1、初二数学高分速成（上册）第十一章 全等三角形 .1一、全等三角形及其判定 .1（一）知识总结 .1（二）例题精讲 .1知识点一：全等三角形的性质 .1知识点二：三角形全等的判定 .2知识点三：三角形全等的开方性探索 .4二、证明三角形全等的常见思路 .4（一）规律总结 .4（二）例题精讲 .5考点一：已知一边与其一邻角对应相等 .5考点二：已知两边对应相等 .6考点三：已知两角对应相等 .8三、角的平分线的性质 .10（一）知识总结 .10（二）例题精讲 .10知识点一：(尺规作图)作角平分线 10知识点二：角平分线的性质定理 .11知识点三：角平分线的逆定理 .12四、角平分线类问题常用思路
2、 .13（一）规律总结 .13（二）例题精讲 .13考点一：利用“角平分线的对称性”求解 .13考点二：利用“角平分线的性质”求解 .15第十二章 轴对称图形 .16一、轴对称图形 知识总结 .16（一）知识总结 .16（二）例题精讲 .17知识点一：轴对称 .17知识点二：作轴对称图形 .18知识点三：等腰三角形 .20二、轴对称应用及等腰三角形的方法规律总结 .21（一）规律总结 .21（二）例题精讲 .21考点一：证明一个三角形是等腰三角形的方法 .21考点二：巧用“三线合一”证题及轴对称应用 .22第十三章 实数及其运算 .24一、实数及其运算 .24（一）知识总结 .24（二）例题精
3、讲 .24知识点一：平方根、算术平方根的概念及表示方法 .24知识点二：平方根、算术平方根的性质 .25知识点三：立方根的概念与性质 .25知识点四：有理数、无理数、实数的概念 .26知识点五：实数的运算 .27二、实数运算中常见错误及原因分析 .28（一）规律总结 .28（二）例题精讲 .28考点一：忽视公式适用的条件 .28考点二：忽视结果的化简 .29考点三：与算术平方根的乘除运算混淆 .29第十四章 一次函数 .30一、一次函数及其图像 知识总结 .30（一）知识总结 .30（二）例题精讲 .31知识点一：变量与函数 .31知识点二：一次函数与正比例函数的意义 .32知识点三：待定系数
4、法求一次函数的解析式 .33二、一次函数及其图像 规律总结 .34（一）规律总结 .34（二）例题精讲 .34考点一：考定义 .34考点二：求解析式 .34考点三：考查函数的性质 .35三、用函数观点看方程（组）与不等式一次函数 .36（一）知识总结 .36（二）例题精讲 .37知识点一：一次函数与一元一次方程 .37知识点二：一次函数与一元一次不等式 .38知识点三：一次函数与二元一次方程(组) 40四、用一次函数解决问题的方法技巧 .41（一）规律总结 .41（二）例题精讲 .42考点一：利用一次函数求一元一次方程的解 .42考点二：利用一次函数式求一元一次不等式的解集 .42考点三：利用
5、一次函数解二元一次方程组 .43第十五章 整式的乘除与因式分解 .45一、整式的乘除 .45（一）知识总结 .45（二）例题精讲 .45知识点一：同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算 .45知识点二：整式的乘法运算 .46知识点三：整式的乘法公式（平方差公式及完全平方公式） .46知识点四：整式的除法 .47二、学习乘法公式应注意的问题 .48（一）规律总结 .48（二）例题精讲 .48考点一：注意掌握公式的结构特点 .48考点二：注意创造条件使用公式 .49考点三：注意乘法公式的逆用 .49三、因式分解基础知识与分解方法 .50（一）知识总结 .50（二）例题精讲 .51知识点一：提公因
6、法分解因式 .51知识点二：公式法分解因式 .52知识点三：巧用因式分解的解题 .52四、选择合适的方法因式分解 .53（一）规律总结 .53（二）例题精讲 .53考点一：拆项、添项法分解因式 .53考点二：换元法分解因式 .54考点三：整体思想分解因式 .55初二数学高分速成讲义第十一章 全等三角形一、全等三角形及其判定（一）知识总结（二）例题精讲知识点三：三角形全等的开方性探索 知识点二：三角形全等的判定知识点一：全等三角形的性质知识点一：全等三角形的性质A、夯实基础例 1: 已知：如图，OADOBC，且O70，C25，则OAD_度. 【解析】此题可根据全等三角形的对应角相等得 OADOB
