1、第 1 页（共 25 页）2019 年全国统一高考数学试卷（文科） （新课标） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 （5 分）设 z ，则|z| （ ）A2 B C D12 （5 分）已知集合 U1，2，3，4，5，6，7，A2，3，4，5，B2 ，3，6，7，则 B UA（ ）A1 ，6 B1 ，7 C6 ，7 D1 ，6，73 （5 分）已知 alog 20.2， b2 0.2，c 0.2 0.3，则（ ）Aabc Bacb Ccab Dbc a4 （5 分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚
2、脐至足底的长度之比是 （ 0.618，称为黄金分割比例） ，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为 26cm，则其身高可能是（ ）A165cm B175cm C185cm D190cm5 （5 分）函数 f（x ） 在 ，的图象大致为（ ）A第 2 页（共 25 页）BCD6 （5 分）某学校为了解 1000 名新生的身体素质，将这些学生编号 1，2，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验若 46 号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽
3、到的是（ ）A8 号学生 B200 号学生 C616 号学生 D815 号学生7 （5 分）tan255（ ）A2 B2+ C2 D2+8 （5 分）已知非零向量 ， 满足| |2| |，且（ ） ，则 与 的夹角为（ ）A B C D9 （5 分）如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入（ ）第 3 页（共 25 页）AA BA2+ CA DA 1+10 （5 分）双曲线 C： 1（a0，b0）的一条渐近线的倾斜角为 130，则C 的离心率为（ ）A2sin40 B2cos40 C D11 （5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知asinAbsinB4c sinC，
4、cosA ，则 （ ）A6 B5 C4 D312 （5 分）已知椭圆 C 的焦点为 F1（1，0） ，F 2（1，0） ，过 F2 的直线与 C 交于 A，B两点若| AF2|2| F2B|，|AB| |BF1|，则 C 的方程为（ ）A +y21 B + 1C + 1 D + 1二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 （5 分）曲线 y3（x 2+x）e x 在点（0，0）处的切线方程为 14 （5 分）记 Sn 为等比数列a n的前 n 项和若 a11， S3 ，则 S4 15 （5 分）函数 f（x ）sin（2x+ ）3cosx 的最小值为 16 （5 分）已
5、知ACB90，P 为平面 ABC 外一点，PC 2，点 P 到ACB 两边第 4 页（共 25 页）AC，BC 的距离均为 ，那么 P 到平面 ABC 的距离为 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60 分。17 （12 分）某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意 不满意男顾客 40 10女顾客 30 20（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2
6、）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：K 2 P（K 2k） 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.82818 （12 分）记 Sn 为等差数列a n的前 n 项和已知 S9 a 5（1）若 a34，求a n的通项公式；（2）若 a10，求使得 Sna n 的 n 的取值范围19 （12 分）如图，直四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60 ，E，M ，N 分别是 BC，BB 1，A 1D 的中点（1）证明：MN平面 C1DE；（2）求点 C 到平面 C1DE 的距离第 5 页（共 25 页）20
7、（12 分）已知函数 f（x ）2sinxx cosxx ，f（x）为 f（x）的导数（1）证明：f（x ）在区间（0，）存在唯一零点；（2）若 x0， 时，f（x）ax，求 a 的取值范围21 （12 分）已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，|AB| 4，M 过点 A，B 且与直线x+2 0 相切（1）若 A 在直线 x+y0 上，求 M 的半径；（2）是否存在定点 P，使得当 A 运动时，| MA|MP |为定值？并说明理由（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）在
