1、12013 上海市初中数学竞赛(新知杯)（2013 年 12 月 8 日 上午 9:0011:00）二题 号 一（18） 9 10 11 12 总 分得 分评 卷复 核1、填空题(每题 10 分)1.已知 ，则721,ba ._33ba2.已知 ，43214321 /,/ mll ._,20,1EFGHILKJABCDSS则3.已知 在 上且 过点 作 的平行线交FEACBA、， ,8,690AB3,2FEEAC于 ， 的延长线交 的延长线于 ，则BCDFG._4.已知凸五边形的边长为 为二次三项式；当 或者)(,54321xfa1ax2时， ，5432aax)(xf当 时， 当 时， ，则1
2、,p543aqxf)( ._p5.已知一个三位数是 35 的倍数且各个数位上数字之和为 15，则这个三位数为_.6.已知关于 的一元二次方程 对于任意的实数 都有实数根，则 的x 0)2(12max am取值范围是_.7.已知四边形 的面积为 2013， 为 上一点， 的重心分别为ABCDEADCDEAB,，那么 的面积为_.321,G3218.直角三角形斜边 上的高 ，延长 到 使得 ，过 作 交 于 ，AB3CDP2CBAPFCDE交 于 ，则PF._E二、解答题（第 9 题、第 10 题 15 分，第 11 题、第 12 题 20 分）9.已知 ，四边形 是正方形且边长为 1，求 的最大
3、值.0BACADEFCAB1310.已知 是不为 0 的实数，求解方程组：aaxy111.已知： 为整数且 ，求 的,1nna,32 2013321321 nnaaa n最小值.12.已知正整数 满足 求所有满足条件的 的值.dca、 b ),13(),13(22dcbdca d答案：1. 2.60 3. 4.0 5.735 6. 7. 8. 271026512m367599. 10.经检验原方程组的解为： ， .CAB4112ayx12ayx11.【解析】 满足题设等式，下证当 时，不存在2013,554321 aan当 4n满足等式要求的整数，不妨设 ，n214(1)当 时， ，当 中有负
4、整数时，必为4n61320432,a，若 不满足条件，当5,14321aa 01,43无解.不可能，当 中无负整数时，显然267,344 4321,a， ，容易验证等式不可能成立.2014a(2)当 时，当 中有负整数时，必为 显然等式不成立，当 中无负n321,a,21a321,a整数时，同上容易验证等式不可能成立.(3)当 时， 均为正整数，同上易验证等式不可能成立 .21,综上所述， 的最小值为 5.n12. 85d2013 上海新知杯初中数学竞赛答案567892012 年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷（2012 年 12 月 9 日 上午 9:0011:00）二题 号 一（18） 9
5、 10 11 12 总 分得 分评 卷复 核解答本试卷可以使用科学计算器一、 填空题（每题 10 分，共 80 分）1. 已知 的边 上的高为 ，与边 平行的两条直线 将 的面积三等分，则直线 与 之间的距离为_。2. 同时投掷两颗骰子， 表示两颗骰子朝上一面的点数之和为 的概率，则的值为_。3. 在平面直角坐标系 中，已知点 （ ， ），点 在直线 上，使得 是等腰三角形，则点 的坐标是_。4. 在矩形 中， 。点 分别在 上，使得 。 是矩形内部的一点，若四边形 的面积为，则四边形 的面积等于_。5. 使得 是素数的整数 共有_个。6. 平面上一动点 到长为 的线段 所在直线的距离为 ，当
6、 取到最小值时，_。107. 已知一个梯形的上底、高、下底恰好是三个连续的正整数，且这三个数使得多项式（ 是常数）的值也恰好是按同样顺序的三个连续正整数，则这个梯形的面积为_。8. 将所有除以 余 和除以 余 的正整数从小到大排成一列，设 表示这数列的前 项的和，则 _。（这里 表示不超过实数 的最大整数。）二、 解答题（第 9,10 题，每题 15 分，第 11,12 题，每题 20 分，共 70 分）9. 如图， 是正方形 内一点，过点 分别作 的垂线，垂足分别为 。已知 ，求证：或者 ，或者 。10. 解方程组 。1111. 给定正实数 ，对任意一个正整数 ，记 ，这里， 表示不超过实数
7、的最大整数。（1） 若 ，求 的取值范围；（2） 求证： 。12. 证明：在任意 个互不相同的实数中，一定存在两个数 ，满足122011 年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷（2011 年 12 月 4 日 上午 9:0011:00）二题号 一（18） 9 10 11 12 总分得分评卷复核解答本试卷可以使用科学计算器一、 填空题（每题 分，共 分）1081. 已知关于 的两个方程： ， ，其中 。若x032mx02mx0方程中有一个根是方程的某个根的 倍，则实数 的值是_。2. 已知梯形 中， / ， ， ， ， ，则梯ABCD9ABCAD5BC13形 的面积为_。3. 从编号分别为 ， ，
