1、零件参数的优化设计摘 要本文建立了一个非线性多变量优化模型。已知粒子分离器的参数 y 由零件参数 决定，参数 的容差等级决定了产品的成本。总费用就包括)72,1(ixixy 偏离 y0 造成的损失和零件成本。问题是要寻找零件的标定值和容差等级的最佳搭配，使得批量生产中总费用最小。我们将问题的解决分成了两个步骤：1.预先给定容差等级组合，在确定容差等级的情况下，寻找最佳标定值。2.采用穷举法遍历所有容差等级组合，寻找最佳组合，使得在某个标定值下，总费用最小。在第二步中，由于容差等级组合固定为 108 种，所以只要在第一步的基础上，遍历所有容差等级组合即可。但是，这就要求，在第一步的求解中，需要一
2、个最佳的模型使得求解效率尽可能的要高，只有这样才能尽量节省计算时间。经过对模型以及 matlab 代码的综合优化，最终程序运行时间仅为 3.995 秒。最终计算出的各个零件的标定值为：=0.0750,0.3750,0.1250,0.1200,1.2919,15.9904,0.5625,ix等级为： BCd,一台粒子分离器的总费用为：421.7878 元与原结果相比较，总费用由 3074.8（元/个）降低到 421.7878（元/个） ，降幅为 86.28%，结果是令人满意的。为了检验结果的正确性，我们用计算机产生随机数的方式对模型的最优解进行模拟检验，模拟结果与模型求解的结果基本吻合。最后，我
3、们还对模型进行了误差分析，给出了改进方向，使得模型更容易推广。关键字：零件参数 非线性规划 期望 方差一、问题重述一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的倍。进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。这时要考虑两方面因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成
4、本，容差设计得越小，成本越高。试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。粒子分离器某参数（记作 y）由 7 个零件的参数（记作 x1,x2,.,x7）决定，经验公式为： 7616.24356.02485.012351 .1.24.7 xxxY y 的目标值（记作 y0）为 1.50。当 y 偏离 y0+0.1 时，产品为次品，质量损失为1,000 元；当 y 偏离 y0+0.3 时，产品为废品，损失为 9,000 元。零件参数的标定值有一定的容许范围；容差分为、三个等级，用与标定值的相对值表示，等为+1%，等为+5%，等为+10%。7 个零件参数标定值的容许范围，及不同容差等级零件的成本
5、（元）如下表（符号表示无此等级零件）：标定值容许范围 等 等 等x1 0.075,0.125 25 x2 0.225,0.375 20 50 x3 0.075,0.125 20 50 200x4 0.075,0.125 50 100 500x5 1.125,1.875 50 x6 12,20 10 25 100x7 0.5625,0.935 25 100现进行成批生产，每批产量 1,000 个。在原设计中，7 个零件参数的标定值为：x 1=0.1,x2=0.3,x3=0.1,x4=0.1,x5=1.5,x6=16,x7=0.75;容差均取最便宜的等级。请你综合考虑 y 偏离 y0造成的损失和零
6、件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差） ，并与原设计比较，总费用降低了多少？二、模型假设1、将各零件参数视为随机变量，且各自服从正态分布；2、假设组成离子分离器的各零件互不影响，即各零件参数互相独立；3、假设小概率事件不可能发生，即认为各零件参数只可能出现在容许范围内；4、在大批量生产过程中，整批零件都处于同一等级， 。本题可认为 1000 各零件都为 A 等、B 等或 C 等；5、生产过程中出质量损失外无其他形式的损失；6、在质量损失计算过程中，认为所有函数都是连续可导的。三、符号说明：第 i 类零件参数的标定值（i=1,27） ；ix：第 i 类零件参数的实际值相对目标值的偏差（i=
7、1,27） ；i：第 i 类零件参数的容差（i=1,2,7） ；ir：第 i 类零件参数的方差（i=1,2,7） ；i：标定值 的上、下限；iba,ixy：离子分离器某参数的实际值；：离子分离器该参数的目标值；0：离子分离器某参数的均值；y：离子分离器某参数的实际值 y 相对平均值 的偏差； y：离子分离器某参数的方差；y:一批产品中正品的概率；1P:一批产品中次品的概率；2:一批产品中废品的概率；3P：一批产品的总费用（包括损失和成本费） ；W：第 i 类零件对应容差等级为 j 的成本（j=A,B,C） 单位：元/个。ijC最 优 解四、问题分析总费用损失费 成本费次品率 废品率 服从正态分
8、布 容差等级ix服从正 容差y态分布泰勒公式将 期 望 方 差 ixir其线性化 该问题是一定约束条件下的最优化问题，经分析题意，拟建立以总费用为目标函数的非线性规划模型。总费用由损失费和成本费两部分组成，零件成本由简单的线性代数式决定，而损失费涉及概率分布的非线性函数。要求出损失费，就必须知道一批产品的次品率和废品率，结合各类零件都服从 ，),(2ixN可假设 y 也服从正态分布，联想正态分布的性质当各变量均服从正态分布时，其线性组合也服从正态分布。题中所给经验公式为一复杂的非线性的公式，无法直接对其分析处理，所以需借助泰勒公式将其展开并作相应处理使其线性化。而对于零件成本，需先确定容差等级