7、C OAD=OBC=1807025=85.【解答】85B、双基固化例 2: 如图，ABCDEF,则有下列判断正确的是( )。A.AB=DF B.AC=DFC.A=F D.B=D【解析】本题根据全等三角形的对应边相等,对应角相等判断即可.【解答】B.C、能力提升例 3: 如图,ABCAED,B 和 E 是对应顶点,写出图中相等的线段和相等的角.【解析】根据全等三角形的对应边相等,对应角相等判断即可.关键要做到不重不漏.【解答】相等的线段有:AB=AE,AC=AD,BC=DE，BD=EC相等的角有:B=E,BAC=EAD,ACB=ADE。知识点二：三角形全等的判定A、夯实基础例 4: 如图，AE=
8、CF，AFD=CEB，DF=BE，AFD 与 CEB 全等吗？为什么？【解答】AFD CEB理由：AE=CFAEFE=CFEF，即 AF=CE在AFD 和 CEB 中AF=CEAFD=CEB，DF=BE AFDCEB（SAS） B、双基固化例 5: （2010 年福州）如图，点 B、E、C、F 在一条直线上，BC=EF，ABDE，A=D。求证：ABCDEF。【解答】证明： ABDE，B=DEF在ABC 和DEF 中，B=DEFA=DBC=EF ABCDEF（AAS）C、能力提升例 6: （2010 年宁德市）如图，已知 AD 是ABC 的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使AEDAFD，
9、需添加一个条件是：_，并给予证明. 【解答】解法一：添加条件：AEAF 证明：在AED 与AFD 中，AEAF，EADFAD，ADAD，AEDAFD（SAS）.解法二：添加条件：EDAFDA证明：在AED 与AFD 中，EADFAD，ADAD，EDAFDA，AEDAFD（ASA）. 知识点三：三角形全等的开方性探索 A、夯实基础例 7: 如图，已知ABC 和DCB 中，AB=DC，请补充一个条件_，使ABC DCB。【解析】已知两边：（1）找夹角： ABC=DCB （SAS） ；（2）找第三边：AC=DB （SSS） ；（3）找直角：A=D=90（HL） 。【解答】 ABC=DCB 或 AC=
10、DB 或A=D=90。B、双基固化例 8:如图，已知C= D，要使ABC ABD，需要添加的一个条件是_ 。【解析】已知一边一角（边与角相对） ，找任一角，CAB=DAB 或者CBA=DBA。【解答】CAB=DAB 或者CBA=DBA C、能力提升例 9: 如图，已知B=E，要使ABC AED，需要添加的一个条件是_ 。【解析】已知两角：（1）找夹边：AB=AE（ASA） ；（2）找一角的对边：AC=AD 或DE=BC(AAS)。【解答】AB=AE 或 AC=AD 或 DE=BC 二、证明三角形全等的常见思路（一）规律总结（二）例题精讲考点一：已知一边与其一邻角对应相等 考点二：已知两边对应相
11、等考点三：已知两角对应相等 考点一：已知一边与其一邻角对应相等 A、夯实基础例 1、已知：如图， AC=DB, 1=2. 求证: A=D。【解答】证明：在ABC 和DCB 中AC=DB1=2 BC=CB ABCDCB （SAS） A=D B、双基固化例 2、已知：如图，点 在 上， EF，BCEFABDC， 求证： AFDAB CDE F【解答】证明： （已知） ， ，即 BEFCBFCE在 和 中，ABF DCAD (S)E （全等三角形对应边相等） AFC、能力提升例 3、已知：如图， D 是 的边 AB 上一点， 交 于点 ，ABC DFACEDEF，求证： AAB CDE F【解答】证
