(教师版较详细)椭圆的讲义与练习.doc

1、椭圆讲义与练习 2013 年初1 椭圆讲义与练习题型一：椭圆的第一定义与标准方程例 1 、椭圆的一个顶点为 ，其长轴长是短轴长的 2 倍，求椭圆的标准方程02，A分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置解：（1）当 为长轴端点时， ， ，椭圆的标准方程为：， a1b；42yx（2）当 为短轴端点时， ， ，椭圆的标准方程为： ；0，A2b4a1642yx说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况变式练习：求适合条件的椭圆的标准方程（1）长轴长是短轴长的 2 倍，且过点 ；62，（2）在 轴上的一个焦点与短轴两端点的联线互相垂直，

2、且焦距为 6x分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由 求出 ，12byax482a，在得方程 后，不能依此写出另一方程 372b137482yx 3748解：（1）设椭圆的标准方程为 或 12byax12bxa由已知 ba2又过点 ，因此有6，或 12ba12ba由、，得 ， 或 ， 故所求的方程为4837252a13b或 137482yx152x（2）设方程为 由已知， ， ，所以 故所求方程2bya3cb182a椭圆讲义与练习 2013 年初2 为 1982yx说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数” 关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程 或 12

3、byax12bxa例 2、已知动圆 过定点 ，且在定圆 的内部与其相内切，求P03，A643yB：动圆圆心 的轨迹方程解：如图所示，设动圆 和定圆 内切于点 动点 到两定MP点，即定点 和定圆圆心 距离之和恰好等于定圆半径，03，03，即 点 的轨迹是以 ，8BPMBPA A为两焦点，半长轴为 4，半短轴长为 的椭圆的方程： 7342b 1762yx变式练习：已知 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 到两焦点的距离分别为 和PP354，过 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程352解：设两焦点为 、 ，且 ， 从椭圆定义知1F23541P352F即 5221Paa从 知 垂直

4、焦点所在的对称轴，所以在 中，2 12FPRt，可求出 ， ，从而sin121PF621FP356cos1所求椭圆方程为 或 3022cab 035yx52yx例 3、已知方程 表示椭圆，求 的取值范围152kyxk椭圆讲义与练习 2013 年初3 解：由 得 ，且 ,350,k54k满足条件的 的取值范围是 ，且 3说明：本题易出现如下错解：由 得 ，故 的取值范围是 ,0k5k53k出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中 这个条件，当 时，并不表示椭baba圆变式练习： 已知椭圆 的离心率 ，求 的值1982ykx21ek分析：分两种情况进行讨论解：当椭圆的焦点在 轴上时， ， ，得 由 ，

5、得x82ka92b12c2e4k当椭圆的焦点在 轴上时， ， ，得 y922k2由 ，得 ，即 满足条件的 或 21e419k545说明：本题易出现漏解排除错误的办法是：因为 与 9 的大小关系不定，所以椭8圆的焦点可能在 轴上，也可能在 轴上故必须进行讨论xy总结区：求椭圆方程的总结：题型二：第二定义的应用及焦半径，焦点弦和焦点三角形问题例 4、 椭圆 的右焦点为 ，过点 ，点 在椭圆上，当126yxF31，AM为最小值时，求点 的坐标MFA2M分析：本题的关键是求出离心率 ，把 转化为 到右准线的距离，从而得2e最小值一般地，求 均可用此法FA1解：由已知： ， 所以 ，右准线4ac1e8

6、xl：过 作 ，垂足为 ，交椭圆于 ，故lQM显然 的最小值为 ，即MF2FA2AQ椭圆讲义与练习 2013 年初4 为所求点，因此 ，且 在椭圆上故 所以 M3My 32Mx32，说明：本题关键在于未知式 中的“2”的处理事实上，如图， ，FA 1e即 是 到右准线的距离的一半，即图中的 ，问题转化为求椭圆上一点 ，使FQM到 的距离与到右准线距离之和取最小值A变式练习：已知椭圆 内有一点 ， 、 分别是椭圆的左、右焦点，点1592yx)1,(AF2是椭圆上一点P(1) 求 的最大值、最小值及对应的点 坐标；1PFAP(2) 求 的最小值及对应的点 的坐标23分析：本题考查椭圆中的最值问题，

