1、轴对称及“将军饮马”问题知识点睛轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形这条直线就是它的对称轴这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称如下图， 是轴对称图形ABC两个图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点如下图， 与 关于直线 对称， 叫做对称轴 和 ， 和 ， 和 是对称点ABCllABC轴对称图形和两个图形轴对称的区别和联系：对称轴的性质：对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段即：如果两个图形
2、关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线如图，直线 经过线段 的中点 ，并且垂直于线段 ，则直线 就是线段 的垂直平分线lABOABlAB线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等轴对称图形 两个图形轴对称图形的个数 1 个图形 2 个图形区别 对称轴的条数一条或多条 只有 1 条联系 二者都的关于对称轴对称的如图，点 是线段 垂直平分线上的点，则 PABPAB线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点
3、距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上成轴对称的两个图形的对称轴的画法：如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴成轴对称的两个图形的主要性质：成轴对称的两个图形全等如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线轴对称变换的方法应用：轴对称变换是通过作图形关于一直线的对称图形的手段，把图形中的某一图形对称地移动到一个新的位置上，使图形中的分散条件和结论有机地联系起来常用的辅助线有角平分线条件时的各种辅助线，本质上都是对称变换的思想轴对称变换应用时有下面两
4、种情况：图形中有轴对称图形条件时，可考虑用此变换；图形中有垂线条件时，可考虑用此变换重、难点重点：理解轴对称的概念，并且熟悉掌握轴对称的性质以及作图，同时理解轴对称变换的概念，能很好的做出轴对称变换的图形，并能很好的利用轴对称的知识来解决题目 难点：运用轴对称变换来解决实际题目，以及轴对称的生活中的实际运用例题精讲板块一、轴对称与轴对称图形的认识【例 1】 下列” 表情”中属于轴对称图形的是( )QA B C D【解析】 C【巩固】(08 年广东省)下列图形中是轴对称图形的是 ( )【解析】 C 【例 2】 (09 湖南株洲)下列四个图形中，不是轴对称图形的是( )A B C D【解析】 【巩
5、固】(2004 泸州)下列各种图形不是轴对称图形的是( )【解析】 C【巩固】(2003 吉林)下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由答：图形_；理由是_【解析】 ;四个图形中，只有图不是轴对称图形【例 3】 如图，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称【解析】 轴对称图形：1，3，4，6，8，10成轴对称的图形有：2，5，7，9【例 4】 (09 黑龙江哈尔滨)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )【解析】 D【巩固】(2004 北京)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A等腰三角形
6、 B等腰梯形C正方形 D平行四边形【解析】 C【例 5】 (2003 四川)我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下列我国四大银行的商标图案中是轴对称图形而不是中心对称图形的是( )【解析】 C【例 6】 (2003 北京市海淀区)羊年话”羊”字象征着美好和吉祥， 下列图案都与”羊”字有关，其中是轴对称图形的个数是( )A1； B2； B3； D4【解析】 B【巩固】(08 山东省青岛市)下列图形中，轴对称图形的个数是( )A B C D1234如图所示的图案是我国几家银行标志，其中轴对称图形有( )A 个 B 个 C 个 D 个4【解析】 B； 【例 7】 (上海)正六边形