8、直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数） 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2cos+sin+110（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知 a，b，c 为正数，且满足 abc1证明：（1） + + a 2+b2+c2；（2） （a+b） 3+（b+c ） 3+（c+a） 324第 6 页（共 25 页）2019 年全国统一高考数学试卷（文科） （新课标） 参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每
9、小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 （5 分）设 z ，则|z| （ ）A2 B C D1【考点】A8：复数的模菁优网版权所有【分析】直接利用复数商的模等于模的商求解【解答】解：由 z ，得|z| | | 故选：C【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题2 （5 分）已知集合 U1，2，3，4，5，6，7，A2，3，4，5，B2 ，3，6，7，则 B UA（ ）A1 ，6 B1 ，7 C6 ，7 D1 ，6，7【考点】1H：交、并、补集的混合运算 菁优网版权所有【分析】先求出 UA，然后再求 B UA 即可求解【解答】解：U1，2，3，4，5，6，7，A2
10、，3，4，5，B2 ，3，6，7， UA1，6 ，7，则 B UA6，7故选：C【点评】本题主要考查集合的交集与补集的求解，属于基础试题3 （5 分）已知 alog 20.2， b2 0.2，c 0.2 0.3，则（ ）Aabc Bacb Ccab Dbc a【考点】4M：对数值大小的比较菁优网版权所有【分析】由指数函数和对数函数的单调性易得 log20.20，2 0.21，00.2 0.31，从而得出 a，b，c 的大小关系【解答】解：alog 20.2log 210，第 7 页（共 25 页）b2 0.22 01，00.2 0.30.2 01，c0.2 0.3（ 0，1） ，acb，故选：
11、B【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，属基础题4 （5 分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （ 0.618，称为黄金分割比例） ，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为 26cm，则其身高可能是（ ）A165cm B175cm C185cm D190cm【考点】31：函数的概念及其构成要素；F4：进行简单的合情推理菁优网版权所有【分析】充分运用黄金分割比例，结合图形，计算可估计身高【解答】解：头顶至
12、脖子下端的长度为 26cm，说明头顶到咽喉的长度小于 26cm，由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是 0.618，可得咽喉至肚脐的长度小于 42cm，由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 ，可得肚脐至足底的长度小于 110，即有该人的身高小于 110+68178cm，第 8 页（共 25 页）又肚脐至足底的长度大于 105cm，可得头顶至肚脐的长度大于 1050.61865cm，即该人的身高大于 65+105170cm，故选：B【点评】本题考查简单的推理和估算，考查运算能力和推理能力，属于中档题5 （5 分）函数 f（x ） 在 ，的图象大致为（ ）ABCD【考点】3A：函数的图象
13、与图象的变换 菁优网版权所有【分析】由 f（x ）的解析式知 f（x）为奇函数可排除 A，然后计算 f（ ） ，判断正负即可排除 B，C【解答】解：f（x ） ，x， ，f（x） f （x） ，f（x）为， 上的奇函数，因此排除 A；第 9 页（共 25 页）又 f（ ） ，因此排除 B，C；故选：D【点评】本题考查了函数的图象与性质，解题关键是奇偶性和特殊值，属基础题6 （5 分）某学校为了解 1000 名新生的身体素质，将这些学生编号 1，2，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验若 46 号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是（ ）A8 号学生 B
14、200 号学生 C616 号学生 D815 号学生【考点】B4：系统抽样方法 菁优网版权所有【分析】根据系统抽样的特征，从 1000 名学生从中抽取一个容量为 100 的样本，抽样的分段间隔为 10，结合从第 4 组抽取的号码为 46，可得第一组用简单随机抽样抽取的号码【解答】解：从 1000 名学生从中抽取一个容量为 100 的样本，系统抽样的分段间隔为 10，46 号学生被抽到，则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为 6，以后每个号码都比前一个号码增加 10，所有号码数是以 6 为首项，以 10 为公差的等差数列，设其数列为a n，则 an6+10（n1）10n4，当 n62
