1、高三函数综合题1.已知函数 f（x）=2 x+2-xa（常数 aR） （1）若 a=-1，且 f（x）=4，求 x的值；（2）若 a4，求证函数 f（x）在1，+）上是增函数；（3）若存在 x0，1，使得 f（2x）f（x） 2成立，求实数 a的取值范围2.已知函数 f（x）=x 2+（x-1）|x-a|（1）若 a=-1，解方程 f（x）=1；（2）若函数 f（x）在 R上单调递增，求实数 a的取值范围；（3）若 a1 且不等式 f（x）2x-3 对一切实数 xR 恒成立，求 a的取值范围3.已知函数 f（x）=x|x-a|+2x-3（1）当 a=4，2x5，求函数 f（x）的最大值与最小值
2、；（2）若 xa，试求 f（x）+30 的解集；（3）当 x1，2时，f（x）2x-2 恒成立，求实数 a的取值范围4.已知函数 f（x）=x 2-1，g（x）=a|x-1|（1）若函数 h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，求实数 a的取值范围；（2）当 a-3 时，求函数 h（x）=|f（x）|+g（x）在区间-2，2上的最大值答案详解1.已知函数 f（x）=2 x+2-xa（常数 aR） （1）若 a=-1，且 f（x）=4，求 x的值；（2）若 a4，求证函数 f（x）在1，+）上是增函数；（3）若存在 x0，1，使得 f（2x）f（x） 2成立，求实数 a的取值范围解：（1）
3、由 a=-1，f（x）=4，可得 2x-2-x=4，设 2x=t，则有 t-t-1=4，即 t2-4t-1=0，解得 t=2 ， 当 t=2+ 时，有 2x=2+ ，可得555x=log2(2+ )5当 t=2- 时，有 2x=2- ，此方程无解故所求 x的值为 log2(2+ ) 5（2）设 x1，x 21，+），且 x1x 2，则 f(x1)-f(x2)=(2x1+2-x1a)-(2x2+2-x2a)=(2x1-2x2)+ a= (2x1+x2-a)21x1x由 x1x 2，可得 2x1 2x2，即 2x1-2x2 0， 由 x1，x 21，+），x 1x 2，得 x1+x22，故2x1+
4、x2 4 0，又 a4，故 2x1+x2 a，即 2x1+x2-a 0， 所以 f（x 1）-f（x 2）0，即 f（x 1）f（x 2），故函数 f（x）在1，+）上是增函数（3）因为函数 f（x）=2 x+2-xa，存在 x0，1，f（2x）f（x） 222x+2-2xa2 2x+2a+2-2xa22-2x（a 2-a）+2a0设 t=2-2x，由 x0，1，可得 t ， 1，由存在 x0，1使得 f（2x）f（x） 2，4可得存在 t ， 1，使得（a 2-a）t+2a0，令 g（t）=（a 2-a）t+2a0，4故有 g( )= (a2-a)+2a 0 或 g（1）=（a 2-a）+2
5、a0，可得-7a0即所求 a的取值范围是（-7，0）2.已知函数 f（x）=x 2+（x-1）|x-a|（1）若 a=-1，解方程 f（x）=1；（2）若函数 f（x）在 R上单调递增，求实数 a的取值范围；（3）若 a1 且不等式 f（x）2x-3 对一切实数 xR 恒成立，求 a的取值范围解析：（1）当 a=-1时，f（x）=x 2+（x-1）|x+1|，故有，f(x)= ，112x当 x-1 时，由 f（x）=1，有 2x2-1=1，解得 x=1，或 x=-1当 x-1 时，f（x）=1 恒成立，方程的解集为x|x-1 或 x=1（2）f(x)= axax)1(2若 f（x）在 R上单调
6、递增，则 ，解得 a ，当 a 时，f（x）在 R上单调递增014a31（3）设 g（x） =f（x）-（2x-3 ），则 g(x)= ，axa,31)2不等式 f（x）2x-3 对一切实数 xR 恒成立，等价于不等式 g（x）0 对一切实数 xR 恒成立a1，当 x（- ，a ）时，g（x）单调递减，其值域为（a 2-2a+3，+ ），a 2-2a+3=（a-1） 2+22，g（x）0 成立当 xa，+）时，由 a1，知 a ，g （x）在 x= 处取得最小值，4343令 g( )=a+3- 0，解得-3a5，又 a1，-3a 1 综上，a-3 ，1 ）48)(23.已知函数 f（x）=x|
7、x-a|+2x-3（1）当 a=4，2x5，求函数 f（x）的最大值与最小值；（2）若 xa，试求 f（x）+30 的解集；（3）当 x1，2时，f（x）2x-2 恒成立，求实数 a的取值范围解析：（1）当 a=4时，f（x）=x|x-4|+2x-3，2x4 时，f（x）=x（4-x）+2x-3=-（x-3） 2+6，当 x=2时，f（x） min=5；当 x=3时，f（x） max=6当 4x5 时，f（x）=x（x-4）+2x-3=（x-1） 2-4，当 x=4时，f（x） min=5；当 x=5时，f（x） max=12综上所述，当 x=2或 4时，f（x） min=5；当 x=5时，f
8、（x） max=12（2）若 xa，f（x）+3=xx-（a-2），当 a2 时，xa-2，或 x0，因为 aa-2，所以 xa；当 a=2时，得 x0，所以 xa；当 a2 时，x0，或 xa-2，若 0a2，则 xa；若 a0，则 x0综上可知：当 a0 时，所求不等式的解集为a，+）；（10 分）当 a0 时，所求不等式的解集为（0，+）（12 分）（3）当 x1，2时，f（x）2x-2，即 x|x-a|1 - x-a x- ax+x1x1因为 x- 在 x1，2上增，最大值是 2- = ，1213x+ 在 x1，2上增，最小值是 2，故只需 a2故实数 a的取值范围是 a2x1 323
9、4.已知函数 f（x）=x 2-1，g（x）=a|x-1|（1）若函数 h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，求实数 a的取值范围；（2）当 a-3 时，求函数 h（x）=|f（x）|+g（x）在区间-2，2上的最大值解：（1）函数 h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，即 h（x）=|f（x）|-g（x）=|x 2-1|-a|x-1|只有一个零点，显然 x=1是函数的零点，即|x+1|-a=0 无实数根，a0；（2）h（x）=|f（x）|+g（x）=）=|x 2-1|+a|x-1|= ，12122 xax当 1x2 时，a-3，- ，当 x=2时，h（x）的最大值为 h（2）=a+3；2a3当-2x-1 时， - ，当 x=-2时，h（x）的最大值为 h（-2）=3a+3；当-1x1 时，h（x）的最大值为 maxh（-1），h（1），h（- ）=max2a，0， a2+a+1= a22a4+a+1，函数 h（x）最大值为 h（a ）= .62414032ax
