1、 矩 阵 论 讲 稿 讲稿编者： 张 凯 院 使用教材：矩阵论（第2版） 西北工业大学出版社 程云鹏 等编 辅助教材：矩阵论导教导学导考 矩阵论典型题解析及自测试题 西北工业大学出版社 张凯院 等编 课时分配：第一章 17学时 第四章 8学时 第二章 5学时 第五章 8学时 第三章 8学时 第六章 8学时 第一章 线性空间与线性变换（第 1节） 1 第一章 线性空间与线性变换 1.1 线性空间 一、集合与映射 1集合：能够作为整体看待的一堆东西 列举法： , , , 3 2 1 L a a a S = 性质法： 所具有的性质 a a S = 相等( ：指下面二式同时成立 ) 2 1 S S =
2、 2 1 2 1 , S S S a S a 即 1 2 1 2 , S S S b S b 即 交： 2 1 2 1 S a S a a S S = 且 I 并： 2 1 2 1 S a S a a S S = 或 U 和： , 2 2 1 1 2 1 2 1 S a S a a a a S S + = = + 例 1 R 0 22 21 11 1 = = j i a a a a A S R 0 22 12 11 2 = = j i a a a a A S ， 2 1 S S R , 0 0 22 11 22 11 2 1 = = a a a a A S S I R , 0 21 12 22
3、 21 12 11 2 1 = = = j i a a a a a a a A S S U R 22 21 12 11 2 1 = = + j i a a a a a A S S 2数域：关于四则运算封闭的数的集合 例如：实数域 R，复数域C，有理数域 ，等等 Q3映射：设集合 与 ，若对任意的 1 S 2 S 1 S a ，按照法则 ，对应唯一的 第一章 线性空间与线性变换（第 1节） 2 . ) ( , 2 b a S b = 记作 称 为由 到 的映射；称 为 的象， 1 S 2 S b a a 2 为 b的象源 变换：当 1 S S = 时，称映射 为 上的变换 1 S 例 2 ) 2
4、 ( R ) ( = = n a a A S j i n n j i 映射 1 ： A A det ) ( 1 = ( R) S 变换 2 ： n I A A ) det ( ) ( 2 = ( ) S S 二、线性空间及其性质 1线性空间：集合V 非空，给定数域 K ，若在V 中 () 定义的加法运算封闭, 即 V y x V y x + ) ( , , 元素 对应唯一 , 且满足 (1) 结合律： ) ( ) ( ) ( V z z y x z y x + + = + + (2) 交换律： x y y x + = + (3) 有零元： ) ( , V x x x V = + 使得 (4)
5、有负元： = + ) ( , ) ( , x x V x V x 使得 . () 定义的数乘运算封闭, 即 V kx K k V x ) ( , , 元素 对应唯一 , 且满足 (5) 数对元素分配律： ) ( ) ( V y ky kx y x k + = + (6) 元素对数分配律： ) ( ) ( K l lx kx x l k + = + (7) 数因子结合律： ) ( ) ( ) ( K l x kl lx k = (8) 有单位数：单位数 x x K = 1 ,使得 1 . 则称V 为 K 上的线性空间 例 3 R = K 时， n R 向量空间； n m R 矩阵空间 第一章 线
6、性空间与线性变换（第 1节） 3 t P n 多项式空间； 函数空间 , b a CC = K 时， 复向量空间； C 复矩阵空间 n C n m 例 4 集合 是正实数 m m = + R ，数域 R 是实数 k k = 加法： mn n m n m = + , R , 数乘： k m m k k m = + R, , R 验证 + R 是 R上的线性空间 证 加法封闭，且(1)(2)成立 (3 ) 1 = = = m m m m (4) m m m m m 1 ) ( 1 ) ( ) ( m = = = 数乘封闭，(5)(8)成立故 + R 是 R上的线性空间 例 5 集合 R ) , (
7、 2 1 2 = = i R ，数域 R设 R ), , ( 2 1 = k 运算方式 1 加法： ) , ( 2 2 1 1 + + = + 数乘： ) , ( 2 1 k k k = 运算方式 2 加法： ) , ( 1 1 2 2 1 1 + + + = 数乘： ) ) 1 ( 2 1 , ( 2 1 2 1 + = k k k k k o 可以验证 与 都是 ) ( R 2 + ) ( R 2 o R上的线性空间 注 在 R 中, ) ( 2 o ) 0 , 0 ( = , ) , ( 2 1 2 1 + = Th1 线性空间V 中的零元素唯一，负元素也唯一 证 设 与 2 都是V 的