15、时，a 62616，即在第 62 组抽到 616故选：C【点评】本题考查了系统抽样方法，关键是求得系统抽样的分段间隔7 （5 分）tan255（ ）A2 B2+ C2 D2+【考点】GO：运用诱导公式化简求值菁优网版权所有【分析】利用诱导公式变形，再由两角和的正切求解【解答】解：tan255tan （180+75）tan75tan（45+30） 故选：D第 10 页（共 25 页）【点评】本题考查三角函数的取值，考查诱导公式与两角和的正切，是基础题8 （5 分）已知非零向量 ， 满足| |2| |，且（ ） ，则 与 的夹角为（ ）A B C D【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角菁优网版权
16、所有【分析】由（ ） ，可得 ，进一步得到，然后求出夹角即可【解答】解：（ ） ， ， ， ， 故选：B【点评】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属基础题9 （5 分）如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入（ ）第 11 页（共 25 页）AA BA2+ CA DA 1+【考点】EF：程序框图菁优网版权所有【分析】模拟程序的运行，由题意，依次写出每次得到的 A 的值，观察规律即可得解【解答】解：模拟程序的运行，可得：A ，k1；满足条件 k2，执行循环体，A ，k2；满足条件 k2，执行循环体，A ，k3；此时，不满足条件 k2，退出循环，输出 A 的值为 ，观察 A 的取值规律可知图
17、中空白框中应填入 A 故选：A【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题10 （5 分）双曲线 C： 1（a0，b0）的一条渐近线的倾斜角为 130，则C 的离心率为（ ）第 12 页（共 25 页）A2sin40 B2cos40 C D【考点】KB：双曲线的标准方程菁优网版权所有【分析】由已知求得 ，化为弦函数，然后两边平方即可求得 C 的离心率【解答】解：双曲线 C： 1（a0，b0）的渐近线方程为 y ，由双曲线的一条渐近线的倾斜角为 130，得 ，则 ， ，得 ，e 故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查同角三角函数基本关
18、系式的应用，是基础题11 （5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知asinAbsinB4c sinC，cosA ，则 （ ）A6 B5 C4 D3【考点】HP：正弦定理菁优网版权所有【分析】利用正弦定理和余弦定理列出方程组，能求出结果【解答】解：ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，asinAbsinB4csinC，cosA ， ，解得 3c2 ， 6故选：A第 13 页（共 25 页）【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12 （5 分）已知椭圆 C 的焦点为 F1（1，0） ，F 2（1，0） ，过
19、 F2 的直线与 C 交于 A，B两点若| AF2|2| F2B|，|AB| |BF1|，则 C 的方程为（ ）A +y21 B + 1C + 1 D + 1【考点】K4：椭圆的性质 菁优网版权所有【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得 a ，b ，可得椭圆的方程【解答】解：|AF 2|2| BF2|，|AB| 3|BF 2|，又|AB| |BF1|， |BF 1|3|BF 2|，又|BF 1|+|BF2|2a，|BF 2| ，|AF 2| a，| BF1| a，在 Rt AF2O 中，cosAF 2O ，在BF 1F2 中，由余弦定理可得 cosBF 2F1 ，根据 cosAF 2O
20、+cosBF 2F10，可得 + 0，解得 a23，a b2a 2c 2312所以椭圆 C 的方程为： + 1故选：B【点评】本题考查了椭圆的性质，属中档题二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 （5 分）曲线 y3（x 2+x）e x 在点（0，0）处的切线方程为 y3x 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程 菁优网版权所有第 14 页（共 25 页）【分析】对 y3（x 2+x）e x 求导，可将 x0 代入导函数，求得斜率，即可得到切线方程【解答】解：y3（x 2+x） ex，y3 ex（x 2+3x+1） ，当 x0 时，y 3，y3（x 2+x）e
