1、13.4 简单线性规划学习目标 1、了解二元一次不等式（组）的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）来表示的平面区域.2、理解线性规划有关概念，初步学会解决简单的线性规划问题3、会用“数轴标根法”解一元二次不等式，分式不等式，简单的高次不等式。学习过程 一、新课导学 探索新知探究 1：本班计划用少于 100 元的钱购买单价分别为 2 元和 1 元的大、小彩球装点元旦晚会的会场，根据需要，大球数不少于 10 个，小球数不少于 20 个，请你给出几种不同的购买方案？分析：（1）引入问题中的变量：设买大球 x 个，买小球 y 个； （2）把文字语言转化为数学符号语言： （少于 100 元的钱购买）
2、102y（1）（大球数不少于 10） x， N（2）（小球数不少于 20） ， （3）（3）抽象出数学模型： 2y10x,1探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形数轴上的区间二元一次方程表示的是什么图形？ 直线思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？问题一：平面直角坐标系中不在直线上的点被直线 AxByC0分为几部分？两部分 以 xy10为例进行直观说明，引出以下概念：每部分叫做 ，开半平面与直线的并集叫做 以不等式解（x,y）为坐标的所有点构成的集合，叫做 或 如何求二元一次不等式表示的平面区域？我们先研究具体的二元一次
3、不等式 xy10的解集所表示的图形问题二：平面内所有的点被直线 分成几类？如图：在平面直角坐标系内， 表示一条直线平面内所有的点被直线分成 类：问题三：每部分中的点都有哪些特点？在直线的上方、下方取一些点：11yxO2上方：（0，2） ， （1，3） ， （0，5） ， （2，2）下方：（-1，0） ， （0，0） ， （0，-2） ， （1，-1）分别把点的坐标代入式子 xy中，会有什么结果？直线上方的点使的 ；直线下方的点使的 猜想： 问题四：直线 10右上方的平面区域如何表示？左下方的平面区域呢？由学生自行归纳总结，不要求证明结论：直线 AxByC把平面直角坐标系中不在直线上的点分为两部
4、分，同一侧点的坐标使式子xy的值具有 ，并且两侧的点的坐标使式子 AxByC的值符号 ，一侧都大于0，一侧都小于 0问题五：如何判断 xy0表示直线 xy0哪一侧平面区域？根据以上结论，只需要在直线的某一侧取一个特殊点( x0 , y0)，从 0ABCyx的正负即可判断不等式AxByC0表示直线哪一侧的平面区域，这种方法称为代点法概括为： “直线定界，特殊点定域” 特别地，当 时，常把原点作为特殊点，即“直线定界、原点定域” 问题六： 0yx表示的平面区域与 0CyAxB表示的平面区域有何不同？如何体现这种区别？把直线画成实线以表示区域 直线；把直线画成虚线以表示区域 直线 例1画出下面二元一
5、次不等式表示的平面区域：（1） ； （2 ） 2xy303xy60例 2画出下列不等式组表示的平面区域（1） （2）xy10x3y201例3一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨如果在此基3础上进行生产，设x,y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域探究 2：1问题：在约束条件41032xy下，如何求目标函数 2Pxy的最大值？建构数学首先，作出约束条件所表示的平面区域，这一区域称为 ，如图（
6、1）所示其次，将目标函数 2Pxy变形为 2xP的形式，它表示一条直线，斜率为，且在 y轴上的截距为P平移直线 2yxP，当它经过两直线 410xy与 4320xy的交点 5(,)4A时，直线在 y轴上的截距最大，如图（2）所示因此，当 5,4时，目标函数取得最大值 527.，即当甲、乙两种产品分别生产 54t和 时，可获得最大利润 7.万元这类求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为 问题其中 (,)使目标函数取得最大值，它叫做这个问题的 对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决说明：平移直线 2yxP时，要始终保持直线经过可行域（即直线与可行域有公共点） 例