7、通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法二是数形结合，即几何方法本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解解：(1)如上图， ， ， ，设 是椭圆上任一点，由62a)0,(2F2AP， ，1PFP，等号仅当 时6221aA 2AFP成立，此时 、 、 共线2由 ， ，AFP 62221 aAFPP等号仅当 时成立，此时 、 、 共线2建立 、 的直线方程 ，解方程组 得两交点20yx4595,02yx椭圆讲义与练习 2013 年初5 、 )21457,9(1P )21457,9(P综上所述， 点与 重合时， 取最小值 ，

8、 点与 重合时，1FA6P2取最大值 2FA6(2)如下图，设 是椭圆上任一点，作 垂直椭圆右准线， 为垂足，由 ，PPQQ3a， 由椭圆第二定义知 ， ，2c3e 322eF23PF，要使其和最小需有 、 、 共线，即求 到右准线距AFP2 AA离右准线方程为 9x 到右准线距离为 此时 点纵坐标与 点纵坐标相同为 1，代入椭圆得满足条A27PA件的点 坐标 P)1,56(说明：求 的最小值，就是用第二定义转化后，过 向相应准线作垂线2Fe A段巧用焦点半径 与点准距 互化是解决有关问题的重要手段PQ例 5、设 是离心率为 的椭圆 上的一点， 到左焦点),(0yxPe12byax)0(baP

9、和右焦点 的距离分别为 和 ，求证： ， 并由此证明椭圆上1F21r201exr02exr的点到焦点距离最远和最近的点都在顶点。分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离椭圆讲义与练习 2013 年初6 解： 点到椭圆的左准线 的距离， ，Pcaxl2： caxPQ20由椭圆第二定义， ，eQF1 ，由椭圆第一定义， 01xaPer 012exar说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用请写出椭圆焦点在 轴上的焦半径公式y变式练习：（06 四川）如图，把椭圆 的长轴 AB 分成 8 分，

10、过每个分点作2156x轴的垂线交椭圆的上半部分于 , , 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1P27_ 127.PFF【解析】只需取椭圆的另一焦点与 , , 七个点分别连接，由结论 1 和对称127性可知： 127.453P例 6、 已知椭圆 ， 、 为两焦点，问能否在椭圆上找一点 ，使 到左134yxF2 M准线 的距离 是 与 的等比中项？若存在，则求出点 的坐标；若不存在，lMN1请说明理由解：假设 存在，设 ，由已知条件1yx，得， ， ， 2a3bc2e左准线 的方程是 ，l4x 又由焦半径公式知：14MN椭圆讲义与练习 2013 年初7 ， ，1112xeaMF1122xeaMF21

11、2MFN 整理得 1114x 048351解之得 或 151x另一方面 2则与矛盾，所以满足条件的点 不存在M说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算进而根据推理得到的结果，再作判断（3）本例也可设 存在，推出矛盾结论（读者自己完成） sin3co2，例 7、已知椭圆方程 ，长轴端点为 ， ，焦点为 ， ， 是椭012bayx 1A21F2P圆上一点， ， 求证： 的面积 .21PA1F21PFtanbS分析：求面积要结合余弦定理及定义求角 的两邻边，从而利用 求面积Csi21解：如图，设 ，由椭圆

12、的对称性，不妨设 ，由椭圆的对称性，不妨设yxP， yxP，在第一象限由余弦定理知： 21F2211F224cos由椭圆定义知： ，则 得 aP21 2 cos121bPF故 sin2211FSPF sinco12bta2总结区：焦点三角形的处理方法：变式训练： 已知 ， 是椭圆的两个焦点， 是椭圆上一点，且 12P6021PF(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证 的面积与椭圆短轴长有关21F分析：不失一般性，可以设椭圆方程为椭圆讲义与练习 2013 年初8 （ ） ， （ ） 12byax0a),(1yxP0思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即 ，316tan12PFK设 ，