21、x 在点（0，0）处的切线斜率 k3，切线方程为：y3x 故答案为：y3x 【点评】本题考查了利用导数研究函数上某点的切线方程，切点处的导数值为斜率是解题关键，属基础题14 （5 分）记 Sn 为等比数列a n的前 n 项和若 a11， S3 ，则 S4 【考点】89：等比数列的前 n 项和菁优网版权所有【分析】利用等比数列的通项公式及求和公式表示已知，可求公比，然后再利用等比数列的求和公式即可求解【解答】解：等比数列a n的前 n 项和，a 11，S 3 ，q1， ，整理可得， ，解可得，q ，则 S4 故答案为：【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题15
22、 （5 分）函数 f（x ）sin（2x+ ）3cosx 的最小值为 4 【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值菁优网版权所有【分析】线利用诱导公式，二倍角公式对已知函数进行化简，然后结合二次函数的 单调性即可去求解最小值第 15 页（共 25 页）【解答】解：f（x ）sin（2x+ ）3cosx，cos2x3cosx 2cos 2x3cos x+1，令 tcosx，则 1t1，f（t）2t 23t+1 的开口向上，对称轴 t ，在1，1上先增后减，故当 t1 即 cosx1 时，函数有最小值4故答案为：4【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦公式在三角好按时化简求值中的应用及利用
23、余弦函数，二次函数的性质求解最值的应用，属于基础试题16 （5 分）已知ACB90，P 为平面 ABC 外一点，PC 2，点 P 到ACB 两边AC，BC 的距离均为 ，那么 P 到平面 ABC 的距离为 【考点】MK：点、线、面间的距离计算菁优网版权所有【分析】过点 P 作 PDAC，交 AC 于 D，作 PEBC，交 BC 于 E，过 P 作 PO平面ABC，交平面 ABC 于 O，连结 OD，OC，则 PDPE ，从而CDCEODOE 1，由此能求出 P 到平面 ABC 的距离【解答】解：ACB90，P 为平面 ABC 外一点，PC2，点 P 到ACB 两边AC，BC 的距离均为 ，过点
24、 P 作 PD AC，交 AC 于 D，作 PEBC，交 BC 于 E，过 P 作 PO平面 ABC，交平面 ABC 于 O，连结 OD，OC，则 PDPE ，CDCEODOE 1，PO P 到平面 ABC 的距离为 故答案为： 第 16 页（共 25 页）【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60 分。17 （12 分）某商场为提高
25、服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意 不满意男顾客 40 10女顾客 30 20（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：K 2 P（K 2k） 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828【考点】BL：独立性检验 菁优网版权所有【分析】 （1）由题中数据，结合等可能事件的概率求解；（2）代入计算公式：K 2 ，然后把所求数据与 3.841 进行比较即可判断第 17 页（共 25 页）【解答】解：（1）由
26、题中数据可知，男顾客对该商场服务满意的概率 P ，女顾客对该商场服务满意的概率 P ；（2）由题意可知，K 2 4.7623.841，故有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异【点评】本题主要考查了等可能事件的概率求解及独立性检验的基本思想的应用，属于基础试题18 （12 分）记 Sn 为等差数列a n的前 n 项和已知 S9 a 5（1）若 a34，求a n的通项公式；（2）若 a10，求使得 Sna n 的 n 的取值范围【考点】8K：数列与不等式的综合 菁优网版权所有【分析】 （1）根据题意，等差数列a n中，设其公差为 d，由 S9a 5，即可得 S99a 5a 5，变形
27、可得 a50，结合 a34，计算可得 d 的值，结合等差数列的通项公式计算可得答案；（2）若 Sna n，则 na1+ da 1+（n1）d，分 n1 与 n2 两种情况讨论，求出 n 的取值范围，综合即可得答案【解答】解：（1）根据题意，等差数列a n中，设其公差为 d，若 S9a 5，则 S9 9a 5a 5，变形可得 a50，即 a1+4d0，若 a34，则 d 2，则 ana 3+（n3）d2n+10，（2）若 Sna n，则 na1+ da 1+（n1）d，当 n1 时，不等式成立，当 n2 时，有 da 1，变形可得（n2）da 1，又由 S9a 5，即 S9 9a 5a 5，则有
