1、- 1 -4.2 平均数知识技能全解一、课程标准要求1、理解平均数的概念，会计算平均数；2、了解加权平均数，会计算加权平均数；3、会用样本的加权平均数来估计总体的平均数；4、经历数据的收集与处理过程，体会用算术平均数（加权平均数）反映一组数据的集中趋势的方法，以及用样本特征估计总体特征的数学统计方法。 二、教材知识全解知能 1 算术平均数的定义如果有 n 个数 我们把 叫做这 n 个数的算术平均数,21nx nx21（arithmetic mean） ，简称平均数（mean ） ，记做 （读做 “ 拔” ）友情提示：在实践中，常用样本的平均数来估计总体的平均数.例 1、某“中学生暑期环保小组”
2、的同学,随机调查了“幸福小区”10 户家庭一周内使用环保方便袋的数量,数据如下（单位：只）：7,5,7,8,7,5,8,9,5,9.利用上述数据估计该小区 2000 户家庭一周内需要环保方便袋约（ ）A、2000 只 B、14000 只 C、21000 只 D、98000 只分析：“幸福小区”10 户家庭一周内平均每户使用环保方便袋的数量为（个） ，所以估计该小区 2000 户家庭一周内需要环保方7382953710便袋约 20007=14000（个）.解：B.点拨：本题考查的是利用抽样的方法用样本平均数来估计总体平均数。教材 P75 做一做- 2 -解：这 20 名队员的平均身高为 168.
3、5cm.知能 2 加权平均数 在求 个数据的算术平均数时，如果 出现 次， 出现 次， 出现n1xf2xfkx次 ，那么这 个数的算术平均数kf12.kffn这 里叫做 这 个数据的加权平均数。其中xxn12,.kx分别叫做 的权。12,.kff12,.k友情提示：（1）算术平均数是加权平均数的一种特殊形式，即 都相等的情况；12,.kff（2）数据的“权”能反映数据的相对“重要程度” 。在实际问题当中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同，因而，在计算这组数据的平均数是，往往给每个数据一个“权” 。（3）当所给的数据重复出现或每一个数据所占的比重不同时，一般用加权平均数来计算平均数。例
4、 2、某一学习小组共有 8 人,在一次数学测验中,得 100 分的 1 人，得 90 分的 2人，得 74 分的 4 人，得 64 分的 1 人，那么这个小组的平均成绩是（ ）.A82 分 B80 分 C74 分 D90 分分析：本例考查的是加权平均数的计算方法。由加权平均数的计算公式知这个小组的平均数为 。10927461808x解：B.点拨：注意不要和算术平均数混淆，如本例不要算成，而导致误选成 A 而产生错误。10974682x例 3、学校对王老师与张老师的工作态度、教学成绩及业务学习三个方面做了一个初步评估，成绩如下表：- 3 -工作态度 教学成绩 业务学习王老师 98 95 96张老
5、师 90 99 98（1）分别计算王老师、张老师三个方面的平均分，并以此判断谁应评为优秀；（2）若工作态度、教学成绩、业务学习分别占 20%、60%、20%，分别计算王老师、张老师三个方面的平均分，并以此判断谁应评为优秀。分析：本例（1）可直接计算，而（2）中需要用加权平均数来得到结果.解： （1） ，985693x王 0985.63x张显然王老师的得分比张老师得分高，因而王老师应被评为优秀；（2） ，20%2%.60王 9987x张由于张老师的分数比王老师的高，故张老师应被评为优秀.点拨：通过本例计算可以看出，权的差异对结果会产生影响，从中可深刻体会到平均数与加权平均数的区别与联系. 典型例
6、题全解一、知能综合题例 1在一次数学考试中，成绩分布情况如图 4-2-1 所示，求这次数学考试的平均成绩.60分数人数9202559.5 69.5 79.5 89.5 99.5图 4-2-- 4 -分析：根据所给出的频数分布直方图，可得各分数段的分布人数。可以把各分数段的组中值当作各分数段的实际分数，把各分数段的人数当作相应各分数段的权，利用加权平均数的计算公式进行计算.解：根据图 4-2-1-1，可得各分数段的组中值，于是65270859684.75x点拨：统计中常用各组的组中值代表各组的实数据.正确确定组中值是解题关键.例 2某校初二年级共有六个班，在一次数学考试中，参考人数和成绩如下表：