7、是轴对称图形，它有 条对称轴【解析】 点拨：可以画出例图进行分析，明确正 边形有 条对称轴6 n【巩固】(2003 河北省)下列图案中，有且只有三条对称轴的是( )【解析】 D 【巩固】(08 苏州)下列图形中，轴对称图形的是下列图形中对称轴最多的是( )A圆 B正方形 C等腰三角形 D线段【解析】 D； 【例 8】 作出下图所示的图形的对称轴：【解析】 答案见右上图【巩固】作出下图所示的成轴对称图形的对称轴：【解析】 答案见右上图【例 9】 求作线段 的垂直平分线AB BA【解析】 略【例 10】 已知：如图， 及两点 、 求作：点 ，使得 ，且 点到 两边所在ACMNPMPNABC的直线的
8、距离相等NM CBA【解析】 因为是两边所在的直线，所以有两个答案答案一： 内角平分线与线段 的垂直平分线的交点ABCMN PNM CBA答案二： 外角平分线与线段 的垂直平分线的交点ABCMNCPBANM【例 11】 (2003 长沙)如图，请根据小文在镜中的像写出他的运动衣上的实际号码：_ 【解析】 108【例 12】 (2004 河南)如图，直线 是四边形 的对称轴，若 ，有下面的结论：lABCDABCD ，其中正确的结论有_ ABCD BO l ODCBA【解析】 【巩固】(2003 安徽)如图， 是四边形 的对称轴，如果 ，有下列结论： lABCDADBC ACD 其中正确的结论是
9、_( 把你认为正确的结论的序号都ABCO填上) lO DCBA【解析】 、【例 13】 (2003 南宁市)尺规：把右图(实线部分)补成以虚线 L 为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案(不用写作法、保留作图痕迹)【解析】 答案见右上图板块二、轴对称的应用【例 14】 如图， 和 关于直线 对称，且 ， ，求 的度数和 的ABCl90B6cmABA长LCBACBA【解析】 和 关于直线 成轴对称Al ， ；又 ，BAB906cmAB ， 906cm【例 15】 如图，有一块三角形田地， ，作 的垂直平分线 交 于 ，交 于10cCEDACB，量得 的周长为 ，请你替测量人员计算 的长
10、EBDC17B【解析】 垂直平分 ，EDABDAB ， 17mBC17mC ，0 【巩固】如图， 中， 边的垂直平分线 交 于 ，交 于 ， 厘米， 的周长ABDEBACE5BBCE是 18 厘米，则 等于多少厘米？C ED CBA【解析】 垂直平分E ，C 的周长为BEC18cm c【例 16】 如图，已知 ， 为 的垂直平分线，求 的度数40AOBCDOAACB ODC BA【解析】 垂直平分 A 40 80ACBO【例 17】 (2004 陕西)已知：如图，在 中， ， ， 平行于 轴，点 ABC2120ABCxB的坐标是 3,1画出 关于 轴对称的 ；ABCy求以点 、 、 、 为顶点
11、的四边形的面积【解析】 画图正确过 点作 ，交 的延长线于点 ，则ADBCD，18060在 中，RtBDABcosABD 2 1ADABsin ABD =2 3又知点 B 的坐标为(-3，1)可得点 A 的坐标为 4， 轴， 轴 yyABAB 与 不平行以点 为顶点的四边形是等腰梯形B， ， ，由点 A、B 的坐标可求得248236，梯形 的面积 (AA+BB)AD (8+6) =7 1123板块三、轴对称在几何最值问题中的应用【例 18】 已知点 在直线 外，点 为直线 上的一个动点，探究是否存在一个定点 ，当点 在直线AlPl BP上运动时，点 与 、 两点的距离总相等，如果存在，请作出定
12、点 ；若不存在，请说明理l B由【解析】 点 与点 重合，或者点 是点 关于直线 的对称点BABAl【例 19】 如图，在公路 的同旁有两个仓库 、 ，现需要建一货物中转站，要求到 、 两仓库的距aBAB离和最短，这个中转站 应建在公路旁的哪个位置比较合理？MaBA【解析】 答案见右上图【巩固】若此题改成，在 上找到 、 两点，且 ， 在 的左边，使四边形 的周长最aMN10MNABMN短aBABNMBAaB【解析】 见右上图【例 20】 (”五羊杯”邀请赛试题)如图， ，角内有点 ，在角的两边有两点 、 (均不同45AOPQR于 点)，求作 、 ，使得 的周长的最小OQRP PO BARQP
