1、北师版七下数学第一章整式的乘除易错点探究学习同底数幂的除法应注意的几点问题同学们都知道同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减用公式表示：a man=am-n(a0，m，n 是正整数，m n)这个公式看似简单，但对初一同学来说，要想把它掌握好并非容易那么，怎样才能学好呢？下面结合自己的教学实践，谈几点体会一、条件问题在所给条件中，为什么 a0 呢？这是因为：若 a=0，则在 aman一式中，an=0n=0，“0 ”不能作除数，所以 a 不能等于“0”在所给条件中，为什么 mn 呢？这是因为：若 mn，则 m-n0，会出现负指数幂同学们现在还未接触负指数幂，在后面教材对负指数幂才有说
2、明为什么限定 m 和 n 为正整数呢？这是因为我们是从 m、n 为正整数的情况概括出来的，没有涉及负指数幂和分数指数幂等情况二、底数问题公式中的底数是用一个字母“a”表示的我们在理解的时候，不能把它简单地理解为一位数，而应分为下面几种情况进行理解1底数为常数这种情况是比较好办的，底数不变，指数相减就可以了例如：3532=33=27，8 785=82=642底数为单项式一个字母的这和底数为常数的情况是一样的在运算中，也是底数不变，指数相减就可以了例如：c 4c2=c2，x 9x5=x4多个字母乘积的在运算中，要把多个字母乘积的项看成是公式中的“a”，也就是说，应把它看成一个整体，这样就容易运算了
3、例如：(ab )7(ab)5=(ab)2=a2b2，(mn) a(mn)b=(mn)a-b=ma-bna-b(ab，mn 0)3底数为多项式在同底数幂的除法运算中，若底数为多项式时，也要把它看成公式中的“a”，即把它看成一个整体例：(a+b) 5(a+b)3=(a+b)2=a2+2ab+b2三、指数问题当指数为常数、单项式、多项式时，按着法则运算即可，但当两个数的指数具有倍数关系时，有些同学很容易把两个指数相除，导致解题出错如：例19 492=92=81，9 692=94=6561；例 2a 4na2n=a2n，在计算例 1 中的前一道题时，指数相除和指数相减所得结果是一样的，这是一种特殊现象
4、，但例 1中的后一道题则不同了，若按指数相除计算应得 93；若按法则运算得 94因此，同学们在计算这类题时应该注意，否则将会出错在计算例 2 时，若把指数相除则得 a2，若按法则运算应得 a2n用两种方法计算所得的数值是不相同的，当然前者是错误的，后者才是正确的四、符号、括号问题底数带有负号、括号时，可分为同底和不同底两种情况同底带括号的，在运算时应把括号带上，运算结果的符号由指数决定指数是奇数，结果为负；指数是偶数，结果为正例如：(-a) 4(-a)2=(-a)2=a2不同底的，应变为同底的，而后按着法则进行运算例：-x 7x3=-(x7x3)=-x4，x 7(-x)4=x7x4=x3在同底
5、数幂的除法运算中，只要把握好上述几个方面的问题，就能达到正确运算了学习乘法公式应注意的问题乘法公式是初中数学中的重要公式之一，应用也很广泛但要真正学好它，必须注意以下几点：一、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”例 1 计算(-2x 2-5)(2x2-5)分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x 2”符号相反，因而 “-5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2 中的 a，而“2x 2”则是公式中的 b解：原式=(-5-2x 2)(-5+2x2)=(-5) 2-(2x2)2=25-4x4例 2 计算(-a 2+4b)2分析：运用公式(a+b) 2=a2+2ab+b2 时，“-a 2”就是公
6、式中的 a，“4b”就是公式中的 b；若将题目变形为(4b-a 2)2 时，则“4b”是公式中的 a，而“a 2”就是公式中的 b（解略）二、注意为使用公式创造条件例 3 计算(2x +y-z+5)(2x-y+z+5)分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x”、“5”两项同号，“y ”、“z ”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式解：原式=(2x+5)+(y -z)(2x+5)-(y-z)=(2x+5) 2-(y-z)2=4 x2+20x+25-y+2yz-z2例 4 计算(a-1) 2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2分析：若先用完全平方公
7、式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则，则可利用乘法公式，使运算简便解：原式=(a-1)(a 2+a+1)(a6+a3+1)2=( a3-1)(a6+a3+1)2=(a 9-1)2=a18-2a9+1例 5 计算(2+1)(2 2+1)(24+1)(28+1)分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简解：原式=(2-1)(2+1)(2 2+1)(24+1)(28+1)=(2 2-1)(22+1)(24+1)(28+1)=(2 4-1)(24+1)(28+1)=（ 28-1）（2 8+1）=2 16-1三、注意公式的推广计算多项式的平方，由
8、(a+b) 2=a2+2ab+b2，可推广得到：(a +b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的 2 倍例 6 计算(2x +y-3)2解：原式=(2x) 2+y2+(-3)2+22xy+22x(-3)+2y(-3)=4 x2+y2+9+4xy-12x-6y四、注意公式的变换，灵活运用变形公式例 7 (1)已知 x+y=10，x 3+y3=100，求 x2+y2 的值；(2)已知： x+2y=7，xy=6，求( x-2y)2 的值分析：粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形：x 2+y2=(x+y)2-2xy，x 3+
9、y3=(x+y)3-3xy(x+y)，(x+ y)2-(x-y)2=4xy，问题则十分简单解：(1) x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，将已知条件代入得 100=103-3xy10，xy=30故 x2+y2=(x+y)2-2xy=102-230=40(2)(x-2 y)2=(x+2y)2-8xy=72-86=1例 8 计算(a+b+c) 2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2分析：直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)，因而问题容易解决解：原式=(a+b)+c 2+(a+b)-c2+c+(a-b)2+c-
10、(a-b)2=2( a+b)2+c2+2c2+(a-b)2=2( a+b)2+(a-b)2+4c2=4 a2+4b2+4c2五、注意乘法公式的逆运用例 9 计算(a-2 b+3c)2-(a+2b-3c)2分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多解：原式=(a-2 b+3c)+(a+2b-3c)(a-2b+3c)-(a+2b-3c)=2 a(-4b+6c)=-8ab+12ac例 10 计算(2a+3b) 2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便解：原式=(2a+3b) 2+2(2a+3b)(4a-5b)+(4a-5b)2=(2 a+3b)+(4a-5b)2=(6a-2 b)2=36a2-24ab+4b2