28、 a50，即 a1+4d0，则有（n2） a 1，又由 a10，则有 n10，则有 2n10，第 18 页（共 25 页）综合可得：n 的取值范围是n|1n10，n N【点评】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前 n 项和公式，涉及数列与不等式的综合应用，属于基础题19 （12 分）如图，直四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60 ，E，M ，N 分别是 BC，BB 1，A 1D 的中点（1）证明：MN平面 C1DE；（2）求点 C 到平面 C1DE 的距离【考点】MK：点、线、面间的距离计算菁优网版权所有【分析】法一：（1）连结 B1C，ME ，推导出
29、四边形 MNDE 是平行四边形，从而 MNED，由此能证明 MN平面 C1DE（2）过 C 作 C1E 的垂线，垂足为 H，推导出 DEBC ，DEC 1C，从而 DE平面C1CE，DECH，进而 CH 平面 C1DE，故 CH 的长即为 C 到时平面 C1DE 的距离，由此能求出点 C 到平面 C1DE 的距离法二：（1）以 D 为原点，DA 为 x 轴，DE 为 y 轴，DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 MN平面 C1DE（2）求出 （1， ， 0） ，平面 C1DE 的法向量 （4，0，1） ，利用向量法能求出点 C 到平面 C1DE 的距离【解答】解法一：证明
30、：（1）连结 B1C，ME ，M ，E 分别是 BB1，BC 的中点，MEB 1C，又 N 为 A1D 的中点，ND A1D，第 19 页（共 25 页）由题设知 A1B1 DC，B 1C A1D，ME ND，四边形 MNDE 是平行四边形，MNED，又 MN平面 C1DE，MN平面 C1DE解：（2）过 C 作 C1E 的垂线，垂足为 H，由已知可得 DEBC，DE C1C，DE平面 C1CE，故 DECH，CH平面 C1DE，故 CH 的长即为 C 到时平面 C1DE 的距离，由已知可得 CE1，CC 14 ，C 1E ，故 CH ，点 C 到平面 C1DE 的距离为 解法二：证明：（1）
31、直四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的底面是菱形，AA14，AB2，BAD 60 ，E，M ，N 分别是 BC，BB 1，A 1D 的中点DD 1平面 ABCD，DEAD，以 D 为原点，DA 为 x 轴，DE 为 y 轴，DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，M（1， ，2） ，N（1，0，2） ，D （0，0，0） ，E（0， ，0） ，C 1（1， ，4） ，（0， ，0） ， （1， ） ， （0， ） ，设平面 C1DE 的法向量 （x ，y，z） ，则 ，取 z1，得 （4，0，1） ， 0，MN 平面 C1DE，MN平面 C1DE解：（2）C（1， ，0） ， （1， ，0
32、） ，平面 C1DE 的法向量 （4，0，1） ，点 C 到平面 C1DE 的距离：第 20 页（共 25 页）d 【点评】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题20 （12 分）已知函数 f（x ）2sinxx cosxx ，f（x）为 f（x）的导数（1）证明：f（x ）在区间（0，）存在唯一零点；（2）若 x0， 时，f（x）ax，求 a 的取值范围【考点】6B：利用导数研究函数的单调性 菁优网版权所有【分析】 （1）令 g（x）f（x） ，对 g（x）再求导，研究其在（0，）上的单调性，结合
33、极值点和端点值不难证明；（2）利用（1）的结论，可设 f（x ）的零点为 x0，并结合 f（x）的正负分析得到f（x）的情况，作出图示，得出结论【解答】解：（1）证明：f（x ）2sinxx cosxx ，第 21 页（共 25 页）f（x）2cosx cosx +xsinx1cosx+xsin x1，令 g（x）cosx+xsinx1，则 g（x）sinx+sinx +xcosxxcosx，当 x（0， ）时，x cosx 0，当 x 时，x cosx0，当 x 时，极大值为 g（ ） 0，又 g（0）0，g（）2 ，g（x）在（0，）上有唯一零点，即 f（x）在（ 0，）上有唯一零点；（2
34、）由（1）知，f（x ）在（0，）上有唯一零点 x0，使得 f（x 0） 0，且 f（x）在（ 0，x 0）为正，在（x 0，）为负，f（x）在0 ， x0递增，在 x0，递减，结合 f（0）0，f（）0，可知 f（x）在0， 上非负，令 h（x）ax，作出图示，f（x）h（ x） ，a0，a 的取值范围是（，0第 22 页（共 25 页）【点评】此题考查了利用导数研究函数的单调性，零点等问题，和数形结合的思想方法，难度较大21 （12 分）已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，|AB| 4，M 过点 A，B 且与直线x+2 0 相切（1）若 A 在直线 x+y0 上，求 M 的半径；（2）