7、班级 三（1） 三（2） 三（3） 三（4） 三（5） 三（6）参考人数 52 48 55 51 49 53平均成绩 81 80 84 83 86 82求：该校初二年级全体学生这次数学考试的平均成绩（保留三个有效数字） 。分析：根据平均数的定义可知，该校初二年级的全体学生在这次数学考试中，平均成绩等于所有学生的数学成绩总合除以总人数，而成绩总和又等于平均成绩乘以学生总人数，这样可求出各班数学成绩总分，再把各班成绩总分的总和求出来即得全年级成绩总和，从而可以求出全年级的平均成绩.解： 1852048531864925330x（分）.67答：该校初二年级这次数学考试的平均成绩约为 82.7 分.点
8、拨：本例中的平均数的计算要根据加权平均数的计算方法进行计算，要注意加权平均数与算术平均数的区别与联系.。二、实践应用题1数学与生活例 3为了鉴定某种灯泡的质量，对其中 200 只灯泡的使用寿命进行测量，结果如下表（单位：小时）- 5 -寿命 450 550 650 750 850 950 1050 1150只数 10 8 30 80 27 20 13 12（1）求这 200 只灯泡使用寿命的平均数（精确到小时） ；（2）估计这种灯泡的平均使用寿命.分析：解决此类问题的关键是要正确识别表格中的各种数据。这是一个加权平均数的应用，要用加权平均数的计算公式进行计算.解：（1） 45018650378
9、052790153012279x小 时答：这 200 只灯泡的平均使用寿命为 789 小时，由此可估计这种灯泡的平均使用寿命约为 789 小时.点拨：因为考察灯泡的使用寿命本身带有破坏性，故不能采用普查的手段，而是采用抽样调查的方法，用样本来估计总体.2数学与生产例 4某鱼塘放养鱼苗 10 万条，根据这几年经验知道，鱼苗成活率为 95%，一段时间后准备打捞出售，第一次从中网出 40 条，称得平均每条鱼重 2.5kg，第二次网出25 条，称得平均每条重 2.2kg，第三次网出 35 条，称得平均每条鱼重 2.8kg.请估计鱼塘中鱼的总重量约是多少？分析：要估计鱼塘中鱼的总重量约是多少，应先根据样
10、本平均数估计总体平均数，即估计该鱼塘中的鱼平均每条的重量是多少，然后用每条鱼的重量乘以该鱼塘中成活的鱼的条数，即得该鱼塘中鱼的总重量的估计值.解： 2.540.25.832.5.x kg鱼塘中鱼的成活数量为 10000095%=95000（条）.鱼塘中鱼的总重量为：2.5395000=240350(kg).点拨：先用样本平均数来估计总体平均数，然后利用求出的每条鱼的重量乘以该- 6 -鱼塘中成活的鱼的条数即可计算出结果。三、拓展创新题1探索性问题例 5某电子器材商店有一批集成块，共有两个型号，其中 A 型的有 200 个，每个价格 3 元；B 型的有 300 个，每个价格 2 元。现将这两种型
11、号的集成块以每块 2.5元出售，问卖出价格比这批集成块的平均价格是高还是低？分析：运用加权平均数算出这批集成块的平均价格然后与 2.5 比较即可.解：这批集成块的平均价格为 （元）7672.67，所以候选人乙将被录用. (3）如果将笔试、面试、民主评议三项测试得分按 4 : 3 : 3 的比例确定个人成绩，那么甲的个人成绩为： 72.9（分）,4753950乙的个人成绩为： 77（分）808丙的个人成绩为： 77.4（分）6743由于丙的个人成绩最高，所以候选人丙将被录用新课标剖析：本题考查了平均数的计算及用样本估计总体的统计思想。知能整合提升一、知识梳理- 10 -二、学法点津在描述一组数据
12、的集中趋势的特征数字中，以平均数最为重要，其应用最为广泛，这是因为平均数是一组数据的“重心” ，是度量一组数据的波动大小的基准，是反映一组数据的平均水平的特征数。1、求几个数的平均数时，当所给数据比较分散时，一般选用定义公式 =x计算；当数据重复出现时，一般选用加权平均数公式nxn2进行计算，其中 。1.kxff12.kffn2、数据一定与它的权对应好，且一组数据权之和等于这组数据的总个数。三、误区警示本节常见的思维误区是：由于日常生活中的平均数多为算术平均数，故对加权平均数的理解有些困难，应用时容易出错。例、某种商品共 10 件，第一天以 25 元/件卖出 2 件，第二天以 20 元/件卖出
13、 3件，第三天以 18 元/件卖出 5 件，则这种商品的平均售价为_.分析：求这种商品的平均售价，就是求样本：25，25，20，20，20，18，18，18，18，18 的平均数.解： （元/件）.1250318520x答：这种商品的平均售价为 20 元/件.误区分析： 类似本例的问题属于简单的实际应用，只要认真审清题意，将问题转化为求数学中某个量的问题，一般来说求解是不困难的.若不认真审清题意，会误认为这种商品平均售价只要用三天的单价之和除以 3，即得到（25+20+18）3=21（元/件）的错误答案- 11 -四、同步跟踪训练1、下表中，若平均数为 2，则 （ ）x分数 0 1 2 3 4