12、明： （已知） ，FAB （两直线平行，内错角相等） AE 在 和 中，D CF (AS)DE （全等三角形对应边相等）AC考点二：已知两边对应相等A、夯实基础例 4、已知：如图，AC=FE,BC=DE,点 A,D,B,F 在一条直线上，AD=BF,求证：E=C.【解答】证明： AD=FB AD+DB=BF+DB，即 AB=FD在ABC 和FDE 中AC=FEBC=DEAB=FD ABCFDE(SSS) E=CB、双基固化例 5、已知：如图， ，点 在 上， ADE，BC12DE， 求证： C AB CD E12【解答】证明： （已知） ，12 ， （邻补角定义） ，80AB 1802AE ，
13、 DC 在 和 中， EAB (S)DC C、能力提升例 6、已知：如图，点 A、B、C、D 在同一直线上， ACBDMNBD，求证： ， AMN MA DNC B【解答】证明： （已知） ， ，A即 BCD在 和 中，M NAB (S)CDN （全等三角应角相等） ，ABM， （同位角相等，两直行） A 考点三：已知两角对应相等 A、夯实基础例 7、已知：如图，点 在同一条直线上，BFCE，FBCEAD， 求证： AD，【解答】证明： （已知） ，FBCE ，即 BCEF在 和 中，A D AD (S)BCEF （全等三角形对应边相等）ABDECF，B、双基固化例 8、已知：如图， 交于点
14、， 为 上两点，ABC，OEFAB， OAEF， D 求证： D 【解答】证明： （已知） ，OABEF， ，即 AB在 和 中，C DAEBF (AS)CD C、能力提升例 9、已知：如图，E 在 AB 上，1=2，3=4，那么 AC 等于 AD 吗？为什么？【解答】AC=AD理由：在EBC 和EBD 中1=23=4EB=EB EBCEBD(AAS) BC=BD 在ABC 和ABD 中AB=AB 1=2BC=BD ABCABD (SAS) AC=AD三、角的平分线的性质 （一）知识总结 （二）例题精讲 知识点一：(尺规作图)作角平分线 知识点二：角平分线的性质定理 知识点三：角平分线的逆定理
15、知识点一：(尺规作图)作角平分线 A、夯实基础 如图所示,已知AOB,求作射线 OC,使 OC 平分AOB,作法的合理顺序是( C ) (1)作射线 OC；(2)在 OA 和 OB 上,分别截取 OD,OE,使 OD=OE (3)分别以 D,E 为圆心,大于 DE 的长为半径作弧,在AOB 内,两弧交于点 C A(1)(2)(3) B(2)(1)(3) C(2)(3)(1) D(3)(2)(1) 【解析】注意作图步骤B、双基固化 如图,已知AOB 和定长线段 a,在AOB 内找一点 P,使 P 到OA,OB 的距离都等于 a,做法如下:(1)作 NHOB 于 H,使NH=a(2)过 N 作 N
16、MOB(3)作AOB 的平分线 OP,与 NM 交于 P点 P 即为所求其中(3)的依据是( B ). A平行线之间的距离处处相等 B到角的两边距离相等的点在角的平分线上C角的平分线上的点到角的两边的距离相等D到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上【解析】注意区分角平分线性质定理与逆定理C、能力提升 如图,已知 ACB =, EFO = 用直尺和圆规求作一个, 使得= 作图如下,下列叙述正确的是( ) 12A.首先作EOF 的角平分线,将EOF 一分为二即得 再以 CA 为边,在ACB 的内部作12ACD= ,则BCD 即为所求12B.首先作EOF 的角平分线,将EOF 一分为二即得
17、 再在ACB 的内部作ACD= ,则BCD 即为所求【解析】没有说明“以 CA 为边” C. 首先作EOF 的角平分线,将EOF 一分为二即得 再以 CA 为边作 ACD= ,则1212BCD 即为所求【解析】C 没有说明“在ACB 的内部” D. 首先作EOF 的角平分线 ,将EOF 一分为二即得 再以 CA 为边,在ACB 的内部12作 ACD= ,则ACD 即为所求12【解析】 不一定等于ACD 知识点二：角平分线的性质定理A、夯实基础 如图,AD 平分BAC,点 P 在 AD 上,若 PEAB,PFAC,垂足分别为 E、F,则 PE 与 PF 的长度关系是_PE=PF 【解析】角平分线