8、， ， ， 的 张卡片中任意抽取 张，则抽出卡片的编号都大于123456313等于 的概率为 _。24. 将 个数 ， ， ， ， ， ， ， 排列为 ，875324613a， ， ， ， ， ， ，使得 的值最小，则这个最bcdefgh22hgfedcba小值为_。5. 已知正方形 的边长为 ， ， 分别是边 ， 上的点，使得 ，ABCD4EFABC3AE，线段 与 相交于点 ，则四边形 的面积为_。2FGD6. 在等腰直角三角形 中， ， 是 内一点，使得 ，90AP1P， ，则边 的长为_。7P67. 有 名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场） ，规定获胜得 分，平局得 分，负1
9、0 2得 分。比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第 名的得分是最后五名选手的得分和的 ，则第 名选手的得分是 _。5428. 已知 ， ， ， 都是质数（质数即素数，允许 ， ， ， 有相同的情况） ，且 是abcdabcdabcd个连续正整数的和，则 的最小值为_。3dcba二、 解答题（第 ， 题，每题 分，第 ， 题，每题 分，共 分）910512079. 如图，矩形 的对角线交点为 ，已知 ，角 的平分线与边 交ABCDO6DACDC于点 ，直线 与 相交于点 ，直线 与 相交于点 M。求证： 。SOLBLS/解 OSDCBA1410. 对于正整数 ，记 。求所有的正整数组 ，
10、使得nn21! fedcba,，且 。!fedcbafedcba解11. （1）证明：存在整数 ， ，满足 ；xy2042yx（2）问：是否存在整数 ， ，满足 证明你的结论。?1解1512. 对每一个大于 的整数 ，设它的所有不同的质因数为 ， ， ， ，对于每个1n1p2.kp，存在正整数 ，使得 ，kipiiaii aanp记 例如， 。kapn21 895026（1）试找出一个正整数 ，使得 ；n（2）证明：存在无穷多个正整数 ，使得 。n.p1解161718192021222010 年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷一、填空题（第 15 小题，每题 8 分，第 610 小题，每题 1
11、0 分，共 90 分）1. 已知 ，则 _。31x10510x2. 满足方程 的所有实数对 为_。322yyx，3. 已知直角三角形 ABC 中， ，CD 为 的角平分线，则369CABC， _。4. 若前 2011 个正整数的乘积 能被 整除，则正整数201 k的最大值为_。k5. 如图，平面直角坐标系内，正三角形 ABC 的顶点 B，C 的坐标分别为（1，0） ， （3， 0） ，过坐标原点 O 的一条直线分别与边 AB，AC 交于点M，N，若 OM=MN，则点 M 的坐标为_。6. 如图，矩形 ABCD 中，AB=5，BC=8，点 E，F，G ，H 分别在边 AB，BC，CD，DA 上，
12、使得AE=2，BF=5， DG=3，AH=3，点 O 在线段 HF 上，使得四边形 AEOH 的面积为 9，则四边形OFCG 的面积是_。7. 整数 满足 ，且关于 的一元二次方程qp， 201x的两个根均为正整数，则 _。0672xp8. 已知实数 满足 且 。设cba， 0cba， a是方程 的两个实数根，则平面直线坐标系内两21x， 2x点 之间的距离的最大值为_。12BA，9. 如图，设 ABCDE 是正五边形，五角星 ACEBD（阴影部分）的面积为 1，设 AC 与 BE 的交点为 P，BD 与 CE 的交点为 Q，则四边形APQD 的面积等于_。10. 设 是整数， ，且 能被cb
13、a， 91cba1cab9 整除，则 的最小值是_，最大值是_。二、 解答题（每题 15 分，共 60 分）11. 已知面积为 4 的 的边长分别为 ，AD 是 的角平ABC bcABbCaB， A分线，点 是点 C 关于直线 AD 的对称点，若 与 相 D似，求 的周长的最小值。yxMNO CBAO GFEH DCBAQP EDCBACCDBA2312. 将 1，2，9 这 9 个数字分别填入图 1 中的 9 个小方格中，使 得7 个三位数 和 都能被 11 整除，求三位数 cfibehgidfabc， a ceg的最大值13. 设实数 满足 ，且 ，求 的最大值和最zyx， 0zyx222xzyx x小值14. 称具有 形式的数为 “好数”，其中 都是整数2216baba，（1）证明：100，2010 都是 “好数”。（2）证明：存在正整数 ，使得 是“ 好数” ，而 不是“ 好数”。yx， 16yxyx ihg fed cba24252627282930
