1、1遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 。 例 1：如图，ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，BD 平分ABC 交 AC 于点D，CE 垂直于 BD，交 BD 的延长线于点 E。求证：BD=2CE。解题思路：要求证 BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有 BD 平分ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。 解答过程： 证明：延长 BA，CE 交于点 F，在 BEF 和 BEC 中， 1=2，BE=BE，BEF=BEC=90， BEFBEC，EF=EC，从而CF=2CE。 又1+F=3+F=90，故1=3 。 在 AB
2、D 和 ACF 中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90， ABDACF，BD=CF，BD=2CE。 2若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 。 例 2：如图，已知 ABC 中，AD 是BAC 的平分线，AD 又是 BC 边上的中线。求证：ABC 是等腰三角形。证明：延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE。 又因为 AD 是 BC 边上的中线，BD=DC 又BDE=CDA BEDCAD， 故 EB=AC，E=2， AD 是BAC 的平分线 1=2， 1=E， AB=EB，从而 AB=AC，即 ABC 是等腰三
3、角形3遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 例 3：已知，如图，AC 平分BAD，CD=CB，ABAD。求证：B+ADC=180。解题思路：因为 AC 是BAD 的平分线，所以可过点 C 作BAD 的两边的垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。 解答过程： 证明：作CEAB 于 E，CFAD 于 F。 AC 平分BAD， CE=CF。 在 RtCBE 和 RtCDF 中， CE=CF，CB=CD， RtCBERtCDF， B=CDF， CDF+ADC=180， B+ADC=
4、180。 4如图，ABC 中，AB=AC，E 是 AB 上一点，F 是 AC 延长线上一点，连 EF 交BC 于 D，若 EB=CF。求证：DE=DF。解题思路：因为 DE、DF 所在的两个三角形 DEB 与 DFC 不可能全等，又知EB=CF，所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换：过 E 作 EG/CF，构造中心对称型全等三角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决。 解答过程：证明：过 E 作 EG/AC 交 BC 于 G， 则EGB=ACB， 又AB=AC，B=ACB， B=EGB，EGD=DCF， EB=EG=CF， EDB=CDF，DGEDCF， DE=DF。 5：ABC 中
5、，BAC=60，C=40，AP 平分BAC 交 BC 于 P，BQ 平分ABC交 AC 于 Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。解题思路：本题要证明的是 AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过 O 作 BC 的平行线。得ADOAQO。得到 OD=OQ，AD=AQ，只要再证出 BD=OD 就可以了。 解答过程：证明：如图（1） ，过 O 作 ODBC 交 AB 于 D， ADO=ABC=1806040=80， 又AQO=C+QBC=80， ADO=AQO， 又DAO=QAO，OA=AO， ADOAQO， OD=OQ，AD=A
6、Q， 又ODBP， PBO=DOB， 又PBO=DBO， DBO=DOB， BD=OD， 又BPA=C+PAC=70， BOP=OBA+BAO=70， BOP=BPO，BP=OB， AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。 解题后的思考： （1）本题也可以在 AB 上截取 AD=AQ，连 OD，构造全等三角形，即“截长法” 。 （2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下： 图（2） ，过 O 作 ODBC 交 AC 于 D，则ADOABO 从而得以解决。2）解题思路：结论是 CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长” ，即在 CD 上截取 CF=CB，只要再证 DF=DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。 解答过程： 证明：在 CD 上截取CF=BC，如图乙
