1、lBA lPBAlBAB lPBAlBA lPBA北师大版本成都市 2018-2019 学年度七年级数学考点专题：将军饮马“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。模型 1 定直线与两定点模型 作法 结论当两定点 A、B 在直线 异侧l时，在直线 上找一点 P，使lPA+PB 最小。连接 AB 交直线 于点 P，点lP 即为所求作的点。PA+ PB 的最小。当两定点 A、B 在直线 同侧l时，在直线 上找一点 P，使lPA+PB 最小
2、。作点 B 关于直线 的对称点lB，连接 AB交直线于点P，点 P 即为所求作的点。PA+PB 的最小值为 AB。连接 AB 并延长交直线 于点P，点 P 即为所求作的点。的PB最大值为 AB。PB lBAlBAlBA lPBAPEDCBA当两定点 A、B 在直线 同侧l时，在直线 上找一点 P，使l最大。P当两定点 A、B 在直线 同侧l时，在直线 上找一点 P，使l最大。P作点 B 关于直线 的对称点lB，连接 AB并延长交直线于点 P，点 P 即为所求作的点。的PB最大值为AB。当两定点 A、B 在直线 同侧l时，在直线 上找一点 P，使l最小。P连接 AB，作 AB 的垂直平分线交直线
3、 于点 P，点 P 即为l所求作的点。的B最小值为 0。模型实例例 1如图，正方形 ABCD 的面积是 12，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD内，在对角线 AC 上有一点 P，则 PD+PE 的最小值为 。PDCBAEDCBAOy xB（20A（30例 2如图，已知ABC 为等腰直角三角形，AC=BC=4，BCD=15，P 为 CD上的动点，则 的最大值是多少？PAB热搜精练1如图，在ABC 中，AC=BC=2，ACB-90，D 是 BC 边的中点，E 是 AB 边上一动点，则 EC+ED 的最小值是 。2如图，点 C 的坐标为（3， ），当ABC 的周长最短时，求 的值。yy
4、MNDCBA3如图，正方形 ABCD 中，AB-7，M 是 DC 上的一点，且 DM-3，N 是 AC 上的一动点，求 的最小值与最大值。DN模型 2 角到定点模型 作法 结论点 P 在AOB 的内部，在 OB 上找点 D，在 OA上找点 C，使得PCD 周长最小。分别作点 P 关于 OA、OB的对称点 P、P“，连接PP“，交 OA、OB 于点C、D，点 C、D 即为所求。PCD 周长最小为PP“。OPBAPPOABPDCPO BA点 P 在AOB 的内部，在 OB 上找点 D，在 OA上找点 C，使得 PD+CD最小。作点 P 关于 OB 的对称点P，过点 P作PCOA 交 OB 于点 C
5、，点 C、D 即为所求。PC+CD 的最小值为PC。点 P、Q 在AOB 的内部，在 OB 上找点 D，在 OA上找点 C，使得四边形PQDC 周长最小。分别作点 P、Q 关于OA、OB 的对称点P、Q，连接PQ，交 OA、OB 于点C、D，点 C、D 即为所求。PC+CD+DQ 的最小值为PQ，所以四边形PQDC 的周长的最小值为PQ+PQ。模型实例例 1如图，AOB=30，AOB 内有一定点 P，且 OP=10，在 OA 上有一点 Q，OB 上有一点 R。若PQR 周长最小，则最小周长是多少？OPBA POABPDCQPOBACDQABOPCDMNBA热搜精练1如图，MON=40，P 为M
6、ON 内一定点，A 为 OM 上的点，B 为 ON 上的点，当PAB 的周长取最小值时：（1）找到 A、B 点，保留作图痕迹；（2）求此时APB 等于多少度。如果MON= ，APB 又等于多少度？2如图，四边形 ABCD 中，BAD=110，B=D=90，在 BC、CD 上分别找一点 M、N，使AMN 周长最小，并求此时AMN+ANM 的度数。POMNOy xB（31A13O MNBA3如图，在 轴上找一点 C，在 轴上找一点 D，使 AD+CD+BC 最小，并xy求直线 CD 的解析式及点 C、D 的坐标。4如图MON=20，A、B 分别为射线 OM、ON 上两定点，且 OA=2，OB=4，
7、点 P、Q 分别为射线 OM、ON 上两动点，当 P、Q 运动时，线段AQ+PQ+PB 的最小值是多少？dBA AA dMNB模型 3 两定点一定长 模型 作法 结论如图，在直线 上找 M、N 两l点（M 在左），使得AM+MN+NB 最小为A“B 。21BA 21AMNBAFCDOy xEBAAM+MN+NB 最小，且 MN= 。d将点 A 向右平移 个单位d到 A，作 A关于直线的对称点 A“，连接 A“Bl交直线 于点 N，将点 N 向左平移 个单位到 M，点M、N 即为所求。如图， ， ， 之间1l21l2距离为 ，在 ， 分别找dM、N 两点，使得 MN ，1l且 AM+MN+NB
8、最小。将点 A 向下平移 个单位d到 A，连接 AB 交直线于点 N，将点 N 向上平移2l个单位到 M，点 M、N 即d为所求。AM+MN+NB 的最小值为 AB+ 。d模型实例例 1在平面直角坐标系中，矩形 OABC 如图所示，点 A 在 轴正半轴上，点 C 在 轴正半轴上，xy且 OA=6，OC=4，D 为 OC 中点，点 E、F 在线段OA 上，点 E 在点 F 左侧，EF=2。当四边形 BDEF的周长最小时，求点 E 的坐标。热搜精练CDOy xBA21BA1在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A、B 分别在，轴、 轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D 为边 OB 的中点。xy（1）若 E 为边 OA 上的一个动点，求CDE 的周长最小值；（2）若 E、F 为边 OA 上的两个动点，且 EF=1，当四边形 CDEF 的周长最小时，求点E、F 的坐标。2村庄 A 和村庄 B 位于一条小何的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使 A 与 B 之间的距离最短？