13、， ，化简可得 又),(1yxP)0,(cF),(2 03221cyx，两方程联立消去 得 ，由 ，可以21ba1x0341212bcy,(1b确定离心率的取值范围；解出 可以求出 的面积，但这一过程很繁1y21FP思路二：利用焦半径公式 ， ，在 中运用余弦定理，exa1exa21FP求 ，再利用 ，可以确定离心率 的取值范围，将 代入椭圆方程中求 ，1x,1a 1y便可求出 的面积2FP思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合 求解aPF21解：(法 1)设椭圆方程为 （ ） ， ， ，2byax0a),(1yx)0,(c， ，则 ， )0,2cF11ePF1e在 中，由余弦定理得 ，21 )

14、(24)(60cos 112exacxa解得 (1) ，22134eacx,(221x ，即 20042ac1ace故椭圆离心率的取范围是 )1,e(2)将 代入 得 ，即 22134acx2byx2413cbcby321 即 的面积只与椭圆的短轴长有221321 cyFSPF 21FP关椭圆讲义与练习 2013 年初9 (法 2)设 ， ， ， ，mPF1n212FP21则 (1)在 中，由正弦定理得06sinisinc60siniscm ， ，am2i2i 2cossin60isn60ce21cos2当且仅当 时等号成立故椭圆离心率的取值范围是 )1,2e(2)在 中，由余弦定理得：21F

15、P60cos)(mnc mn2 mn3)(2 ， ，即 ana342 24)(3bca 即 的面积与椭圆短轴长有关260si21bSFP 21FP说明：椭圆上的一点 与两个焦点 ， 构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及12有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理解题中通过变形，使之出现的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关 ， 的关系式，使问21PF ac题找到解决思路例 8、设 F1、F 2 为椭圆 1 的两个焦点，P 为椭圆上的一点 .已知 P、F 1、F 2 是294xy一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|PF 2|,求 的值.12|F解:由题意 ，126PF125

16、F若 为直角，则 ，即221P221160PF椭圆讲义与练习 2013 年初10 得 ， ，故143PF2127PF若 为直角， ，即122121221106PF得 ， ，故1422PF注：该题易忽略 为直角，想当然的认为只是 为直角12 21题型三：椭圆的离心率问题例 9、 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率解： ， 32ca2ac3e说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求 ，求 ，再求比二是ac列含 和 的齐次方程，再化含 的方程，解方程即可e变式训练：设椭圆 的左、右焦点分别为 是椭圆上的一点，21(0)xyab12FA，原点 到直线 的距离为 求椭圆的离

17、心率21AFO1AF13O解：易得 ，从而有2ab2e例 10、 椭圆 与 轴正向交于点 ，若这个椭圆上总存在点12yx)0(baxA，使 ( 为坐标原点 )，求其离心率 的取值范围PAOe分析： 、 为定点， 为动点，可以 点坐标作为参数，把 ，转化为PPO点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于 、 、 的一个不等式，转化为abc关于 的不等式为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程e解：设椭圆的参数方程是 ，sincobyax)0(则椭圆上的点 ， ，),cos(aP,A ， ，AO1iia即 ，解得 或 ，0coss)( 222babacos2sba椭圆讲义与练习 2013 年初11

18、（舍去） ， ，又1cos1cos12ba22ca ， ，又 ， 20ae0ee变式训练：若已知椭圆离心率范围 ，求证在椭圆上总存在点 使 如)1,2( PAO何证明？选作思考：已知椭圆 ， 、 是其长轴的两个端点02bayxC： AB（1）过一个焦点 作垂直于长轴的弦 ，求证：不论 、 如何变化，FPab20APB（2）如果椭圆上存在一个点 ，使 ，求 的离心率 的取值范围Q120ABCe分析：本题从已知条件出发，两问都应从 和 的正切值出发做出估计，PQ因此要从点的坐标、斜率入手本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率 满e足的不等式，只能是椭圆的固有性质： ， ，根据 得到axb

