1、数值计算方法第一章 误差的基本知识,第一章 误差的基本知识,1.0 误差的来源1.1 绝对误差、相对误差及有效数字1.2 数值计算的误差估计及算法稳定性1.3 数值计算中应注意的一些原则,第一章 误差的基本知识,1.0 误差的来源 (1) 观测误差：受测量工具本身精度的影响 (2) 模型误差：因简化和抽象，数学模型本身包含的误差 (3) 截断误差：近似解与精确解之间的误差，将数学模型转化为数值方法时产生 (4) 舍入误差：取有限位小数所引起的误差,例1 公式： 所产生的误差即截断误差 例2 R = - 3.14159 = 0.0000026. 所产生的误差即舍入误差注：(1) 疏忽大意造成的错
2、误不属于误差。 (2) 总假定：由实际问题建立的数学模型是合理的，参量也是足够精确的 (3) 主要讨论截断误差和舍入误差。,1.1 绝对误差、相对误差及有效数字1. 绝对误差与绝对误差限 定义3.1 设x为精确值，x*为x的近似值，称e = x* - x为近似值x*的绝对误差，简称误差，简记为e。注：e可正可负，很难求出（但往往知道|e|的范围：|e| ） 若|e| = | x* - x | (x*)，则称(x*)为x*的绝对误差限，简称误差限，简记为。注：(1) 0 (2) x的范围：x* - x x* + ，工程上常记为：x = x* 。（知道误差限就可知道精确值的范围）,例1：“四舍五入
3、”的绝对误差限 设x = 0.a1a2 anan+110m， 十进制标准表示式（a1 0）。 四舍五入： 此时，总有,2. 相对误差与相对误差限 绝对误差限不能完全表示近似程度的好坏，如x = 100 2，y = 10 1 定义3.2 称 为近似值x*的相对误差。 若 ，则称r为近似值x*的相对误差限。 注：(1) 由于 与 相差很少，而前者不易求得，故用后者代替前者。,(2) 绝对误差和绝对误差限有量纲，而相对误差和相对误差限无量纲，常用百分数表示。 仍然考虑：x = 100 2，y = 10 1： 即x* = 100，y*= 10的相对误差限分别是2%与10%，故x*近似x的程度比y*近似
4、y的程度好。 (3) 绝对误差限与相对误差限均不唯一（上限不唯一，越小越好）。,例2：设 = 3.14159265，按四舍五入取五位数字作为其近似值：x* = 3.1416，则e = x* - = 0.0000073，,3. 有效数字和有效数字位数 定义3.3 若x*的误差绝对值不超过某一位数的半个单位，而该位数字到x*的第1位（最左边）非零数字共有n位，则称x*有n位有效数字，这n个数字都称为有效数字。 如设x = = 3.14159265 取x* = 3.14，则|x* - x| = 0.00159265 0.005 =（绝对误差限）有效位3 取x* = 3.141，则|x* - x| =
5、 0.00059265 0.005 = 有效位3 取x* = 3.142，则|x* - x| = 0.0004073 0.0005 = 有效位4 注：上述做法其实就是通常的四舍五入法。,如何描述有效数字？（一般情况下在计算机中数往往规格化，故有必要考察规格化数。） 定义3.4 若x* = 10m 0.a1a2an（a1 0）是对x的第n+1位数字进行四舍五入后得到的近似值，即|x* - x| ，则x*具有n位有效数字。 注：(1) 称x*具有n位有效数字，即| x* - x| (2) 有效数字位数与小数点的位置无关（即上式中的m不起作用）。只有写成规格化数后，小数点后的数字位数才有用。 (3)
6、 4与4.0具有不同的有效数位。,例3：设准确值为x = 3.78695，分析近似值x1*= 3.7869， x2*= 3.7870分别具有几位有效数字。 解：|x1* - x| = 0.00005= （小数点后第4位），有效位5。 |x2* - x| = 0.00005= （小数点后第4位），有效位5。 (4) 一般来说，有效位数越多，其误差值越小，但也有例外。（误差相同，有效位不同，如下例） 例4：设x = 1000 ，它的两个近似值x1*=999.9和x2*=1000.1分别有3,4位有效数字。,4. 有效数字与相对误差间的关系 上面用绝对误差来描述了有效数位，下面考虑相对误差与有效数位
7、的关系。 命题 设x* = 10k 0.a1a2an（a1 0）是x的近似值 若x*具有n位有效数字，则其相对误差限满足：证明：因为| x*| 0.a1 10 k，且x*具有n位有效数字，所以 注：有效数位越多，则相对误差越小，反之亦然。,在实际应用中，为了要使取得的近似数的相对误差满足一定的要求，可以用命题中的不等式来确定所取得近似数应具有多少位有效数字。 例5：求 的近似值，使其相对误差不超过0.1%。 解：因为 ，设x*具有n位有效数字，则其相对误差满足：（命题）。满足此式有n = 4，故取x*= 2.449。,例6：确定圆周率的近似值 的绝对误差、相对误差及有效数位。 解：因为* =
8、= 3.141592920， = 3.141592653589793 所以，|* |=0.00000026，且 误差|e| = |* | 0.0000005= ，所以有7位有效数字。,1.2 数值计算的误差估计及算法稳定性1. 函数运算中的误差 当自变量有误差时，计算相应的函数值也会产生误差，其误差限可由泰勒展式估计。 (1) 设f具有二阶导函数，x*为x的近似值，则,1.2 数值计算的误差估计及算法稳定性1. 函数运算中的误差 (2) 若f是n元函数，有二阶连续偏导数，xi*为xi的近似值，i=1,2,n，则,1.2 数值计算的误差估计及算法稳定性1. 函数运算中的误差 (2) 若f是n元函