18、上的点到角两边的距离相等,所以 PE=PF. B、双基固化 如图,在ABC 中,C=90,AD 是BAC 的平分线,若 DC=6,则 D点到AB的距离是_6_ 【解析】如图,过点 D 作 DEAB,垂足为 E,则 DE 是 D点到 AB的距离,DCAC,AD 是BAC 的平分线,DE=DC=6 C、能力提升 P 在MON 的角平分线上,PAOM 于 A,PBON 于 B,若 OA=6cm,OP=10cm,则 PB=_8cm 【解析】在 RtAOP 中 210368APO又角平分线上的点到角两边的距离相等,PB=PA=8cm 知识点三：角平分线的逆定理A、夯实基础 如图所示,已知 PBAB,PC
19、AC,且 PB=PC,D 是 AP 上一点,则点 D 在_BAC_的角平分线上,同时又上在_BPC _的角平分线上【解析】PB=PC,PA=PA,RtABPRtACP,BPA=CPA, 点 D 在BPC 的角平分线上 BAP=CAP点 D 在BAC 的角平分线上B、双基固化 如图所示,要在河流的南边,公路左侧的 M 区建一个工厂,要求工厂的位置到河流和公路的距离相等,并且到河流域公路交叉点 A 处的距离为 1cm,(指图上的距离),则图中工厂的位置应在_,理由是_ 【解析】将河流和公路看做两条线,再利用“到角两边距离相等的点在角的平分线上”解答【解答】河流与公路夹角的平分线上,并且到交叉点 A
20、 的图上距离为 1cm；到角两边距离相等的点在角的平分线上C、能力提升 如图,已知ABC 中,PEAB 交 BC 于 E,PFAC交 BC 于 F,P 是 AD 上一点,且 D 点到 PE 的距离与到 PF 的距离相等.求证：AD 平分BAC【解析】利用到角两边距离相等的点在这个角的平分线上解答 先证明EPD=FPD,再证明BAD =CAD 证明：D 到 PE 的距离与到 PF 的距离相等点 D 在EPF 的平分线上EPD=FPD 又PEAB,EPD=BAD 同理FPD=CAD BAD =CAD,AD 平分BAC四、角平分线类问题常用思路（一）规律总结同学们在学完角平分线和全等三角形之后，就可
21、以根据已知条件和结论再结合角的平分线的特性，通过添加辅助线构造全等三角形往往是同学们寻找证题思路的一个难点，下面以一个例题的几种不同证法来归纳如何利用角平分线构成全等三角形的常见辅助线的作法（二）例题精讲考点一：利用“角平分线的对称性”求解 考点二：利用“角平分线的性质”求解考点一：利用“角平分线的对称性”求解 因为角是轴对称图形，角平分线是其对称轴，因此，题中若有角平分线，一般可以利用其对称性来构成全等三角形A、夯实基础例 1、如图，BCAB，BD 平分ABC，且A+C=180 0，求证：AD=DCBACDE【解析】可以看作将ABD 沿角平分线 BD 折向 BC 而构成全等三角形的【解答】证
22、法一、如图，在 BC 上取 BE=AB，连结 DE，BD 平分ABC，ABD=DBE，又 BD=BD，ABDEBD（SAS） ，A=DBE，AD=DE，又A+C=180 0，DEB+DEC=180 0，C=DEC，DE=DC，则 AD=DCB、双基固化例 2、如图，BCAB，BD 平分ABC，且A+C=180 0，求证：AD=DC【解析】可以看作将ABD 沿角平分线 BD 折向 BC 而构成全等三角形的【解答】证法二、如图，过 A 作 BD 的垂线分别交 BC、BD 于 E、F，连结 DE，由 BD 平分ABC，易得ABFEBF，则 AB=BE，BD 平分ABC，BD=BD，ABDEBD（SA
23、S） ，AD=ED，BAD=DEB，又BAD+C=180 0，BED+CED=180 0，C=DEC，则 DE=DC，AD=DCC、能力提升例 3、如图，BCAB，BD 平分ABC，且A+C=180 0，求证：AD=DC【解析】CBD 沿角平分线 BD 折向 BA 而构成全等三角形的【解答】证法三、如图，延长 BA 至 E，使 BE=BC，连结 DE， BD 平分ABC，CBD=DBE，又 BD=BD，CBDEBD（SAS） ，C=E，CD=DE，又BAD+C=180 0，DAB+DAE=180 0，E=DAE，DE=DA，则 AD=DC考点二：利用“角平分线的性质”求解由于角平分线上的点到角