9、才能求得成本费。由容差等级和各类零件的标定值 便可知道给类零件的容差 。最后，便将问题转化为 、 关ixirixir于总目标函数的最优解的问题上。在进行零件参数设计时，如果零件设计不妥，造成产品参数偏离预先设定值，就会造成质量损失，且偏差越大，损失也越大；零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小（即精度越高）零件成本越高。 合理的设计方案应既省费用又能满足产品的预先设定值，设计方向应该如下：（1）设计的零件参数，要保证由零件组装成的产品参数符合该产品的预先设定值，即使有偏离也应是在满足设计最优下的容许范围。（2）零件参数（包括标定值和容差等级）的设计应使总费用最小为优。此外分析零件的成本
10、及产品的质量损失不难发现，质量损失对费用的影响远大于零件成本对费用的影响，因而设计零件参数时，主要考虑提高产品质量来达到减少费用的目的。五、模型建立为了确定原设计中标定值（ 的期望值）及已给的容差对xi(,)127产品性能参数影响而导致的总损失 ，即确定 偏离目标值 所造成的损失Wyy0和零件成本，先列出总损失的数学模型表达如下：)901(10327PCij当然，为了确定总损失 ，必须知道 、 、 （即正品、次品及废品123的概率） 。为此，将经验公式用泰勒公式在 处展开并略去二次)7,(ixX以上高次项后来研究 y 的概率分布，设 ，则yf)(71)(iiixxfXf将标定值 带入经验公式即
11、得72,1(ix)(ixfy所以 iixf71由于在加工零件时，在标定值知道的情况下，加工误差服从正态分布，即）（ 2,0Niix且 相互独立，由正态分布性质可知ix),(2yNy由误差传递公式得（1）2712712 )()(iiiiiy xfxf由于容差为均方差的 3 倍，容差与标定值的比值为容差等级，则3.0,5.ixy 的分布密度函数为221)(yeyyy 偏离 的概率，即次品的概率为1.0（2）8.164.12 )()(ydydPy 偏离 的概率，即废品的概率为3.0（3）8.12.13 )()(yy由于 y 偏离 越远，损失越大，所以在 固定时，调整 y 使之等于目标值0 y可降低损
12、失。取 即 ，则0 0y0)1.(2yP)3.(3yP为标准正态分布函数。)(t综合考虑 y 偏离 y0造成的损失和零件成本，设计最优零件参数的模型建立如下：目标函数min )901(10327PCWijs.t. 7,(iaxbiii)21)(0 fyi六、模型求解初略分析对于原给定的设计方案，利用 matlab 编程计算（见附录） ，计算结果如下：正品率 次品率 废品率 成本费 损失费 总费用0.1260 0.6239 0.2501 200 2874.8 3074.8由于按原设计方案设计的产品正品率过低，损失费过高，显然设计不够合理。进一步分析发现，参数均值 =1.7256 偏离目标值 =1
13、.5 太远，致使损失y0y过大。尽管原设计方案保证了正本最低，但由于零件参数的精度过低，导致正品率也过低。所以我们应综合考虑成本费和损失费。模型的实现过程：本模型通过 matlab 进行求解，我们通过理论模型求解和随机模拟的求解过程如下：在给定容差等级的情况下，利用 matlab 中求解非线性规划的函数fmincon，通过多次迭代求解，最终求得一组最优解。最初，我们设定的fmincon 函数的目标函数就是总费用，约束条件为各个标定值的容许范围，以及各零件标定值带入产品参数表达式应为 ，即 1.5。然而，在迭代过程中我们0y发现，求解过程十分慢，在给定容差等级的确定的情况下，计算最优标定值需要将
14、近 400 秒，如果在此基础上对 108 种容错等级进行穷举查找最优组合，将需要大概 12 小时。显然这是不合理的。因此，我们在仔细对 matlab 实现代码研究发现，求解过程之所以慢，是因为代码中存在多次调用求偏导和积分的函数，在 fmincon 的多次迭代中，耗费大量时间。所以，为了提高求解速度，我们首先利用 matlab 中 diff 函数对产品参数中的各个表达式进行求偏导，然后得到多个带参表达式，利用 int 函数对 y 的概率密度函数进行积分，分别得到出现次品和废品概率的表达式，然后将这些表达式写进程序里，这样在求解过程中就不需要在每一次迭代中都要求偏导和积分了，修改后的程序运行时间
15、大大减少。确定一组容差等级初始化最小费用为 INFminW利用 fmincon 寻找最佳标定值 求出总费用 W min程序流程图Y还有容差 N 算 法等级未计算 结 束YminN程序见附录，求解结果如下：零 件种 类1 2 3 4 5 6 7零 件参 数0.0750 0.3750 0.1250 0.1200 1.2919 15.9904 0.5625容 差等 级B B B C C B B正品率 次品率 废品率 成本费 损失费 总费用0.8533 0.1476 0.0000 275 146.7878 421.7878运行总时间：3.995s离子分离器参数均值 =1.5y离子分离器参数方差 =0.