8、零元素, 则 2 1 2 2 1 1 = + = + = 1 设 与 都是 的负元素, 则由 1 x 2 x x = + 1 x x 及 = + 2 x x 可得 2 1 2 1 1 1 ) ( ) ( x x x x x x x x + + = + + = + = 2 2 2 2 1 ) ( x x x x x x = + = + = + + = 第一章 线性空间与线性变换（第 1节） 4 例 6 在线性空间V 中，下列结论成立 = x 0 ： = = + = + x x x x x 0 1 ) 0 1 ( 0 1 = k ： = = + = + k kx x k k ) ( kx ) (
9、) 1 ( x x = ：( ) ( ) ( 1 ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 x x x x x x x x = + + = + + = 2减法运算：线性空间V 中， ) ( y x y x + = 3线性组合： K c V x x i i 若存在 , , , 使 m m x c x c x + + = L 1 1 , 则称 x 是 的线性组合，或者 可由 线性表示 m x x , , 1 L x m x x , , 1 L 4线性相关：若有 不全为零，使得 m c c , , 1 L = + + m m x c x c L 1 1 ，则称 m x x , , 1 L 线性相关 5
10、线性无关：仅当 全为零时，才有 m c c , , 1 L = + + m m x c x c L 1 1 ，则称 m x x , , 1 L 线性无关 注 在 R 中, ) ( 2 o ) 1 , 1 ( 1 = , ) 2 , 2 ( 2 = 线性无关； ) 1 , 1 ( 1 = , ) 3 , 2 ( 2 = 线性相关（自证） 三、基与坐标 1基与维数：线性空间V 中，若元素组 满足 n x x , , 1 L(1) 线性无关； n x x , , 1 L (2) V x 都可由 线性表示 n x x , , 1 L 称 为 n x x , , 1 L V 的一个基, 为 n V 的维
11、数, 记作 n V = dim ，或者V . n 例 7 矩阵空间 n m R 中, 易见 (1) ) , , 2 , 1 ; , , 2 , 1 ( n j m i E j i L L = = 线性无关； (2) = = = m i n j j i j i n m j i E a a A 11 ) ( 故 ) , , 2 , 1 ; , , 2 , 1 ( n j m i E j i L L = = 是 n m R 的一个基, . mn n m = dimR 第一章 线性空间与线性变换（第 1节） 5 2坐标：给定线性空间V 的基 ，当 时，有 n n x x , , 1 L n V x n
12、 n x x x + + = L 1 1 称 n , , 1 L 为 在给定基 下的 x n x , , 1 L x 2 坐标，记作列向量 1 ) , , ( n L = 例 8 矩阵空间 2 R 中，设 2 2 ) ( = j i a A (1) 取基 ， 22 21 12 11 , , , E E E E 22 22 21 21 12 12 11 11 E a E a E a E a A + + + = 坐标为 22 21 12 11 ) , , , ( a a a a = (2) 取基 , , , = 1 1 1 1 1 B = 1 1 1 0 2 B = 1 1 0 0 3 B = 1
13、 0 0 0 4 B 4 22 4 3 21 3 2 12 2 1 11 ) ( ) ( ) ( B a B B a B B a B B a A + + + = 4 21 22 3 12 21 2 11 12 1 11 ) ( ) ( ) ( B a a B a a B a a B a + + + = 坐标为 21 22 12 21 11 12 11 ) , , , ( a a a a a a a = 注 一个元素在两个不同的基下的坐标可能相同，也可能不同 例如： 在上述两个基下的坐标都是 ； 22 n n E A = ) 1 , 0 , 0 , 0 ( 11 E A = 在上述两个基下的坐标
14、不同 Th2 线性空间V 中，元素在给定基下的坐标唯一 证 设V 的基为 ，对于 ，若 n x x , , 1 L n V x n n x x x + + = L 1 1 n n x x + + = L 1 1则有 = + + n n n x x ) ( ) ( 1 1 1 L 因为 线性无关, 所以 n x x , , 1 L 0 = i i , 即 ) , , 2 , 1 ( n i i i L = = . 故 的坐标唯一 x n 例 9 设线性空间V 的基为 , 元素 在该基下的坐标为 n x x , , 1 L j y ) , , 2 , 1 ( m j j L = , 则元素组 线性