24、的两边的距离相等，所以根据这个性质，可以过角平分线上一点向角的两边作垂线而构成两个全等的直角三角形A、夯实基础例 4、已知：如图，在 ABC 中， C=90,AC=BC,AD 平分 CAB.求证： AC+CD=AB【解析】要想证明 AC+CD=AB，可以在 AB 上截取 AE=AC，然后证明 BE= CD 即可【解答】证明：在 AB 上截取 AE=AC，AD 平分CAB，CAD= DAB，AD=AD，CADEAD，DEA=90，C=90，AC=BC，B=45，B=BDE=45DE=BE，AC+CD=AE+DE=AE+BE=AB，即 AC+CD=AB.B、双基固化例 5、如图 1，在ABC 中，
25、BAC 的角平分线 AD 平分底边 BC.求证 AB=AC.【解析】根据已知可知 AD 是BAC 的平分线，可通过点 D 作BAC 的垂线，根据角平分线的性质，结合三角形的面积进行证明.【解答】证明：过点 D 作 DEAB，DFAC，垂足分别为 E、F.DA 为BAC 的平分线，DE=DF.又AD 平分 BC，BD=CD，S ABD =S ACD，又 S ABD= ABDE，S ACD= ACDF，2121ABDE=ACDF，AB=AC.C、能力提升例 6、已知：如图，在 Rt ABC 中， C=90，沿过 B 点的一条直线 BE 折叠这个三角形，使 C 点与 AB 边上的一点 D 重合，当
26、A 满足什么条件时，点 D 恰为 AB 中点？写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明 D 为 AB 中点. 【解析】若点 D 为 AB 中点，EDAB，可知BDE 和ADE 全等，即EAD=EBD，因为 EB平分CBA，C=90，所以A=30.【解答】当A =30时，点 D 恰为 AB 的中点.A=30，C=90(已知)，CBA=60(直角三角形两锐角互余).又BECBED(已知)，CBE=DBE=30，且EDB=C=90(全等三角形对应角相等)，DBE=A(等量代换)BE=AE(等角对等边)，又EDB=90，即 EDAB，D 是 AB 的中点(三线合一).第十二章 轴对称图形一、轴对称图
27、形 知识总结（一）知识总结（二）例题精讲知识点一：轴对称知识点二：作轴对称图形知识点三：等腰三角形知识点一：轴对称A、夯实基础例 1: 下列图形是轴对称图形的是 （ ）.（A） （B） （C） （D）【解析】要选择哪个图案是轴对称图形，主要根据轴对称图形的特征：沿某条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合.观察所给的四个图案，能沿某直线折叠重合的只有最后一个图形.【解答】 （D）B、双基固化例 2: 如图 1，要在街道旁修建一个奶站，向居民区 A、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从 A、B 到它的距离相等？图 1 图 2【解析】本题是一道与线段垂直平分线性质应用有关的题目.解决问题的关键从
28、实际问题中构建数学模型.如图 2，将 A、B 两个居民区看作两个点，将街道看作直线 l，则本题实际上是在直线 l 上求作一点，这点到点 A、B 的距离相等.作线段 AB 的垂直平分线即可解决问题.【解答】如图 2， （1）连结 AB， （2）作线段 AB 的垂直平分线 MN 交直线 l 与点 P，则点 P就是所求作的奶站的位置.C、能力提升例 3: 如图 3，ABC 中，BAC=120，若 DE、FG 分别垂直平分 AB、AC，AEF 的周长为10cm，求EAF 的度数及 BC 的长.图 3【解析】本题主要考查线段垂直平分线性质的应用.要求 BC 的长,根据已知可得EA=EB,FA=FC,这样
