1、特殊三角形、四边形问题1. 如图，已知关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，抛物线的对称轴与x轴交于点D.（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使PBC为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，MNB面积最大，试求出最大面积. 第1题图2. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-2，0)，B(4，0)，C(
2、0，3)三点.（1）求该抛物线的解析式；（2）在y轴上是否存在点M，使ACM为等腰三角形，若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P(t，0)为线段AB上一动点(不与A、B重合)，过P作y轴的平行线，记该直线右侧与ABC围成的图形面积为S，试确定S与t的函数关系式. 第2题图3. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过点A(-3，2)，B(0，-2)，其对称轴为直线x=52，C(0，12 )为y轴上一点，直线AC与抛物线交于另一点D.（1）求抛物线的函数表达式；（2）试在线段AD下方的抛物线上求一点E，使得ADE的面积最大，并求出最大面积；（3）在
3、抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ADF是直角三角形？如果存在，求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由. 图 图第3题图4. 如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，顶点M关于x轴的对称点是M.（1）求抛物线的解析式；（2）若直线AM与此抛物线的另一个交点为C，求CAB的面积；（3）是否存在过A、B两点的抛物线， 第4题图其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.5. 抛物线y=x2+bx+c经过A(0，2)、B(3，2)两点，若两动点D、E同时从原点O分别沿着x轴、y轴正方向运动，点E的速度
4、是每秒1个单位长度，点D的速度是每秒2个单位长度. 第5题图（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）问几秒钟时，B、D、E在同一条直线上？参考答案：1. 解：（1）把A(1，0)、C(0，3)代入y=x2+bx+c得3=0=1+ +c b c ， 3= 4cb= - ，二次函数的表达式为y=x2-4x+3；（2）令y=0，即0=x2-4x+3，解得x1=1，x2=3，OC=OB=3，BC=3 2.点C为等腰三角形顶点时，BC=CP=3 2，P(0，33 2)或(
5、0，3-3 2)；当点B为等腰三角形顶点时，OC=OP，P(0，-3)；当点P为等腰三角形顶点时，BC垂直平分线与y轴交点即点P，OCB是等腰三角形，BC垂直平分线与y轴交点为原点O，P(0，0)，综上所述点P的坐标为(0，0)、(0，-3)、(0，33 2)或(0，3-3 2)时，BCP为等腰三角形.（3）抛物线对称轴为x=2.设运动时间为t，则AM=t，BM =2-t，DN=2t，SMNB=12 BMDN=12 (2-t)2t=-t2+2t=-(t-1)2+1，当运动时间为1秒时MNB的面积最大，此时M(2，0)、N(2，2)或(2，-2).最大面积为12. 解：（1）把A(-2，0)，B
6、(4，0)，C(0，3)代入抛物线y=ax2+bx+c得： 30=4 2 +0=16 4 +c= a b ca b c -+ ，解得：a=-38，b=34，c=3，则抛物线的解析式是y=-38 x2+ 34 x+3；（2）存在；M1(0，56 )，M2(0，3+ 13)，M3(0，-3)，M4(0，3- 13).理由如下：如解图，作线段CA的垂直平分线，交y轴于点M1，交AC与点N，连结AM1，则AM1C是等腰三角形，AC= 2 2OA OC = 13，CN= 132 ，CNM1COA，CNCO = 1CMCA ， 1323 = 113CM ，CM1=136 ，OM1=OC-CM1=3-136
7、 =56，M1的坐标是(0，56 )，当CA=CM2= 13时，则AM2C是等腰三角形，则OM2=3+ 13，M2的坐标是(0，3+ 13)，当CA=AM3= 13时，则AM3C是等腰三角形，则OM3=3，M3的坐标是(0，-3)，当CA=CM4= 13时，则AM4C是等腰三角形，则OM4= 13-3，M4的坐标是(0，3- 13)，综上，满足要求的点M的坐标为(0，56 )，(0，3+ 13)、(0，-3)或(0，3- 13).图 图第2题解图（3）如解图，当点P在y轴上或y轴右侧时，设直线与BC交与点D，OB=4，OC=3，SBOC=6，BP=BO-OP=4-t，BPBO = 44 t ，