15、相关（线性无关） m y y , , 1 L 向量组 m , , 1 L 线性相关（线性无关） 第一章 线性空间与线性变换（第 1节） 6 证 对于数组 , 因为 m k k , , 1 L = + + = + + ) )( , , ( 1 1 1 1 1 m m n m m k k x x y k y k L L L 等价于 = + + m m k L 1 1 k , 所以结论成立. 四、基变换与坐标变换 1基变换：设线性空间V 的基()为 , 基()为 , 则 n n x x , , 1 L n y , , 1 L y + + + = + + + = + + + = n nn n n n
16、n n n n x c x c x c y x c x c x c y x c x c x c y L L L L L L 2 2 1 1 2 2 22 1 12 2 1 2 21 1 11 1C = nn n n n n c c c c c c c c c L M M M L L 2 1 2 22 21 1 12 11 写成矩阵乘法形式为 ( C x x y y n n ) , , ( ) , , 1 1 L L = 称上式为基变换公式，C为由基()改变为基()的过渡矩阵. 注 过渡矩阵C一定可逆. 否则C的 个列向量线性相关, 从而 n n y , , 1 L y 1 线性相关（例9）矛盾
17、！由此可得 1 1 1 ) , , ( ) , , ( = C y y x x n n L L 称C 为由基()改变为基()的过渡矩阵 2坐标变换：设 在两个基下的坐标分别为 n V x 和 ,则有 = + + = n n x x x L 1 1 ) , , ( 1 n x x L n n y y x + + = L 1 1 ) , , ( 1 n y y L = C x x n ) , , ( 1 L = 由定理 2可得 C = ，或者 ，称为坐标变换公式. 1 = C 例 10 矩阵空间 2 2 R 中，取基 ( ) , , , = 1 0 0 1 1 A = 1 0 0 1 2 A =
18、0 1 1 0 3 A = 0 1 1 0 4 A () , , , = 1 1 1 1 1 B = 0 1 1 1 2 B = 0 0 1 1 3 B = 0 0 0 1 4 B 第一章 线性空间与线性变换（第 1节） 7 (1) 求由基()改变为基()的过渡矩阵； (2) 求由基()改变为基()的坐标变换公式 解 采用中介法求过渡矩阵. 基(0)： , , , = 0 0 0 1 11 E = 0 0 1 0 12 E = 0 1 0 0 21 E = 1 0 0 0 22 E(0) ()： 1 22 21 12 11 4 3 2 1 ) , , , ( ) , , , ( C E E E
19、 E A A A A = (0) ()： 2 22 21 12 11 4 3 2 1 ) , , , ( ) , , , ( C E E E E B B B B = ， = 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 C = 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 2 C( ) ()： = ) , , , 4 3 2 1 B B B B ( 2 1 1 4 3 2 1 ) , , , ( C C A A A A = = = 0 1 0 0 0 1 2 2 1 1 1 0 1 1 1 2 2 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1
20、0 0 1 2 1 2 2 1 1 C C C C + + + + + + + = = 3 3 2 1 4 3 2 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 2 2 2 2 1 C 五、线性子空间 1定义：线性空间V 中，若子集V 非空，且对 1 V 中的线性运算封闭，即 (1) 1 1 , V y x V y x + (2) 1 1 , V kx K k V x 称V 为 1 V 的线性子空间，简称为子空间 第一章 线性空间与线性变换（第 1节） 81 注 (1) 子空间V 也是线性空间, 而且 V V dim dim 1 . (2) 是V 的线性子空间, 规定dim 0 = . (3
21、) 子空间V 的零元素就是 1 V 的零元素. 例 11 线性空间V 中，子集V 是 1 V 的子空间 对 1 1 , , , , V ly kx K l k V y x + 有 证 充分性. ： 1 = = l k 1 1 , V y x V y x + 0 = l ： 1 1 0 , V y kx kx K k V x + = 故V 是 1 V 的子空间. 必要性. 1 1, V kx K k V x （数乘封闭） 1 1, V ly K l V y （数乘封闭） 故 （加法封闭） 1 V y l x k + 例 12 在线性空间V 中，设 ) , , 2 , 1 ( m i V x i