29、 BC 的长实际就是 AE+EF+AF.要求EAF 的度数,则只要求到BAE+CAF的度数即可解决问题.【解答】因为BAC=120，所以B+C=60，因为 DE 垂直平分 AB，所以 BE=AE，B=BAE，因为 FG 垂直平分 AC，所以 AF=CF，C=CAF，所以 AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=10cm，EAF=BAC-(BAE+CAF)=120-(B+C)=60.知识点二：作轴对称图形A、夯实基础例 4: 如图,以直线 AE 为对称轴,画出该图形的另一部分.【解析】要画出图形的另一部分, 首先要找到图形上的关键点 A，B，C，D，E，由于点A，D，E 在对称轴上，所以它们的
30、对称点与本身重合，这样只要根据对称的性质作出关键点 B、C 关于直线 AE 的对称点，然后用线段连结相应的对称点即可得到图形的另一部分.【解答】作图过程如下：（1）分别作出点 B、C 关于直线 AE 的对称点 F，H,如图 a；（2）连结 AF、FD、DH、HE，得到所求的图形,如图 b.图 a 图 b B、双基固化例 5: 用四块如图 4所示的正方形瓷砖拼成一个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形.请你在图 4、图 4、图 4中各画一种拼法(要求三种拼法各不相同). 图 4【解析】本题是一道与轴对称图形有关的拼图问题，要拼轴对称图案，则需要理解轴对称图形的特征：要某直线折叠后，直线两旁的
31、部分能完全重合.另外还需要掌握平移等有关知识.设计图案问题一般具有开放性，可以根据自己想象设计出美丽的图案.【解答】下面给出 3 种不同答案，供参考.如图 5.图 5C、能力提升例 6: 如图 6，（1）作出ABC 关于 y 轴对称的A 1B1C1，并写出A 1B1C1各顶点的坐标；（2）将ABC 向右平移 6 个单位，作出平移后的A 2B2C2，并写出A 2B2C2各顶点的坐标；（3）观察A 1B1C1和A 2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴.图 6 图 7【解析】 （1）在直角坐标系内作ABC 关于 y 轴的对称图形，可先确定关键点 A、B、C 关于 y 轴的
32、对称点 A1、B 1、C 1的坐标，描出这些点的坐标，然后顺次连结即可.（2）要作ABC 向右平移 6 个单位的后的A 2B2C2，首先要作出 A、B、C 三点向右平移 6 个单位的对应点，然后顺次连接即可；（3）要观察A 1B1C1和A 2B2C2是否关于某直线对称，可连接A1A2，B 1B2，C 1C2，看它们的垂直平分线是否是同一条直线，如果是，则A 1B1C1和A2B2C2就关于这条直线对称，否则，不关于某条直线对称.【解答】（1）如图 7 所示,A 1(0,4)，B 1(2,2)，C 1(1,1);（2）如图 7 所示,A 2(6,4)，B 2(4,2)，C 2(5,1);（3）A
33、1B1C1与A 2B2C2关于直线 轴对称.3x知识点三：等腰三角形A、夯实基础例 7: ABC 中,AB=AC,它的两边分别是 2 厘米和 4 厘米,则它的周长是（ ）(A)8 厘米 (B)10 厘米 (C)8 厘米或 10 厘米 (D)不确定【解答】BB、双基固化例 8: 如图是某房屋顶框架的示意图，其中，AB=AC，ADBC，BAC=120，求B、C和BAD 的度数.【解析】由 AB=AC，可知ABC 是等腰三角形，等腰三角形的底边上的高，顶角的平分线重合，根据 ADBC，可得 AD 平分BAC，进一步可以求到各角的度数.【解答】在ABC 中，因为 AB=AC，所以B=C，因为BAC+B
34、+C=180，BAC=120，所以B=C= (180-120)=30,21因为 ADBC,所以BAD= BAC=60. C、能力提升例 9: 如图，已知ABC 为等边三角形，D、E、F 分别在边 BC、CA、AB，且DEF 也是等边三角形除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的.【解析】本题是一道猜想型探索题.要探索图形中存在哪些相等的线段,可根据等边三角形的性质,通过寻找三角形全等进行探索.【解答】图中还有相等的线段是：AE=BF=CD，AF=BD=CE ， 事实上，因为ABC 与DEF 都是等边三角形，所以A=B=C=60，EDF=DEF=EFD=60,DE=E