8、BDPBCO， BDPBCOSS = 2( )BPBO ，即 BDP6S = 24( )4 t ，S=SBPD=38 t2-3t+6(0t4)；如解图，当点P在y轴左侧时， 第2题解图设直线与AC交与点E，OA=2，OC=3，SAOC=3，OP=-t，AP=t+2， APAO = 22t ， APEAOCSS = 2( )APAO ， 3APES = 2( )APAO ，SAPE= 23( 2)4t ，S=SABC-SAPE=9- 23( 2)4t =-34 t2-3t+6(-2t0).3. （1）解：根据题意得：9a-3b+c=2，c=-2，-2ba =52，解得a=16，b=-56，c=-
9、2，抛物线解析式为y16 x2-56 x-2.（2）解：如解图，在线段AD下方找一点E，过点E作EPy轴交AD于点P，设直线AD的解析式为ymx+n(m0)，把A(-3，2)，C(0，12 )分别代入得 3 + =21= 2m nn- ，解得 1= 21= 2mn - ，直线AD的解析式为y-12 x+12，联立 21 5 26 61 12 2y x xy x ，解得 = 3=2xy - 或 =5= 2xy - ，点D在第四象限，D(5，-2)，设E(x，16 x2-56 x-2)，其中-3x5，则P(x，-12 x+12 )， 第3题解图PE=-12 x+12-(16 x2-56 x-2)=
10、-16 x2+13x+52，SADE=SAEP+SDEP=12 (5+3)(-16 x2+13x+52 )=-23 (x-1)2+323 ，当x1时，ADE的面积最大，最大面积为323 ，此时E点坐标为(1，-83 ).（3）解：存在.抛物线对称轴为直线x=52，设F(52，t)，如解图，A(-3，2)，D(5，-2)，AD2=(5+3)2+(-2-2)2=80，AF2=(52 +3)2+(t-2) 2，DF2=(5-52 )2+(-2-t) 2， 第3题解图AD2+AF2DF2时，ADF是直角三角形，DAF=90，则80+(52 +3) 2+(t-2) 2=(5-52 )2+(-t-2) 2
11、，解得t13，此时F点坐标为( 52，13).AD2+DF2AF2时，ADF是直角三角形，ADF=90，则80+(5-52 )2+(-t-2) 2=(52 +3) 2+(t-2) 2，解得t-7，此时F点坐标为( 52，-7).DF2+AF2AD2时，ADF是直角三角形，AFD90，则(52 +3) 2+(t-2) 2+(5-52 )2+(-t-2) 2=80，解得t 712 ，此时F点坐标为(52， 712 )或( 52，- 712 )综上所述，F点的坐标为( 52，13)、(52，-7)、(52， 712 )或(52，- 712 ).4. 解：（1）抛物线与x轴交于点A(-1，0)，B(3
12、，0) ，y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.（2）由抛物线y=x2-2x-3=(x-1) 2-4，点M的坐标为(1，-4).M与M关于x轴对称，点M的坐标为(1，4)，设直线AM的解析式为y=kx+m(k0)，将点A(-1，0)，点M(1，4)分别代入得 + =0+ =4k mk m- ，解得 =2=2km ，直线AM的解析式为y=2x+2，将直线AM与抛物线y=x2-2x-3联立得2=2 +22 3y xy= x x - - ，解得 11= 0xy = - 1， 22=512xy = ，点C的坐标为(5，12)，又AB=3-(-1)=4，SCAB= 12 412=24.（3）存在.理
13、由如下：四边形APBQ是正方形，PQ垂直且平分AB，AB垂直且平分PQ，且PQ=AB，设PQ与x轴交点为点N，则PN=12 AB=2，点P的坐标为(1，2)或(1，-2).设过A、B两点的抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，将点(1，2)代入得a=-12，此时抛物线解析式为y=-12 (x+1)(x-3)=-12 x2+x+ 32；将点(1，-2)代入得a=12，此时抛物线解析式为y=12 (x+1)(x-3)=12 x2-x-32 .综上所述，抛物线的解析式y=-12 x2+x+ 32或y=12 x-x2-32 .5. （1）解:把A(0，2)、B(3，2)分别代入y=x2+bx+c
14、，得=29+3 =2c b+c ，解得 = 3=2bc - ，抛物线的解析式为y=x2-3x+2，当y=0时，x2-3x+2=0，解得x1=1，x2=2，抛物线与x轴的交点坐标为(1，0)、(2，0).（2）解:存在点D，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形.A(0，2)，B(3，2)，ABx轴，且AB=3，要使A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，则只要CD=AB=3.当C点坐标为(1，0)时 ，D坐标为(4，0)；当C点坐标为(2，0)时 ，D坐标为(5，0).存在点D，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形，D点的坐标为(4，0)或(5，0).（3）解:设当时间为t时，B、D、E在同一条直线上，此时得D(2t，0)，E(0，t)，设直线DE的解析式为y=kx+b(k0)，则 =2 =0b ttk b ， 1= 2=kb t - ，直线DE的解析式为y=-12 x+t，点B与点D、E共线，B(3，2)满足函数：y=-12 x+t，将B点代入得2=-12 3+t，解得t=72 .故3.5秒时，B、D、E三点在同一直线上.
