1、第四章 态和力学量的表象,根据量子力学的基本原理，微观粒子的量子态用波函数 描述，力学量用线性厄密算符 描述。前面所使用的波函数及力学量算符均以坐标 为变量而写出其具体表达形式的。是否有其它描述方法？ 回答是：不仅有，而且非常必要！因为恰当选择描述体系的具体形式（自变量）可给运算带来很多方便。,第四章 态和力学量的表象,4.1 态的表象,量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。,动量本征函数,4.1-1,组成完全系，任意波函数都可以由其展开为,4.1-2,4.1-3,可以证明,4.1-4,4.1-5,4.1-6,且有,推广到任一力学量Q表象,4.1-7,4.1-8,设它们都是归一化的，有,
2、4.1-9,4.1-10,4.1-11,其共轭矩阵是一个行矩阵，,4.1-12,4.1-9式变为,4.1-13,若力学量还同时具有连续本征值q,则有,4.1-14,4.1-15,4.1-16,讨论：（1）同一个态可以在不同的表象中用波函数来描写， 表象不同，波函数形式不同。这和普通空间向量的表示 方法是完全相似的。,所以态矢量所在的空间是无数维的函数空间，这种空间 称为希尔伯特空间。,（3）对应关系量子态希尔伯特空间中的态矢量；波函数态矢量在特定基底中的分量，可用列矩阵或波函数来表示；,不同表象不同基，不同坐标系；,本征函数基矢。,对于不同表象，波函数的表示不同，物理意义不同。同一个量子态，可
3、以用不同、但相互等价的表象来表述。,4.2 算符的矩阵表示,算符在不同表象中应有不同的表述式,4.2-1,代入4.2-1得,4.2-2,4.2-3,引入记号,4.2-4,4.2-3式改写为,4.2-5,此式就是4.2-1式在Q表象中的表示式。,4.2-6,4.2-7,下面考察厄密算符在Q表象中的矩阵特点,根据厄密算符定义式,4.2-8,满足此式的矩阵称为厄密矩阵。厄密算符的矩阵是厄密矩阵。,根据厄密矩阵的定义,上式可写为,算符在自身表象中的矩阵形式？,结论：算符在其自身表象中是一个对角矩阵。,若Q只具有连续的本征值q，以上讨论依然成立，只是各量是连续变化的，求和换为积分。,4.2-9,4.2-
4、10,举例：1 坐标表象,2 动量表象,4.2-11,4.2-12,对于既有分立本征值，又有连续本征值的情况，把前面讨论合起来既可。,（1）动量算符动量算符在自身表象中即为动量 （或 ） （2）坐标算符坐标算符在动量表象中为,动量表象中算符x的本征函数为,又坐标表象中x 的本征函数为 ，所以（3）角动量算符,若将 代入 ，得动量表象中 角动量算符,（4）哈密顿算符在动量表象中的表示3 能量表象以 的本征函数为基矢，可能是一 维无限深势阱 一维谐振子 中心力场,算符在能量表象中的矩阵元,哈密顿算符 哈密顿算符 在自身表象中为对角矩阵，能量本征值一目了然,例题一 求能量表象中一维无限深势阱中粒子的坐标与动量的矩阵元,解： 基矢 能级当 时 ，对角元为当 时，非对角元为,