22、L = ，则 1 1 1 K k x k x k x i m m + + = = L V 是V 的子空间，称V 为由 生成的子空间 1 m x x , , 1 L 证 m m x k x k x V x + + = L 1 1 1 m m x l x l y V y + + = L 1 1 1: 1 1 1 1 ) ( ) ( V x l l kk x l l kk y l kx m m m , K l k + + + + = + L 根据例 11知，V 是 1 V 的子空间 注 (1) 将V 记作span 或者 1 , , 1 m x x L ) , , ( 1 m x x L L (2)
23、元素组 的最大无关组是 的基； m x x , , 1 L ) , , ( 1 m x x L L(3) 若线性空间V 的基为 ，则V n n x x , , 1 L ) , , ( 1 n n x x L L =2矩阵的值域（列空间）： 第一章 线性空间与线性变换（第 1节） 9划分 （ ）， n m n n m j i a A = = C ) , , ( ) ( 1 L m j C 称 ) , , ( ) ( 1 n L A R L = 为矩阵 的值域（列空间） A 易见 A A R rank ) ( = dim 例 13 矩阵 A的值域 C ) ( n x Ax A R = = . 证
24、左, 有 右 = = + + = Ax k k k k n n n n M L L 1 1 1 1 ) , , ( 右, 有 左 + + = = = n n n n k k k k Ax L M L 1 1 1 1 ) , , (3矩阵的零空间： 设 ，称 n m A C C , 0 ) ( n x Ax x A N = = 为矩阵 A的零空间 易见 A n A N rank ) ( = dim Th3 线性空间V 中, 设子空间V 的基为 n 1 ) ( , , 1 n m x x m L , 则存在 n n m V x x + , , 1 L , 使得 为V 的基 n m m x x x
25、x , , , , , 1 1 L L + n 证 线性表示 不能由 m n m x x V x n m , , 1 1 L +, , , 1 1 线性无关 + m m x x x L 若 ，则 是V 的基; n n m = + 1 1 1 , , , + m m x x x L n 否则， m n + 1 线性表示 不能由 1 1 2 , , , + + m m n m x x x V x L, , , , 2 1 1 线性无关 + + m m m x x x x L 若 ，则 是V 的基; m = + 2 2 1 1 , , , , + + m m m x x x x L n 否则， m
26、L L + n 2 依此类推, 即得所证 第一章 线性空间与线性变换（第 1节） 10 六、子空间的交与和 1子空间的交： 2 1 2 1 V x V x x V = 且 I V Th4 设V 是线性空间 2 1 ,V V 的子空间，则V 是 2 1 V I V 的子空间 证 2 1 2 1 2 1 , V V V V V V I I 非空 + + 2 2 1 1 2 1 , , , V y x V y x V y x V y x V V y x I 2 1 V V y x I + 2 2 1 1 2 1 , V kx V x V kx V x V V x K k I 2 1 V V kx I
27、 所以V 是 2 1 V I V 的子空间 2子空间的和： , 2 2 1 1 2 1 2 1 V x V x x x x V V + = = + Th5 设V 是线性空间 2 1 ,V V 的子空间，则V 2 1 V + 是V 的子空间 证 2 1 2 1 2 1 , V V V V V V + + + = 非空 + = + = + 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 , , , , , V y V y y y y V x V x x x x V V y x ) ( ) ( 2 2 1 1 y x y x y x + + + = + ， 2 2 2 1 1 1 , V y
28、 x V y x + + 2 1 V V y x + + 2 2 1 1 2 1 2 1 , , , V x V x x x x V V x K k + = + 2 2 1 1 2 1 , , V kx V kx kx kx kx + = 2 1 V V kx + 所以V 是 2 1 V + V 的子空间 注 不一定是 2 1 V V U V 的子空间 例如：在 2 R 中，V ) ( ) ( 2 2 1 1 e L V e L = = 与 的并集为 R , 0 ) , ( 2 1 2 1 2 1 = = = i V V U 易见 2 1 2 1 2 1 2 1 ) 1 , 1 ( , , V
29、 V e e V V e e U U = + 但 , 故加法运算不封闭. 第一章 线性空间与线性变换（第 1节） 112 Th6 设V 是线性空间 1 ,V V 的有限维子空间，则 ) ( dim dim dim ) ( dim 2 1 2 1 2 1 V V V V V V I + = + 证 记 ，dim 1 1 dim n V = 2 2 n V = ， m V V = 2 1 I dim 欲证 m n n V V + = + 2 1 2 1 ) ( dim (1) ：( 1 n m = 1 2 1 1 2 1 ) V V V V V V = I I 2 2 1 2 1 2 2 1 )
