1、抛物线的几何性质,第二课时,目标,1.巩固抛物线的标准方程、几何性质等有关知识; 2.会用二次方程根的判别式,根与系数的关系判定直线与抛物线的关系; 3.掌握直线与抛物线焦点弦有关的问题.,更多资源,点与抛物线,点与圆、椭圆、双曲线的位置关系及判断方法.,点P(x0,y0)与抛物线y2=2px(p0)的位置关系及判断方法.,1.点在抛物线外,2.点在抛物线上,3.点在抛物线内,y02-2px00,y02-2px0=0,y02-2px00,直线与抛物线,1.直线与抛物线相离,3.直线与抛物线相交,2.直线与抛物线相切,x,O,y,(有两个不同的交点相交),或二次项系数为0,方程(组)只有一解,只
2、有一个交点相交,证明:与抛物线y2=2px(p0)的对称轴平行的直线和抛物线只有一个交点.,只有一个交点不一定就相切,结论,1.过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 (1)x1x2=p2/4; (2)y1y2=-p2; (3)|AB|=x1+x2+p (4)若直线AB的倾斜角为,则|AB|=2p/sin2 (5)以AB为直径的圆与准线相切.,A,B,2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交于P(x1,y1)、Q(x2,y2), (1)过P和抛物线顶点的直线交准线于M,则直线MQ平行于抛线的对称轴. (2)过
3、Q作QM准线l,垂足为M,则M、O、P三点共线. (2000年高考题),M,练习,1.已知直线l过点A(-3p/2,p)且与抛物线y2=2px(p0)只有一个公共点,则直线l的条数为 .,2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交于P(x1,y1)、Q(x2,y2),则y1y2=-p2是直线PQ过抛物线焦点的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件,例题,1.AB是抛物线y2=2px(p0)上两点,满足OAOB(O为坐标原点),求证: (1)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积均为定值;,(2)直线AB经过一定点.,(1)逆命题:若横坐标之积
4、为定值4p2(或纵坐标之积为定值-4p2),是否有OAOB?,(2)逆命题:若直线AB过定点(2p,0), 是否有OAOB?,结论,抛物线y2=2px(p0)的轴上有三个点: (1)焦点F:有许多关于焦点弦有关的结论;,(2)点(2p,0):过该点的直线与抛物线交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),有 x1x2=4p2;y1y2=-4p2; OA OB,例题,2.如果抛物线y=ax2-1上总有关于直线x+y=0对称的相异两点,试求a的范围.,小结,1.过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 (1)x1x2=p2/4; (2
5、)y1y2=-p2; (3)|AB|=x1+x2+p/2 (4)若直线AB的倾斜角为,则|AB|=2p/sin2 (5)以AB为直径的圆与准线相切.,2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交于P(x1,y1)、Q(x2,y2), (1)过P和抛物线顶点的直线交准线于M,则直线MQ平行于抛线的对称轴. (2)过Q作QM准线l,垂足为M,则M、O、P三点共线. (2000年高考题),抛物线y2=2px(p0)的轴上有三个点: (1)焦点F:有许多关于焦点弦有关的结论;,(2)点(2p,0):过该点的直线与抛物线交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),有 x1x2=4p2;y1y2=-4p2; OA OB,更多资源,作业,1.在抛物线y2=2x上求一点P,使P到直线x-y+3=0的距离最短,并求出距离的最小值. 2.若直线过定点M(m,0)(m0)与抛物线y2=2px(p0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求证:x1x2=m2;y1y2=-2pm. 3.抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,AB为抛物线的焦点弦,求证: 4. AB为抛物线y2=2px(p0)的焦点弦,A、B在准线上的射影分别为M、N,求证:以MN为直径的圆与AB相切于焦点F.,
