1、例说初中代数化简求值题的几种化简方式昭通市盐津县第三中学 廖发蓉邮编 657500化简求值题是初中数学中最为常见的题型,是培养学生计算能力和综合运用数学知识的重要内容。从人教版义务教育教科书七年级数学(上册)第二章整式开始,化简求值题不仅贯穿于整个初中的各个学段,而且在初中学业水平考试及各类竞赛中都属必考内容。在通常情况下,化简求值题比较复杂,这类题型具有形式多样、思路多变的特点。但学生在解题过程中,若能灵活运用恰当的化简技巧和方法,就能达到化繁为简、化难为易的效果。笔者经过多年的教学实践,归纳出化简求值题的几种化简方式,与同仁交流。一、直接代入式直接代入法是化简求值题中最简单、最基础的方法。
2、例 1、已知:a=1,求代数式 a2+a-2 的值。分析:观察本题,已知条件 a 的值非常具体,代数式 a2+a-2 的结构也很简单,不需要进行复杂的变形和化简,只需将所给的已知条件 a=1 代入所求代数式,即可求出代数式的值。解:当 a=1 时 原式= 1 2+1-2=2-2=0二、已知化简式例 2、已知 + y2-4y+4=0,求代数式 xy 的值。x分析:观察所求的代数式 xy 可知,本题的结论简单、明了,只需知道 x与 y 的值便可求出 x 与 y 的积的值。根据已知等式 + y2-4y+4=0 的结构特x点,利用二次根式和完全平方公式的非负性,结合性质“几个非负数的和为零,则每个数为
3、零” ,只需将已知条件进行化简,求出 x、y 与的值即可求出 xy 的值。解: + y2-4y+4=0x + (y-2)2=0x-y=0 且 y-2=0解得: x=2 y=2原式=22=4三、结论化简式例 3、已知 x=2- ,求代数式(7+4 )x 2+(4+2 )x+1 的值。333分析:本题中 x 的值是明确的、具体的,因此只需将结论,即所求代数式(7+4 )x 2 +(4+2 )x+1 进行化简后,将 x 的值代入计算即可。观察代数式33学生不难发现, (7+4 )x 2 +(4+2 )x+1 是关于 x 的二次三项式,由于二次3项系数(7+4 ) 、一次项系数(4+2 )中都含有二次
4、根式 ,学生不易发现3 3(7+4 )x 2 +(4+2 )x+1 是完全平方公式。因此在化简过程中要善于引导学生根据完全平方公式的意义,找出各项系数的关系,利用拆分法可将(7+4 )转化成(2+ ) 2的形式,反用乘法分配律可将(4+2 )转化成33 32(2+ )的形式,最终将(7+4 )x 2 +(4+2 )x+1 转化成(2+ )x32+2(2+ )x+1 的完全平方式,将 x =2- 代入上式即可求解。3解:原式=(4+4 +3)x 2 +2(2+ )x+ 12 33=(2+ ) 2x2+ 2(2+ )x+ 12=(2+ )x 2+2(2+ )x+133=(2+ )x+1 2当 x
5、=2- 时,原式=(2+ ) (2- )+1 233=(4-3+1) 2=22=4四、已知、结论双化式例 4、已知 x = ,y= ,求代数式 + 的值。21-1yx分析:观察本题,已知条件 x = 、y= 与所求结论 + 之间没有21-1yx显著的联系,因此要解答本题,还需要从条件和结论两方面进行分析。1、观察结论,将代数式 + 通分得 可知,所求结果与已知条件 x yxxy2、y 的积和平方和有关。2、观察已知条件 x = 、y= ,它们的分母中含有 ,因此需要21-12对 x = 、y= 进行分母有理化,分别得 x =-1+ 、y=-1- 。1-3、结合代数式 与 x =-1+ 、y=-
6、1- 的关系,先求出 x 与 y 的和y222与积分别得 x+y=-2、xy=-1,再利用完全平方公式将 x2 +y2变形为(x+y) 2-2 xy 的形式,最终求出代数式 + 的值。yx4、例题 4 这种题型在数学中具有较大的难度,不仅对已知和结论都要化简,同时要求学生有较高的数学思维能力方可求解,因此要求教师的教学中加强学生的数学思维的训练。解:将 x = 、y= 变形为 x =-1+ 、y=-1- ,则有21-122x+y=(-1+ )+(-1- )=-2xy=(-1+ )(-1- )=-12 + = =yx2yxy)(当 x+y=-2、xy=-1 时+ = = =-6yxxy2)( 1
7、-2)()( 五、逐个化简代入式例 5、已知 x2 +3x-1=0,求代数式 2 x4 +6x3 +6x-2 的值。分析:本题是一道技巧性很强的题目,可以通过观察已知条件和所求代数式的结构特点,找准解决问题的突破口,化难为易,使解题过程简捷清晰。1、观察已知条件 x2 +3x-1=0 的特点,可变形为 x2 +3x=1 的形式。2、观察所求代数式 2 x4 +6x3 +6x-2 的结构特点,无法实现一次性化简求值,只能通过逐个化简凑整成为 x2 +3x 的形式后,再整体逐个代入消去 x2 +3x最终达到求值的目的。解: x 2+3x-1=0 x 2+3x=1 2x 4+6x3+6x-2=2x2(x 2+3x)+6x-2=2x21+6x-2=2(x 2+3x)-2=21-2=0