14、学生人数 5 6 3 2A. 0 B.1 C. 2 D.32、某居民院内月底统计用电情况，其中 3 户用电 45 度，5 户用电 50 度，6 户用电 42 度，则平均每户用电（ ）A.41 度 B. 42 度 C.45.5 度 D. 46 度3、 （2004 太原）某校把学生的纸笔测试、实践能力、成长记录三项成绩分别按50%、20%、30%的比例计入学期总评成绩，90 分以上为优秀。甲、乙、丙三人的各项成绩 如下表（单位：分） ，学期总评成绩优秀的是（ ）纸笔测试 实践能力 成长记录甲 90 83 95乙 88 90 95丙 90 88 90A.甲 B.乙、丙 C.甲、乙 D. 甲、丙4、
15、某校规定学生的学期体育成绩由三部分组成：体育课外活动占学期成绩的 10%，理论测试占 30%，体育技能占 60%，一名同学上述三项成绩依次为 90，92，73，则该同学这学期的体育成绩为_.5、某次歌咏比赛中，选手张华的唱功、音乐常识、综合知识分别得了 90 分、80分、85 分，若这三项按 5：3：2 的比例计算平均分，则张华的平均分是_.6、从 100 架某种型号的飞机中抽取了 10 架，经试验测得它们的最大飞行速度分别是(单位：米秒)：422，423，412，431，418，417，425， 428，413，441，则这 100架飞机的最大飞行速度约为_米/秒. 7、小明家去年的旅游、教
16、育、饮食支出分别为 3600 元，1200 元，7200 元，今- 12 -年这三项支出依次比去年增长 10%，20%，30%，则小明家今年的总支出比去年增长的百分数是多少？8、为估计一次性木质筷子的用量，2002 年从某县共 600 家高、中、低档饭店中抽取 10 家作样本，这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为：0.6，3.7，2.2，1.5，2.8，1.7，1.2，2.1，3.2，1.0(1)通过对样本的计算，估计该县 2002 年消耗多少盒一次性筷子 ?（每年按 365 个营业日计算）.(2)若该县一次性筷子的消耗以每年 10%的速度增长，2004 年该县共用一次性筷子多少盒？(3)在
17、(2)的条件下，若生产一套中小学生桌椅需木材 0.07 ，求该县 2004 年使3m用一次性筷子的本材可以生产多少套学生桌椅?计算中需用的有关数据为：每盒筷子100 双，每双筷子的质量为 5g，所用木材的密度为 .30.51/kg(4)假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的本材量，如何利用统计知识去做？简要地用文字表述出来。9、问题：一架电梯的最大载重是 1000 千克，现有 13 位“重量级”的乘客要搭乘电梯，已知其中 11 位先生的平均体重是 80 千克，2 位女士的平均体重是 70 千克，请问他们能否一起安全地搭乘这架电梯？他们的平均体重是多少千克？小飞的解答：11 位先生的总体
18、重= （千克）8012 位女士的总体重=702=140（千克） 13 位乘客的总体重=880+140=1020（千克）因为总体重超过了电梯的最大载重，所以他们不能一起安全地搭乘.平均体重是 （千克）752)08(你怎样评价小飞的解答？只有在什么情况下才可以采取这种策略求平均数？答案与提示- 13 -1、B 2、C 3、C 4、80.4 5、 86 分 6、4237、解： 601%207203%.x小明家今年的总支出比去年增长 23%.8、解：（1）420000 盒 （2）508200 盒 （3）可以生产学生桌椅套数为 （套）30.52.410657260.（4）选取若干个县（城市）作为样本，再分别从这些县（或市）中抽取若干家饭店作样本，统计一次性木制筷子的用量。9、解：小飞的解答中，求平均体重是错的，13 位乘客的平均体重为 10201378.5千克 . 只有当两组数据的数据个数相同时，这一策略才可行。课后习题全解教材 P77 课内练习点拨：解法 1 用的是算术平均数的概念解题；解法 2 用的加权平均数的计算公式进行计算。点拨：通过本题可以看出权重对平均数的结果的影响。教材 P77 作业题点拨：本题体现了用样本估计总体的统计思想在现实生活中的应用。- 14 -点拨：本题应该根据加权平均数的计算公式进行计算，而不要算成，这样是错误的。15203x