30、( V V V V V V V V = + I m n n n V V V + = = = + 2 1 2 2 2 1 dim ) ( dim (2) ：( 2 n m = 2 2 1 2 2 1 ) V V V V V V = I I 1 2 1 1 2 1 2 1 ) ( V V V V V V V V = + I m n n n V V V + = = = + 2 1 1 1 2 1 dim ) ( dim (3) ：设V 的基为 ，那么 2 1 2 L 1 , n m n m 2 1 V I m x x , , 1 L 扩充为V 的基： () m n m y y x x 1 , , ,
31、 , , 1 1 L L 扩充为V 的基： () m n m z z x x 2 , , , , , 1 1 L L 考虑元素组： () m n m n m z z y y x x 2 1 , , , , , , , , 1 1 1 L L L 因为 ()，V () ，所以 V V = 1 L = 2 L V = + 2 1 () （自证） 下面证明元素组()线性无关： 设数组 k 使得 m n m n m q q p p k 2 1 , , , , , , , , 1 1 1 L L Lm n m n m m y p y p x k x k + + + + + 1 1 1 1 1 1 L L
32、 = + + + m n m n z q z q 2 2 1 1 L 由 (*) + + + + + + + = 2 1 1 1 1 1 1 1 ) ( 2 2 1 1 V z q z q V y p y p x k x k x m n m n m n m n m m L L L 得 m m x l x l x V V x + + = L I 1 1 2 1结合(*)中第二式得 = + + + + + m n m n m m z q z q x l x l 2 2 1 1 1 1 L L 第一章 线性空间与线性变换（第 1节） 12()线性无关 0 , 0 2 1 1 = = = = = =
33、m n m q q l l L L 结合(*)中第一式得 = + + + + + m n m n m m y p y p x k x k 1 1 1 1 1 1 L L ()线性无关 0 , 0 1 1 1 = = = = = = m n m p p k k L L 故元素组()线性无关，从而是V 2 1 V + 的一个基 因此 m n n V V + = + 2 1 2 1 ) ( dim 3子空间的直和： , 2 2 1 1 2 1 2 1 V x V x x x x V V + = = + 唯一 唯一 记作：V 2 1 2 1 V V V = + Th7 设V 是线性空间 2 1 ,V
34、V 的子空间，则V 2 1 V + 是直和 2 1 = V I V 证 充分性已知 2 1 = V I V ：对于 2 1 V V z + ，若 + = + = 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 , , , , V y V y y y z V x V x x x z则有 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 , , ) ( ) ( V y x V y x y x y x = + 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 , , ) ( y x y x y x y x V V y x y x = = = = = I 故 的分解式唯一, 从而V 2 1 V V z +
35、 2 1 2 1 V V V = + 必要性若 2 1 V I V ，则有 2 1 V V x I 对于 2 1 V V + ，有 2 1 2 1 ) ( , ), ( , , V x V x x x V V + = + = 即 2 1 V V + 有两种不同的分解式这与V 2 1 V + 是直和矛盾 故 2 1 = V I V 第一章 线性空间与线性变换（第 1节） 132 推论 1 V 是直和 1 V + 2 1 2 1 dim dim ) ( dim V V V V + = + 推论 2 设V 是直和，V 的基为 ，V 的基为 ， 2 2 1 V + 1 k x x , , 1 L 2
36、l y y , , 1 L 则V 的基为 1 V + l k y y x x , , , , , 1 1 L L 证 因为 ，且 2 ) , , , , , ( 1 1 l k y y x x L L L = 1 V V +l k V V V V + = + = + 2 1 2 1 dim dim ) ( dim 所以 线性无关, 故 是V 的基 l k y y x x , , , , , 1 1 L L l k y y x x , , , , , 1 1 L L 2 1 V +第一章 线性空间与线性变换（第 2节） 14 1.2 线性变换及其矩阵 一、线性变换 1 定 义 线性空间 V，数
