 段受均布力，大小为qFqLq则可作出荷载图与弯矩图如下：ABCqLF=-M42荷 载 图 +28图4-10 一悬臂梁承受沿梁全长作用的分布荷载，梁的弯矩方程为 M（ x）=ax 3+bx2+c，其中 a、b 和 c 为有量纲的常数。x 的坐标原点取在梁的自由端，试求分布荷载的集度，并说明常数 c 的力学含义。题 4-10图xO解： 32()Mxabc当 x=0 时， 因此 c 表示自由端作用的弯矩为 c。(0)由 为三元一次函数得知,集中荷载为一元一次函数，令 并且以自由端为32(xab qexf原点建立坐标系（如图所示）得 320(
32、)()dxMcqllaxbc（ ）即 320xelfl（ ）所以 。62qab4-11 一端外伸的梁在其全长 L 上有集度为 q 的均布荷载作用，如欲使梁在此荷载作用下的最大弯矩值为最小，试求外伸端的长度 a 与梁长 L 之比。ABCa题 4-1图解：1、计算支反力 由平衡方程：即 得0AM()02BLFaq2()BqLFa即 得YAA2、列剪力、弯矩方程AB 段：2(2) ()() () (0)SqLaqxLaFxMxLaBC 段：22()S x3、作弯矩图qa2L8(-)+M图4、由弯矩图可知，当 时，最大弯矩值最小，22()8qaq解得 或 （舍去）0.93aL1.704-12 独轮车过
33、跳板，如跳板的支座 A 是固定铰支座，试从最大弯矩考虑，支座 B 放在什么位置时，跳板的受力最合理？ 题 4-12图ABLxF(a)DC/2( )/4/( )F/2ABLxDCABLxFDC（ b） ( c)FSMFL-xxFL-MS+-+x解：如图（）所示，当 位于 AB 中点 或者位于跳板的右端点 D 时，会在跳板上产生最大的弯矩。当 F 位于 C 处时： 所以0y0AB又 所以AM()02BLxFx所以 此时弯矩图如图（b）所示。B当 位于 处时： 所以 0yF0AB所以AM()LxF得 因此 BFLxABFxL此时弯矩图如图（c）所示。最合理时 ，即 ， 得 ，因此当 时最合理。 ma
34、x1ax2M()45x5x4-13 开口圆环，其受力如图所示，已知环厚为 h（垂直于纸面） ，p 为均匀压强，试求此环在任意截面 1-1 上的弯矩。 1p题 4-13图解：如图，在任意截面 1-1 处，在 1-1 截面与开口之间取一小段长为 ，宽为 ，则所受合力dRhdFpShR对截面 1-1 处的弯矩为 2sinsiMFp所以对整段环的合弯矩为 220id(1cos)hh 4-14 如图所示，已知 bh 的矩形截面杆，其弹性模量为 E，承受三角形分布载荷 P（x） ，其方向与x 轴夹角为 ，试导出杆的内力与载荷的微分关系。解：取坐标为 和 处的两横截面，设坐标为 处的横截面上的轴力、剪力和弯
35、矩分别为 、xdx ()NF和 。该处的荷载集度为 ，则在坐标为()SF()Mxq处横截面上的轴力、剪力和弯矩分别为d、 和 。NSS()dFx()d()Mx梁段在以上所有外力作用下平衡。故 ，0x即 ， NN()d()dcos0xp解得： ；dcosFx又 ，即 ,0yFSS()d()sin0xFxp解得： ；Sd()sinpx再由 ，即 ，0CMSd()d()()d()sin()cos022xhxMxFpp二阶无穷小项得： .Scos2hhLP()题 4-1图mn4-15 宽为 b=30mm，厚为 t = 4mm 的钢带，绕装在一个半径为 R 的圆筒上。已知钢带的弹性模量E=200GPa，
36、比例极限 p=400MPa，若要求钢带在绕装过程中应力不超过 p，试问圆筒的最小半径 R 应为多少？ 304t R题 4-15图解：由题意钢带的曲率为 即 可知 越大， R 越大；1pzWMREIpzEIRp所以93maxmin 62010m4pzpyIR4-16 空心圆截面梁如图所示。试求横截面 1-1 上 K 点处的正应力，并问哪个截面上相应于此 K 点位置的正应力最大，其值等于多少？ a1/2zyd/245题 -6图e= F7ACDB解：1、求支反力 由平衡方程即 得0AM3720BFaFa2BF即 得YAA2、求 1-1 截面处的弯矩 12aM3、求该截面上 K 点处的正应力 1 34
37、4sin5.8162KzdFyFaI d4、求 由于无均布荷载，根据微分关系可知最大弯矩在拐点处，max其中 ， ， ，7AMF725CaFDMFa0B所以 ， 则axmaxax 3447sin526.916KzdFMyFaI d4-17 用相同材料制成的两根梁，一根截面为圆形，另一根截面为正方形，它们的长度、横截面面积、荷载及约束均相同。试求两梁横截面上最大正应力的比值。解：设截面面积为 A，圆形截面直径为 d，正方形截面边长为 a，则有即 由公式 得最大正应力分别为24da2zMyI436Md圆 形 43621a正 方 形所以3320.8472a正 方 形圆 形4-18 T 形梁截面如图所
38、示。已知截面上 M=3.1kNm，I z=53.1106 m4，试求截面上、下边缘处的正应力及中性轴以上部分截面的正应力构成的总压力及压力作用点的位置。 z15075 5015050a题 4-18图解：根据 得zMyI（“-”号表示压应力）60.75310.75Pa4.39Maz 上 边 缘 6.2.2.8zI下 边 缘 0.50.75* 2d.d.1d2.8kNNAzz zMyyyFII解得0.250.75* 2. .1dzz z zyaAII52.6ma4-19 梁的横截面如图所示。如果已由实验测得上端纵向纤维的压缩应变 =0.0003，下端纵向纤维拉伸应变 =0.0006 。试求截面上阴影部分总的法向内力。已知材料的 E=200GPa。