9、数，有二阶连续偏导数，xi*为xi的近似值，i=1,2,n，且,2. 四则运算中的误差 四则运算作为二元函数的特例： (1) 加减法：,2. 四则运算中的误差 四则运算作为二元函数的特例： (2) 乘法：,2. 四则运算中的误差 四则运算作为二元函数的特例： (3) 除法：,3. 浮点基本运算的误差 (1) 浮点数及其误差 二进实数：x = 2 0.12t 其中1 0 机器数： x* = 2 0.12t 符号 阶码 尾数尾数的长度由硬件决定 称fl(x) = x*为x的机器规格化浮点数，简称浮点数. 记 = 0.12t， * = 0.12t，则 x = 2 ，x* = 2 *,记 = 0.12
10、t， * = 0.12t，则 x = 2 ，x* = 2 *显然，| | | *| 0.1=2-1， 所以，误差（舍入）：|e| = | x* x | = | fl(x) x | =2| *| 2 2-t = 2t 相对误差（舍入）：,(2) 浮点数的四则运算 记fl(x)的相对舍入误差为 ，则fl(x) x = xx，|x| 2t+1. 由此得到浮点数四则运算产生的舍入误差为：fl(x y) = (x y) + (x y) 1,2=(x y)(1+ 1,2)fl(xy) = (xy)(1+ 3) | x | 2t+1 x=1,2,3,4.,例7 设x = 2101 0.101101，y =
11、211 0.111101，求fl(xy).解：显然t = 110（6位），10111=10 2|a2 b2|，即1/3 (a/b)2 3时，算法的相对误差较小，因此算法比算法在数值上更可靠，而当(a2 + b2) 2|a2 b2|时，算法比算法在数值上更可靠。例如：a = 0.3237，b = 0.3134，用4位有效数字计算a2 b2，可得如下结果：算法 a * a = 0.1048，b * b = 0.9822 101， (a * a) (b * b) = 0.66 102；算法 a +* b = 0.6371，a * b = 0.1030 101， (a +*a)(b *b) = 0.6
12、562 102。a2 b2的准确值是0.656213 102，可见算法比算法的结果可靠。而a/b = 0.3237/0.3134 = 1.032865.，满足1/3 (a/b)2 3，即由理论分析也知算法比算法的结果可靠。,1.3 数值计算中应注意的一些原则1. 选用稳定性好的算法，以控制误差的传播例：在4位有效数字的精度下求定积分的值： n = 0，1，2，100解：由于初值于是可建立递推公式,1. 选用稳定性好的算法，以控制误差的传播建立递推公式这是一个数值稳定性不好的算法，y0的舍入误差传播到y1时增大5倍，如此进行，传播到y100时将增大5100倍。,如果改变计算公式，先取一个yn的近
13、似值，用下面的公式（1.9）倒过来计算yn-1，yn-2，即：情况就不同了。我们发现Ik的误差减小到 后传给Ik-1，因而初值的误差对以后各步的计算结果的影响是随着n的增大而愈来愈小。,利用估计式取y100的近似值为按下式即可求出101个积分值：由于y100的误差在计算过程中的每一步都被乘以1/5，所以该算法是一个稳定算法。,对于一个稳定的计算过程，由于舍入误差不增大，因而不具体估计舍入误差也是可用的。而对于一个不稳定的计算过程，如计算步骤太多，就可能出现错误结果。因此，在实际应用中应选用数值稳定的算法，尽量避免使用数值不稳定的算法。,2. 防止大数吃小数 对位中 连加中的顺序： 如在5位机上
14、计算 . 52492=0.52492105，ai 0.9 = 0.000009105 = 0 应先计算 ，再与52492相加.,3. 避免相近两数相减 因为 有效数位会严重损失 如x = 1.232，y = 1.231，在4位机上计算：z = x3 y3 = (1.232)3 (1.231)3 = 0.1870 101 0.1865 101 = 0.5 102，至多1位有效数字,3. 避免相近两数相减改为：z = (x y)(x2 + xy + y2) = 0.1 102(0.1518 101 +0.1517 101+0.1515 101) = 0.455 102，此时将有3位有效数字因为x2
15、、xy、y2均为四舍五入所得，其绝对误差限为0.0005 = 0.5103，所以z = 0.455 102的绝对误差限为：z = 0.1 102(0.5103 + 0.5103 + 0.5103) = 0.15105 0.5105从而近似值0.455 102的三位数字4、5、5都是有效的。,注：改变减法的例子,4. 避免小数做除数和大数做乘数5. 防止出现机器零和溢出死机,6. 简化计算步骤，减少运算次数 如：x255 = xx2x4x8x16x32x64x128 又如：计算pn(x) = anxn+an-1xn-1+a1x+a0 改为： （秦九韶法）7. 其他 (1) 利用耗时少的运算 加比乘快，乘比除快 (2) 充分利用存储空间,