35、是否存在定点 P，使得当 A 运动时，| MA|MP |为定值？并说明理由【考点】J9：直线与圆的位置关系菁优网版权所有【分析】 （1）由条件知点 M 在线段 AB 的中垂线 xy0 上，设圆的方程为M 的方程为（xa） 2+（y a） 2R 2（R0） ，然后根据圆与直线 x+20 相切和圆心到直线x+y0 的距离，半弦长和半径的关系建立方程组即可；（2）设 M 的坐标为（x，y） ，然后根据条件的到圆心 M 的轨迹方程为 y24x，然后根据抛物线的定义即可得到定点【解答】解：M 故点 A，B 且 A 在直线 x+y0 上，点 M 在线段 AB 的中垂线 xy0 上，设 M 的方程为：（xa
36、） 2+（ya） 2R 2（R0） ，则圆心 M（a，a）到直线 x+y0 的距离 d ，又|AB| 4，在 RtOMB 中，d2+（ |AB|） 2R 2，即 又 M 与 x2 相切，| a+2|R由解得 或 ，第 23 页（共 25 页） M 的半径为 2 或 6；（2）线段为M 的一条弦，圆心 M 在线段 AB 的中垂线上，设点 M 的坐标为（x，y） ，则|OM| 2+|OA|2| MA|2， M 与直线 x+20 相切，|MA |x+2| ，|x +2|2|OM |2+|OA|2x 2+y2+4，y 24x，M 的轨迹是以 F（1，0）为焦点 x1 为准线的抛物线，|MA |MP|
37、x+2|MP|x +1|MP|+1| MF| MP|+1，当|MA| |MP|为定值时，则点 P 与点 F 重合，即 P 的坐标为（1，0） ，存在定点 P（1，0）使得当 A 运动时，| MA|MP |为定值【点评】本题考查了直线与圆的关系和抛物线的定义，考查了待定系数法和曲线轨迹方程的求法，属难题（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数） 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的
38、极坐标方程为 2cos+sin+110（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程 菁优网版权所有【分析】 （1）把曲线 C 的参数方程变形，平方相加可得普通方程，把xcos，ysin 代入 2cos+ sin+110，可得直线 l 的直角坐标方程；（2）写出与直线 l 平行的直线方程为 ，与曲线 C 联立，化为关于 x 的一元二次方程，利用判别式大于 0 求得 m，转化为两平行线间的距离求 C 上的点到 l 距离的最小值第 24 页（共 25 页）【解答】解：（1）由 （t 为参数） ，得 ，两式平方相加，得 （x1） ，C
39、 的直角坐标方程为 （x1） ，由 2cos+ sin+110，得 即直线 l 的直角坐标方程为得 ；（2）设与直线 平行的直线方程为 ，联立 ，得 16x2+4mx+m2120由16m 264（m 212）0，得 m4当 m4 时，直线 与曲线 C 的切点到直线 的距离最小，为 【点评】本题考查间单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了两平行线间的距离公式的应用，是中档题选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知 a，b，c 为正数，且满足 abc1证明：（1） + + a 2+b2+c2；（2） （a+b） 3+（b+c ） 3+（c+a） 32
40、4【考点】R6：不等式的证明 菁优网版权所有【分析】 （1）利用基本不等式和 1 的运用可证， （2）分析法和综合法的证明方法可证【解答】证明：（1）分析法：已知 a，b，c 为正数，且满足 abc1要证（1） + + a 2+b2+c2；因为 abc1就要证： + + a2+b2+c2；即证：bc+ac+aba 2+b2+c2；第 25 页（共 25 页）即：2bc+2ac+2ab2a 2+2b2+2c2；2a2+2b2+2c22bc2ac 2ab0（ab） 2+（ac） 2+（bc） 20；a，b，c 为正数，且满足 abc1（ab） 20；（ac） 20；（bc） 20 恒成立；当且仅当
41、：abc1 时取等号即（ab） 2+（ac） 2+（bc） 20 得证故 + + a 2+b2+c2 得证（2）证（a+b） 3+（b+c ） 3+（c +a） 324 成立；即：已知 a，b，c 为正数，且满足 abc1（a+b）为正数；（b+ c）为正数；（c+a）为正数；（a+b） 3+（b+c ） 3+（c +a） 33（a+ b）（b+c）（c +a） ；当且仅当（a+b）（b+ c）（c+a）时取等号；即：abc1 时取等号；a，b，c 为正数，且满足 abc1（a+b）2 ；（b+ c）2 ；（c+a）2 ；当且仅当 ab，bc；c a 时取等号；即：abc 1 时取等号；（a+b） 3+（b+c ） 3+（c +a） 33（a+ b）（b+c）（ c+a）38 24abc24；当且仅当 abc1 时取等号；故（a+b） 3+（b+c ） 3+（c +a） 324得证故得证【点评】本题考查重要不等式和基本不等式的运用，分析法和综合法的证明方法声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/6/10 10:46:59；用户：18698887531；邮箱：18698887531；学号：22438407