37、域 K， T是 V中的变换若对 V y x , ， ， K l k , 都有 ) ( ) ( ) ( Ty l Tx k ly kx T + = + ， 称 T是 V中的线性变换 性质 (1) = + = + = ) ( 0 ) ( 0 ) 0 0 ( Ty Tx y x T T (2 ) T ) ( ) ( 0 ) )( 1 ( ) 0 ) 1 ( ) ( Tx Ty Tx y x T x = + = + = (3 ) 线性相关 线性相关 V x x m , , 1 L m Tx Tx , , 1 L(4 ) 线性无关时，不能推出Tx 线性无关 V x x m , , 1 L m Tx ,
38、, 1 L (5) 是线性变换 T y T Tx y x T + = + )(, ) ( ) ( Tx k kx T = ( V y x ,K k ) 例 1 矩阵空间 n n R ，给定矩阵 ，则变换 TX = BX+XB ( n n B n n X R ) 是 n n R 的线性变换 2线性变换的值域： , ) ( V x Tx y y T R = = 3线性变换的核： , ) ( V x Tx x T N = = Th8 设 T是线性空间 V的线性变换，则 R(T)和 N(T)都是 V的子空间 证 (1) V非空 非空 ) (T R1 1 1 1 st , ) ( Tx y V x T
39、R y = 2 2 2 2 st , ) ( Tx y V x T R y = ) ( ) ( 2 1 2 1 2 1 T R x x T Tx Tx y y + = + = + ) 2 1 V x x + Q () ( ) ( ) ( 1 1 1 T R x k T Tx k y k = = ( ) , 1 V kx K k Q 故 R(T)是 V的子空间 (2 ) ) ( , T N T V = ，即 非空 ) (T N第一章 线性空间与线性变换（第 2节） 15 = + = + Ty Tx y x T T N y x ) ( ) ( , ，即 ) (T N y x + = = ) ( )
40、 ( ), ( Tx k kx T K k T N x ，即 kx ) (T N 故 N(T)是 V的子空间 注 定义：T的秩 = dim R(T)，T的亏 = dim N(T) 例 2 设线性空间V 的基为 ， T是V 的线性变换，则 n n x x , , 1 L n， ) , , ( ) ( 1 n Tx Tx L T R L = n T N T R = + ) ( dim ) ( dim 证 (1) 先证 ： ) , , ( ) ( 1 n Tx Tx L T R L Tx y V x T R y n = st , )( + + = + + = ) ( ) ( 1 1 1 1 n n
41、n n Tx c Tx c y x c x c x L L L ) , , ( 1 n Tx Tx L 再证 R ： ) , , ( ) ( 1 n Tx Tx L T L ) ( ) ( st , , , ) , , ( 1 1 1 1 n n n n Tx c Tx c y c c Tx Tx L y + + = L L L n ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 T R Tx c Tx c y T R Tx n n i i V x + + = L (2) 设dim , 且 的基为 , 扩充为V 的基： m T N = ) ( ) (T N m y y , , 1 L n n m m
42、y y y y , , , , , 1 1 L L +则 ) , , ( ) , , , , , ( ) ( 1 1 1 n m n m m Ty Ty L Ty Ty Ty Ty L T R L L L + + = = 设数组 k 使得 n m k , , 1 L + = + + + + ) ( ) ( 1 1 n n m m Ty k Ty k L , 则 = + + + + ) ( 1 1 n n m m y k y k T L 因为T 是线性变换, 所以 ) ( 1 1 T N y k y k n n m m + + + + L , 故 m m n n m m y l y l y k y k + + = + + + + L L 1 1 1 1即 = + + + + + + + n n m m m m y k y k y l y l L L 1 1 1 1 ) ( )( 因为 线性无关, 所以 n m m y y y y , , , , , 1 1 L L + 0 , , 0 1 = = + n m k k L 因此 线性无关, 从而 n m Ty Ty , , 1 L + m n T R = ) ( dim , 即dim n m T R = + ) (例 3 向量空间 4 R 中， ) , , , (