16、0689y模型检验对设计方案进行动态模拟，由于每种零件参数均服从正态分布，用正态分布随机数发生器在每种零件参数允许范围内产生 1000 个随机数参与真实值 的ix计算随机模拟 N 次后结果如下：正品率 次品率 废品率 成本费 损失费 总费用0.8570 0.1430 0.0000 275 143 418根据最优解的 =1.5， =0.0689 画出 y 的概率分布图，再对 x 随机取样yy画出 y 的概率分布图（见图 6.1） ，由图可知：两组数据所画概率分布图的拟合度相当高，进一步确保了模型的正确性。图 6.1 概率分布图对比图通过以上数据，与原设计方案所得结果相比较，总费用由 3074.8
17、（元/个）降低到 421.7878（元/个） ，降幅为 86.28%，结果是令人满意的。七、误差分析1、在建模过程中，通过泰勒公式将 展开并略去二次及以上项使)(Xfy线性化，不可避免地产生了截断误差，所以展开后的式子只是原经验公式的近似关系式。但在一般情况下，线性化和求总和在实用上具有足够的精度，所以由于函数线性化而略去的高次项可以忽略不计。在函数关系式较复杂的情况下，将其线性化更具有明显的优势。2、本模型忽略了小概率事件发生的可能，认为零件的参数只可能出现在允范围内，即 。现实中，小概率事件仍有发生的可能性，但在大iiix3,批量生产中，小概率事件的发生对最终结果没有影响，所以可以忽略。3
18、、该模型对于质量损失的计算，将所有函数都看作连续函数，而这对于每个零件参数而言是不可能的，所以其中也会产生误差。八、模型的评价及推广1.优点（1）建模过程中，采用泰勒公式将经验公式简化，并假设各零件参数都服从满足大量数据的正态分布，使得整个模型的建立及求解得到大大简化。（2）本模型运用概率统计与优化知识对零件参数进行优化设计。通过建立一个反映设计要求的数学模型，利用 MATLAB 软件，经过编程来实现对设计方案参数的调整，将总费用由 3074.8（元/个）降低到 421.7878（元/ 个） ，降幅达到86.28%，结果还是令人十分满意的。（3）本模型在程序运算的过程中，做了适当处理，将每次循
19、环本该由计算机求偏导和积分的提前人为处理，将求偏导和积分后的算式写入程序中，这样大大节约了运算时间，将运行时间由几个小时缩短为 3.0995s。2.缺点（1）本模型在模型的求解过程中，对一些可接受范围内的误差直接进行了忽略，因而对于结果的精确性还是会有一定的影响。（2）本模型是建立在一些假设中的，所有实用性受到了限制，在实际生产中，如果可以把更多的一些因素考虑进去应该会更好。在已假定的条件下，本模型的优化结果是好的。3 推广此模型有较强的应用价值。工程中往往因为某个零件的选取不当，而影响产品的参数，使可靠性降低，造成了极大的经济损失。所以需综合考虑零件成本和质量，以求获得最大的经济效益。本模型
20、具有广泛的适用性，很容易加以推广。模型中的设计变量可以推广到 个的情形，即设计变量 ，其中xi(,)127 nxinR(,)12设计空间 是一个 维空间。本模不仅适用于粒子分离器参数的设计，而且也Rn可用于类似的机构、零部件、工艺设备等的基本参数的设计问题；容差等级同样可推广应用。参考文献【1】 韩之俊,姚平中,概率与统计,国防工业出版社,1985【2】 陈宝林,最优化理论与算法,清华大学出版社,1989【3】 裘宗燕,数学软件系统的应用及程序设计,北京大学出版社,1994【4】 许波， Matlab 工程数学应用 ，清华大学出版社，2001附录：matlab 代码：function f=re
21、sult%穷举108种容错等级组合求解全局最优解fval=inf;tic%Bmin=2 3 3 3 3 3 2;%XminB(1)=2;B(5)=3;for i=2:3B(2)=i;for j=1:3B(3)=j;for t=1:3B(4)=t;for g=1:3B(6)=g;for m=1:2B(7)=m;fv,x=getcost(B);if fv=0.1f(2)=f(2)+1;end;if a=0.3f(3)=f(3)+1;end; end;f(1)=f(1)/iter;f(2)=f(2)/iter;f(3)=f(3)/iter;ffunction f=getparaX(MU,B)%利用标定值MU和容错等级B，随机求一组零件的参数B=int32(B);for i=1:7if B(i)=1sigma0(i)=MU(i)*0.01;end;if B(i)=2sigma0(i)=MU(i)*0.05;end;if B(i)=3sigma0(i)=MU(i)*0.1;end;f(i)=normrnd(MU(i),sigma0(i)/3);% while( (f(i)(MU(i)-sigma0(i) %end;end;