7、 1设 z，式中变量 ,y满足条件43521xy，求 z的最大值和最小值4例 2设 610zxy，式中 ,x满足条件43521xy，求 z的最大值和最小值例 3已知 ,xy满足不等式组230651xy，求使 xy取最大值的整数 ,xy例 4投资生产 A 产品时，每生产 100 吨需要资金 200 万元，需场地 200 平方米，可获利润 300 万元；投资生产B 产品时，每生产 100 米需要资金 300 万元，需场地 100 平方米，可获利润 200 万元现某单位可使用资金 1400万元，场地 900 平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？分析：这是一个二元线性规划问题，可先将题中数据
8、整理成下表，以方便理解题意：资 金（百万元）场 地（平方米）利 润（百万元）A 产品 2 2 3B 产品 3 1 2限 制 14 9然后根据此表数据，设出未知数，列出约束条件和目标函数，最后用图解法求解（1）解线性规划设出未知数；列出约束条件（要注意考虑数据、变量、不等式的实际含义及计量单位的统一） ；建立目标函数；求最优解（2）对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点例 5、2012 山东高考学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差5 当堂检测：1在A
9、BC 中，三个顶点 A（2，4） ，B（1，2） ，C（1，0） ，点 P（x，y）在ABC 内部及边界运动，则z=xy 最大值为（ ）1 1 32已知 x、y 满足 32015yx，则 x的最值是（ ）最大值 2，最小值 1 最大值 1，最小值 0 最大值 2，最小值 0 有最大值，无最小值3设 x、yR，则满足条件 042532yx的点 P(x,y)所在的平面区域面积为（ ） 89 87 4变量 x、y 满足下列条件 83yx，则使得 z=3x-2y 的值最大的（x，y）为_5给出下面的线性规划问题：求 z=3x+5y 的最大值和最小值，使 x、y 满足约束条件 351yx如果想使题目中的
10、目标函数只有最小值而无最大值，请你改造约束条件中的一个不等式，那么新的约束条件是 。6甲乙两地生产某种产品，它们可以调出的数量分别为 300 吨，750 吨。A、B、C 三地需要该产品数量分别为200 吨、450 吨、400 吨，甲地运往 A、B、C 三地的费用分别为 6 元吨，3 元吨，5 元吨，乙地运往A、B、C 三地的费用分别为 5 元吨、9 元吨、6 元吨，问怎样调运，才能使总运费最小？例1设计以下几个问题: (1)不等式表示的区域是在哪条直线的一侧？这条直线是画实线还是虚线？(2)运用代点法判断平面区域的位置时取哪个特殊点代入较好?学生完成，师指导例 2设计以下几个问题：1)不等式组
11、表示的平面区域如何确定？(各个不等式表示的平面点集的交集即各个不等式所表示的平面区域6的公共部分)(2)第二小题中加上条件 x,yN，又会是什么图形呢？是上述公共平面区域内的整点)例 3解：x,y 满足的数学关系式为 ：4xy10856分别画出不等式组中，各不等式表示的区域，然后取交集如图中的阴影部分例 1解：由题意，变量 ,xy所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域由图知，原点 (0,)不在公共区域内，当 0,xy时，20zxy，即点 (,)在直线 0l： 2xy上，作一组平行于 l的直线 l： xyt， R，可知：当 l在 0的右上方时，直线 l上的点
12、(,)xy满足 xy，即 t，而且，直线 l往右平移时， t随之增大由图象可知，当直线 l经过点 (5,2)A时，对应的 最大，当直线 l经过点 (1,)B时，对应的 t最小，所以， max25z， min13z例解：由引例可知：直线 0l与 AC所在直线平行，则由引例的解题过程知，当 l与 AC所在直线 352xy重合时 z最大，此时满足条件的最优解有无数多个，当 经过点 (1,)B时，对应 z最小， max60zy， min6106例解：不等式组的解集为三直线 l：OyACB430152ABCxyO1l3l2l7230xy， 2l： 360xy， 3l： 510xy所围成的三角形内部（不含