19、y120AB，将 代入，消去 ，用 、 、 表示 ，以便利用322ayx 22bxxacy列出不等式这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成b解：（1）设 ， ， 0，cF，aA0，BbcPyxb222，于是 ， ackAPakBP 是 到 的角224221tncacabAB ，故 2ca2tnAPB3taP10APB椭圆讲义与练习 2013 年初12 （2）设 ，则 ， yxQ， axykQAaxykQB由于对称性，不妨设 ，于是 是 到 的角0A 2221tanayxayxB ， 0AQ322整理得 032ayyx . ， 22ba213b0y23caby ， . ，yc22ca224ca ，

20、0442ac 0324e 或 （舍） ， 32e216总结区：离心率的值或范围的求法（本质和通法）：题型四：弦中点问题例 11、 已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆与直线 交于 、 两点，x01yxAB为 中点， 的斜率为 0.25，椭圆的短轴长为 2，求椭圆的方程MABO解：由题意，设椭圆方程为 ，12ya由 ，得 ，102yax022x ， ，21aM 21ayM， ， 为所求42xykO24yx说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经椭圆讲义与练习 2013 年初13 常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题变式训练：椭圆 上不同三点 ，

21、 ， 与焦点1925yx1yxA， 594，B2yxC，的距离成等差数列 （1）求证 ；（2）若线段 的垂直平分线与 轴04，F81Ax的交点为 ，求直线 的斜率 TBk证明：（1）由椭圆方程知 ， ， 5a3b4c由圆锥曲线的统一定义知： ， xcAF12 1154xeaF同理 ，且 ，254xCFBC29 ，即 1821 821x（2）因为线段 的中点为 ，所以它的垂直平分线方程为：AC421y，2211xyy又点 在 轴上，设其坐标为 ，代入上式，得： Tx0， 2104xyx又点 ， 都在椭圆上，1yA， 2yB， ， 2159x259x21212159xxy将此式代入，并利用 的结论

22、得： 82136404509xkBT例 12、已知椭圆 ，求过点 且被 平分的弦所在的直线方程12y21，P分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为 ，利用条件求 kk解法一：设所求直线的斜率为 ，则直线方程为 代入椭圆方程，k21xy椭圆讲义与练习 2013 年初14 并整理得: 0231221kxkxk由韦达定理得 是弦中点， 故得 221P12x21k所以所求直线方程为 034yx分析二：设弦两端坐标为 、 ，列关于 、 、 、 的方程组，1， 2yx， 1x21y2从而求斜率： 21xy解法二：设过 的直线与椭圆交于 、 ，则由题意得，P1yxA， 2yxB，1.212121y

23、xyx， ，得 0212y将、代入得 ，即直线的斜率为 21x21所求直线方程为 034y变式训练：求过点（0，2）的直线被椭圆 x22y 22 所截弦的中点的轨迹方程.解：设直线方程为 y=kx+2，把它代入 x22y 22，整理得（2k 21）x 2+8kx+6=0.要使直线和椭圆有两个不同交点，则 0，即 k或 k .设直线与椭圆两个交点为 A（x 1，y 1） 、B（ x2，y 2） ，中点坐标为 C（x ，y） ，6则x ，y = +2 .21142k42k2kx= ，y= 12k消去 k 得 x22（y 1） 22 ，且x ，0y 2621从参数方程 （k 或 k ） ，椭圆讲义与

24、练习 2013 年初15 说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹（2）解法二是“点差法” ，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法” 有关二次曲线问题也适用总结区：点差法：题型五：参数方程问题（常用于最值）例 13、 设椭圆 ( 为参数)上一点 与 轴正向所成角 ，求.sin32,co4yxPx3POx点的坐标P分析：利用参数 与 之间的关系求解POx解：设 ，由 与 轴正向所成角为 ，)si,co4( x3 ，即 而 ， ，由此得到sn32ta2ta0si

25、ncos， ， 点坐标为 5cos5iP)514,(变式训练： (1)写出椭圆 的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积1492yx分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题解：(1) sin2co3yx)(R(2)设椭圆内接矩形面积为 ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于 轴和 轴，设Sxy为矩形在第一象限的顶点， ，)si,co3( )20(则 12sini24S故椭圆内接矩形的最大面积为 12说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便题型六：

