1、反比例函数（基础）【学习目标】1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质【要点梳理】要点一、反比例函数的定义如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即 ，或表示为 ，其中 是不等于零的常数.xykkyx一般地，形如 ( 为常数， )的函数称为反比例函数，其中 是自变量，k0x是函数，定义域是不等于零的一切实数.y要点诠释：（1）在 中，自变量 是分式 的分母，当 时，分式 无意义，y
2、xxk0xkx所以自变量 的取值范围是 ，函数 的取值范围是 .故函yy数图象与 轴、 轴无交点；y（2） ( )可以写成 ( )的形式，自变量 的指数kyx x是1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 这一条件.（3） ( )也可以写成 的形式，用它可以迅速地求出反比kyx例函数的比例系数 ，从而得到反比例函数的解析式.k要点二、确定反比例函数的关系式确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数 中，只有一个kyx待定系数 ，因此只需要知道一对 的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出 的kxy、 k值，从而确定其解析式.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：（1）设
3、所求的反比例函数为： ( )；kyx0（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；（3）解方程求出待定系数 的值；（4）把求得的 值代回所设的函数关系式 中.kkyx要点三、反比例函数的图象和性质1、 反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与 轴、 轴相交，只是无限靠xy近两坐标轴.要点诠释：（1）若点( )在反比例函数 的图象上，则点 ( )也在此图ab，kyxab，象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；（2）在反比例函数 ( 为常数， ) 中，由于
4、，所k0以两个分支都无限接近但永远不能达到 轴和 轴xy2、反比例函数的性质（1）如图 1，当 时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，0k值随 值的增大而减小；yx（2）如图 2，当 时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随 值的增大而增大；要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数 的符号决定的；反过来，由双曲线所在的k位置和函数的增减性，也可以推断出 的符号.要点四、反比例函数 ( )中的比例系数 的几何意义过双曲线 ( ) 上任意一点作 轴、 轴的垂线，所得矩形的面积为 .xky
5、0xyk过双曲线 ( ) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为 .2k要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.【典型例题】类型一、反比例函数的定义1、在下列函数关系式中，哪些函数表示 是 的反比例函数？yx（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ；5xyyx212xy21yx（6） ； （7） ； （8） （ ， 是常数）x12ayxa【答案与解析】解：根据反比例函数 的形式及其关系式 ， ，可知反比例函数(0)kyk1有：(2)(3)(4)(6)(7)(8)【总结升华】根据反比
6、例函数的概念，必须是形如 ( 为常数， )的函数，才yxk0是反比例函数如(2)(3)(6)(8)均符合这一概念的要求，所以它们都是反比例函数但还要注意 ( 为常数， )常见的变化形式，如 ，kyx0kxyk等，所以(4)(7)也是反比例函数在(5)中， 是 的反比例函数，1ykx 1而不是 的反比例函数(1)中 是 的正比例函数yx类型二、确定反比例函数的解析式2、已知正比例函数 和反比例函数 的图象都过点 A( ，1) 求此正比ykx3xm例函数的关系式及另一个交点的坐标【答案与解析】解： 因为 的图象经过点 A( ，1)，则 ，所以 33yxm1把 A(3，1)代入 中，得 ，所以 k3
7、k所以正比例函数关系式为 13yx由 得 1,3,yx当 时， ；当 时， 所以另一个交点的坐标为(3，1)x1y3x1y【总结升华】确定解析式的方法是特定系数法，由于正比例函数 中有一个待定系数，ykx因此只需一对对应值即可举一反三：【变式】已知 与 成反比，且当 时， ，则当 时， 值为多少？yx6x4y2xy【答案】解：设 ，当 时， ，k64y所以 ，则 24，4所以有 2yx当 时， 412类型三、反比例函数的图象和性质3、在函数 （ 为常数）的图象上有三点 ( )，( )，( )，2ayx1xy， 2， 3xy，且 ，则 的大小关系是（ ） 1230123y， ，A B C D3y
8、123y312y【答案】D；【解析】解：当 时，反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内， 随 的增大而0k yx增大此题中需要注意的是( )，( )，( )不在同一象限内因为1xy， 2， 3x，所以函数图象在第二、四象限内，且在第二、四象限内，221()0ka随 的增大而增大因为 ，所以 因为 在第四象限，而yx12x12y3(,)xy， 在第二象限，所以 所以 1(,)2(,)y312【总结升华】已知反比例函数 ，当 0， 0 时， 随 的增大而减小，需要强kyxxyx调的是 0；当 0， 0 时， 随 的增大而减小，需要强调的是xy0这里不能说成当 0， 随 的增大而减小例如函数
9、 ，当kx2yx1 时， 2，当 1 时， 2，自变量由1 到 1，函数值 由2y到 2，增大了所以，只能说：当 0 时，在第一象限内， 随 的增大而减小举一反三：【变式】已知 的图象在第二、四象限，2(3)myx(1)求 的值(2)若点(2， )、(1， )、(1， )都在双曲线上，试比较 、 、 的大2y3 1y23小【答案】解：(1)由已知条件可知：此函数为反比例函数，且 ， .230m1(2)由(1)得此函数解析式为： 2yx (2， )、(1， )在第二象限，21， y 12y而(1， )在第四象限， 330y 12y类型四、反比例函数综合4、已知点 A(0，2)和点 B(0，2)，
10、点 P 在函数 的图象上，如果PAB 的面1yx积是 6，求 P 点的坐标【答案与解析】解：如图所示，不妨设点 P 的坐标为 ，过 P 作 PC 轴于点 C0(,)xyy A(0，2)、B(0，2)， AB4又 且 ，0|PCx6PABS ， ， 1|20|3x03x又 在曲线 上， 当 时， ；当 时，0(,)xy1013y0x03y P 的坐标为 或 13,1,3【总结升华】通过三角形面积建立关于 的方程求解，同时在直角坐标系中，点到坐标轴0x的距离等于相应坐标的绝对值举一反三：【变式】已知：如图所示，反比例函数 的图象与正比例函数 的图象交于kyxymxA、B，作 AC 轴于 C，连 BC，则ABC 的面积为 3，求反比例函数的解析式y【答案】解：由双曲线与正比例函数 的对称性可知 AOOB，ymx则 132AOCABCS 设 A 点坐标为( ， )，而 AC| |，OC| |，xAAy于是 ，113|22OCxx ，3Axy而由 得 ，所以 ，AkAk3所以反比例函数解析式为 3yx