13、边界） ，设 1l与 2， 1l与3l， 与 l交点分别为 ,ABC，则 ,坐标分别为 3(,)84A， (,)B， 752(,)19C，作一组平行线 ： xyt平行于 0l： xy，当 l往 0右上方移动时， t随之增大，当 l过 C点时 最大为 6319，但不是整数解，又由 7519x知 可取 ,23，当 1x时，代入原不等式组得 2y， xy；当 时，得 0y或 1， 2xy或 1；当 3时， y， x，故 的最大整数解为 x或 例 4：解：设生产 A 产品 百吨，生产 B 产品 y米，利润为 S百万元，则约束条件为21490xy，目标函数为 32Sx作出可行域（如图） ，将目标函数变形
14、为 32yx，它表示斜率为 2，在 y轴上截距为 2S的直线，平移直线 S，当它经过直线与 9x和2314xy的交点 5(,)时， 最大，也即 S最大此时，.72S因此，生产 A 产品 百吨，生产 B 产品 2.5米，利润最大为1475 万元例 5、解析：作出可行域，直线 ，将直线平移至点03yx处有最大值，点 处有最小值，即 .答案应选 A。)0,2(),21( 623z1.已知 满足约束条件 则 的最大值为（ ）xy， 503xy ， ， 24zxy 581382. 下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是（ ） 102xy 102xy 2yx14yx42Oxy12O8
15、 102xy 102xy 3. 已知点 ， ，则在 表示的平面区域内的点是（ ）1()P， 23()0P， ， ， 3 ， ， ， 121323P24. 若 则目标函数 的取值范围是（ ）xy ， ， ， zxy 26， 25， 36， 35，5. 原点 与点集 所表示的平面区域的位置关系是 (0)O， ()|21020Axyyxy， ， ， ，点 与集合 的位置关系是 1M，6. 点 到直线 的距离等于 ，且在不等式 表示的平面区域内，则 点坐标是 (3)Pa， 43xy43xyP7. 某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少 支援物资的任务该公司有 辆载重 的 型卡车与180t 86tA辆
16、载重为 的 型卡车，有 名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为 型卡车 次， 型卡车 次；每辆410tB10A4B3卡车每天往返的成本费 型为 元， 型为 元请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花A32B54的成本费最低？若只安排 型或 型卡车，所花的成本费分别是多少？ 参考答案当堂检测一、1 A ；2C ；3D二、4 （4，3） ； 5 315yx9三、6设从甲到 A 调运 x 吨，从甲到 B 调运 y 吨，从甲到 C 调运（300x-y）吨，则从乙到 A 调运(200-x)吨，从乙到 B 调运(450-y)吨，从乙到 C 调运（100+x+y）吨，设调运的总费用为 z 元，则 z=6
17、x+3y+5(300-x-y)+5(200-x)+9(450-y)+6（100+x+y）=2x-5y+7150。由已知得约束条件为：0145230,yxyx，整理得 30452yx，画可行域并平移直线 2x-5y=0 可得最优解为x=0,y=300。即从甲到 B 调运 300 吨，从乙运到 A200 吨，从乙运到 B150 吨，从乙运到 C400 吨，总运费最省。课后作业1.2.3.4.5. 在区域外， 在区域内 6.OM(3)，7.解：设需 型、 型卡车分别为 辆和 辆列表分析数据Axy型车A型车B限量车辆数 y10运物吨数 24x308费用 3054yz由表可知 ， 满足的线性条件：xy，且 102438y 32054zxy作出线性区域，如图所示，可知当直线过 时， 最小，但32054zx(7.0)A， z不是整点，继续向上平移直线(7.)A，可知， 是最优解这时zxy(52)，（元） ，即用 辆 型min3204608 5A车， 辆 型车，成本费最低B若只用 型车，成本费为 （元） ，只用 型车，成本费为 （元） A32B1805432xyCDBA8O4