35、F=FD ， 又因为CED+AEF=120，CDE+CED=120， 所以AEF=CDE，同理，得CDE=BFD， 所以AEFBFDCDE（AAS） ， 所以 AE=BF=CD，AF=BD=CE . 二、轴对称应用及等腰三角形的方法规律总结（一）规律总结1证明一个三角形是等腰三角形的方法（1）利用定义证明，有两边相等的三角形是等腰三角形。（2）等腰三角形的判定定理：等角对等边。2等腰三角形的性质及判定在实际问题中的应用是本节的重点，等腰三角形中主要抓住“三线合一”这一条，注意数形结合的思想，一般等腰三角形的顶点作底边上的高。并利用轴对称的知识解决生活中的实际问题。（二）例题精讲考点一：证明一个
36、三角形是等腰三角形的方法考点二：巧用“三线合一”证题及轴对称应用考点一：证明一个三角形是等腰三角形的方法A、夯实基础例 1、如图ABC 中 AB=AC，A=36，BD 平分ABC 交 AC 于 D，则图中的等腰三角形有（ ）.A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【解析】如图，由于 AB=AC，所以三角形 ABC 是等腰三角形，又因为三角形的内角和是180，所以当顶角的度数为 36 时，两个底角的度数为 72，又因为 BD 平分ABC，所以DBC=ABD=36，所以三角形 ABD 和三角形 BDC 是等腰三角形.【解答】CB、双基固化例 2、如图，在ABC 中，AB=AC，ABC=60，D、E
37、 是 BC 上的点，BAD=DAE=EAC，则图中等腰三角形有（ ）个.A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【解析】因为ABC 中，AB=AC，ABC=60，所以ABC 是等边三角形，所以每个角都等于 60，又因为BAD=DAE=EAC，所以BAD=DAE=EAC=20，根据三角形的外角关系可知，ADE=AED，所以ADE 也是等腰三角形.【解答】BC、能力提升例 3、如图，ABC 中，ABC=ACB=60，ABC 与ACB 的平分线交于 O，过点 O 且平行于 BC的直线交 AB 于 M，AC 于 N，连 AO，则图中等腰三角形的个数有（ ）.A5 个 B6 个 C7 个 D9 个【解析】
38、因为ABC=ACB=60，所以ABC 是等边三角形，又因为ABC 与ACB 的平分线交于 O，且 MNBC，所以MBO=MOB=NCO=NOC=30，所以MOB 和NOC 和BOC 和ANM 都是等腰三角形.【解答】A考点二：巧用“三线合一”证题及轴对称应用A、能力提升例 4、已知，如图 1，AD 是 的角平分线，DE、DF 分别是 和 的高。ABCABDC求证：AD 垂直平分 EF A 1 2 E F B D C 图 1 【解析】从本题的条件和图形特征看，欲证 AD 垂直平分 EF，因为有 ，所以只要12证 为等腰三角形即可。AEF【解答】 DBFAC，12，RtEtAF又 12AD 垂直平
39、分 EFB、双基固化例 5 在锐角AOB 内有一定点 P，试在 OA、OB 上确定两点 C、D，使PCD 的周长最短EDCABP0HF 【解析】PCD 的周长等于 PC+CD+PD，要使PCD 的周长最短，根据两点之间线段最短，只需使得 PC+CD+PD 的大小等于某两点之间的距离，于是考虑作点 P 关于直线 OA和 OB 的对称点 E、F，则PCD 的周长等于线段 EF 的长【解答】作法：如图作点 P 关于直线 OA 的对称点 E；作点 P 关于直线 OB 的对称点 F；连接 EF 分别交 OA、OB 于点 C、D则 C、D 就是所要求作的点证明：连接 PC、PD，则 PC=EC，PD=FD
40、在 OA 上任取异于点 C 的一点 H，连接 HE、HP、HD，则 HE=HPPHD 的周长=HP+HD+PD=HE+HD+DFED+DF=EF而PCD 的周长=PC+CD+PD=EC+CD+DF=EFPCD 的周长最短C、能力提升例 6、如图 4，已知四边形 ABCD 中， ，M、N 分别为 AB、CD 的中点，ACBD90求证： 。MNDC D A M B 图 4 N 【解析】由于 MN 与 CD 同在 中，又 N 为 CD 的中点，于是就想到证 为等腰CDMCD三角形，由于 MD、MC 为 、 斜边 AB 上的中线，因此RtBt，所以，问题容易解决MDCA12【解答】连结 DM、CM ，