26、定值、最值问题例 14、求椭圆 上的点到直线 的距离的最小值132yx06yx分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值椭圆讲义与练习 2013 年初16 解：椭圆的参数方程为 设椭圆上的点的坐标为 ，则点.sinco3yx， sinco3，到直线的距离为 当 时， 263si26icd 13si2最 小 值d说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程变式训练：设椭圆的中心是坐标原点，长轴在 轴上，离心率 ，已知点x23e到这个椭圆上的点的最远距离是 ，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点 的230，P7P距离等于 的点的坐标7分析：本题考查椭

27、圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求 的最大d值时，要注意讨论 的取值范围此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，b要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是 ，其中 待定12byax0ba由 可得： ，即 2221bace 2432e设椭圆上的点 到点 的距离是 ，则yx， Pd49312322 ybad，其中 49422 yyb by如果 ，则当 时， （从而 ）有最大值1b2d由题设得 ，由此得 ，与 矛盾2372137b因此必有 成立，于是当 时， （从而 ）有最大

28、值1b21yd椭圆讲义与练习 2013 年初17 由题设得 ，可得 ， 所求椭圆方程是 3472b12a142yx由 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点 ，点 到点1y 13， 23，的距离是 230，P7解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是 ，其中 ，待定，sincobyax0ba， 为参数由 可得202221abace，即 14312eab设椭圆上的点 到点 的距离为 ，则yx， 20，Pd222 3sinco3bad 49sin3si42bb，如果 ，即 ，则当 时，41sin22b11i（从而 ）有最大值由题设得 ，由此得 ，与2d2237b237b矛盾，因此必有 成立于是当 时

29、（从而 ）有最大值由题1b12b1sin2d设知 ， ， 所求椭圆的参数方程是 34722asincoyx由 ， ，可得椭圆上的是 ， 21sincos213， ，例 15、设 ， ， ，求 的最大值和最小值xRyxyx632xy2分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程 与椭圆方程的结构一632致设 ，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置mxy22椭圆讲义与练习 2013 年初18 关系求得最值解：由 ，得xyx63221249可见它表示一个椭圆，其中心在 点，焦点在 轴上，且过（0，0）点和03， x（3，0）点设 ，则 mxy22112myx它表示一个圆，其圆心为（1，

30、0）半径为 在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即 ，此时 ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即 ，1 41m 15m 的最小值为 0，最大值为 15xy22变式训练：关于 的不等式 恒成立，求参数 的范围.x1912axa解：利用数形结合。例 16、以椭圆 的焦点为焦点，过直线 上一点 作椭圆，要使312y 09yxl： M所作椭圆的长轴最短，点 应在何处？并求出此时的椭圆方程M分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决解：如图所示，椭圆

31、 的焦点为 ， 132yx031，F2，点 关于直线 的对称点 的坐标为（9，6） ，直线 的方程为1F09l： 2F椭圆讲义与练习 2013 年初19 032yx解方程组 得交点 的坐标为（5，4） 此时 最小9032yxM21MF所求椭圆的长轴： ， ，又 ，5621Fa3ac 因此，所求椭圆的方程为 365222cb 1642yx例 17、椭圆 上有两点 P、Q， 是原点，若 OP、OQ 斜率之积为 。146yxO4（1）求证：|OP| 2+|OQ|2 为定值。 （2）求 PQ 的中点 M 的轨迹方程。解：（1）设 P、Q 的两点坐标分别为 、Q ,P、Q 分别在椭圆上，且1,yx2,y

32、，41OQPK.41,6,42121xyyx 3.2,16122xy得214,6621221xy（3）代入（4）得 ， （1）+（2）得x 4182xy。2OQP01yy（2）设 P、Q 的中点 M 的坐标为 M ，则有 ， ，x,x21y21（1）+（2）+（3） 得 ，2214yy3x。4xy即： ， 中点 M 的轨迹方程为32162x182yPQ128yx例 18、椭圆 分别是椭圆 ： + =1（ ）的左、右焦点，以 为直21FC2axb0ba21F径的圆和椭圆恒有四个交点，求 的范围.椭圆讲义与练习 2013 年初20 变式训练：（1）求其离心率的范围；（2）若焦点为两个，零个，分别求离心率的范围；（3）从椭圆上的点看 的视角张角问题。21F