41、M 是 AB 的中点90B 12 是等腰三角形CD又N 是 CD 的中点， MN第十三章 实数及其运算一、实数及其运算（一）知识总结（二）例题精讲知识点一：平方根、算术平方根的概念及表示方法知识点二：平方根、算术平方根的性质知识点三：立方根的概念与性质知识点四：有理数、无理数、实数的概念知识点五：实数的运算知识点一：平方根、算术平方根的概念及表示方法A、夯实基础9 的算术平方根是 （ ）A、-3 B、3 C、 3 D、81解析： 一个数的平方根有两个，算术平方根是取正值，一定要看清题目的要求再作答.这是基础题目，只要注意所求的是平方根还是算术平方根就可以了.答 案 ： BB、双基固化43的平方
42、根是 。解析：此题中要注意 43的平方根与 4 的平方根区别，4 3的平方根实际上就是 64 的平方根，所以答案为8.答案：8C、能力提升求下列各式中的 x.（1） （x-1） 36；（2）3x 270.2【解析】看上去这是一个一元二次方程，还没有学到不会解，但只要我们想想平方根的定义即可求解。【解答】 （1）x=7，5；（2）x=3知识点二：平方根、算术平方根的性质A、夯实基础已知 ，则 _；2a2)(【解析】因为 ，所以 a-20,所以 2-a。2a2)(a【解答】2-a【方法点拨】对于算术平方根的化简题，一定要弄清被开方数的大小，也就是必须保证开方数和被开方数都是非负的才可以。B、双基固
43、化若 5m，则 m 5.2)(【解析】由 5m, 得 m-50，即 m5。2【解答】【方法点拨】对于算术平方根的化简题，一定要弄清被开方数的大小，也就是必须保证开方数和被开方数都是非负的才可以。C、能力提升若 2m4 与 3m1 是同一个数的平方根，则 m 为（ ）A、3 B、1 C、3 或 1 D、1【解析】解决本题的关键是认真审题，理解本意，本题可能存在两种情况：（1）2m4，和 3m1 表示同一个平方根， （2）2m4，和 3m1 表示两个不同的平方根，还要注意本题是求 m 的值，而不是求平方根由题意，得 2m4=3m1 或 2m4 十 3m1=0，解得 m= 3，或 m=1 故选 C【
44、解答】C知识点三：立方根的概念与性质A、夯实基础下列说法错误的是（ ）A 中的 a 可以为正数、负数、零 B 中的 a 不可能是负数3C 数 a 的平方根有两个，它们互为相反数 D 数 a 的立方根只有一个【解析】A 正确， 表示 a 的立方根，任何实数都有立方根；B 正确，只有非负数才有3算术平方根，所以 a 不可能是负数；C 错误，因为 a 可表示正数、负数、零，负数 a 没有平方根，0 的平方根是 0，只有一个；D 正确，每一个实数都有一个立方根.故正确的答案应是 C。【解答】C【点拨】善于运用类比的思想，理解平方根和立方根的区别和联系：（1）数 a 的立方根只有一个 ，且 a 可以为任
45、意实数；（2） 中的 a 必须是非负数；（3）非负数 a 的平3方根要么是互为相反数的两个数，要么是 0。B、双基固化64 的立方根是 .【解析】因为 4364，所以 64 的立方根是 4.【解答】4C、能力提升求下列各数的立方根：（1） ；（2） ；（3） ；（4） .38737143610 33)1m（【解析】 （1）当被开方数为负数时，一般先利用负数立方根的性质，把根号内的负号提到根号外再开立方；（2）对较复杂的被开方数，必须先进行整理后再进行求值；（3）注意应用公式 .a3【解答】 （1） ；（2） ；3873714325（3） ；（4） （m+1）m1.60 603)（知识点四：有理数、无理数、实数的概念A、夯实基础在下列实数中，是无理数的为 （ ）A、0 B、3.5 C、 D、29【解答】C【解析】要判断一个数是不是无理数，关键是理解好无理数的定义，也就是无限不循环小数才是无理数，对于开方数，则必须是开方开不尽的数.B、双