13、O BA【解析】 见右上图【巩固】如图， 、 为 的边 、 上的两个定点，在 上求一点 ，使 的周长最短MNACABPMNNMCBA【解析】 见右上图【例 21】 (2000 年全国数学联赛)如图，设正 的边长为 2， 是 边上的中点， 是 边上的ABCMABPBC任意一点， 的最大值和最小值分别记为 和 求 的值PAMst2st MP CBAMMP CBA【解析】 作点 关于 的对称点 ，连接 、 A由点 、 关于 对称可知， BP故 AM当且仅当 、 、 共线时，等号成立，故 22()7t另外两个临界位置在点 和点 处C当点 位于点 处时， ；P 3A当点 位于点 处时， BPMB故 ，
14、22(3)74s24st本题也可作点 关于 的对称点 ，连接 、 AP【例 22】 已知如图，点 在锐角 的内部，在 边上求作一点 ，使点 到点 的距离与点OBBPM到 的边的距离和最小POAPMMOBAMOBA【解析】 见右上图【例 23】 已知： 、 两点在直线 的同侧， 在 上求作一点 ，使得 最小All|ABM【解析】 见右上图【巩固】已知： 、 两点在直线 的同侧，在 上求作一点 ，使得 最大ABllM|BA【解析】 见右上图【例 24】 (07 年三帆中学期中试题)如图，正方形 中， ， 是 上的一点，且 ，ABCD8MDC2DM是 上的一动点，求 的最小值与最大值NACDNM N
15、MDCBANMDCBA【解析】 找点 关于 的对称点，DA由正方形的性质可知， 就是点 关于 的对称点，BDA连接 、 ，由 可知，BNMDNBM当且仅当 、 、 三点共线时， 的值最小，该最小值为 26810当点 在 上移动时，有三个特殊的位置我们要考察：AC与 的交点，即 取最小值时；当点 位于点 时， ；8217A当点 位于点 时， 故 的最大值为 N64NCDNM8217【巩固】例题中的条件不变，求 的最小值与最大值DM【解析】 当 时， 有最小值为 0，此时点 位于 的垂直平分线与 的交点处DM AC，当点 与点 重合时，等号成立，此时有最大值 22【巩固】(黑龙江省中考题)如图，已
16、知正方形 的边长为 8， 在 上，且 ， 是 上的ABCDMDN一个动点，则 的最小值是 N MDCBA【解析】 连接 交 于 ，此点即为所求所以根据勾股定理， AN 10DNM【例 25】 (2004 郸县改编)某供电部门准备在输电主干线 上连接一个分支线路同时向新落成的 、 两l AB个居民小区送电，分支点为 ，已知居民小区 、 到主干线 的距离分别为 千米，MABl12千米，且 千米12B14AB 居民小区 、 在主干线 的两旁如图所示，那么分支点 在什么地方时总线路最短？最短l线路的长度是多少千米？ 如果居民小区 、 在主干线 的同旁，如图所示，那么分支点 在什么地方时总线路最短？M此
17、时分支点 与 距离多少千米？1l(1)ABA1B1l(2)ABA1B1MlA1ABB1MlABA1B1B2【解析】 连结 ， 与 的交点就是所求的分支点 ，分支点开在此处总线路最短，Bl如图，因为 ， 119011BA所以 1所以 2AM由勾股定理，得 ， ，所以分支点 在线段 上距 点2B42MM1AB千米处，最短线段的长度为 千米；4 如图，作 点关于直线 的对称点 ，连结 交直线 于点 ，此处即为分支点，由图可知，l22ABl的长度为 千米12点拨：在解本题时，应注意线段最短，在第问中也可以先画 A 点的对称点 A2【例 26】 (09 山东临沂)如图， ， 是公路 ( 为东西走向)两旁
18、的两个村庄， 村到公路 的距离ABl l， 村到公路 的距离 ， 村在 村的南偏东 方向上1kmACBl2kmDB45 求出 ， 两村之间的距离； 为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站 ，要求该站到两村的距离相等，请用尺P规在图中作出点 的位置(保留清晰的作图痕迹，简明书写作法)P北东BACDlBACD lNMOP【解析】 方法一：设 与 的交点为 ，根据题意可得 ACDO45A 和 都是等腰直角三角形O ， 22B 两村的距离为， 232kmB方法二：过点 作直线 的平行线交 的延长线于 易证四边形 是矩形， lCECDBE CE在 中，由 ，可得 RtA45EA32kmB 两村的
19、距离为 AB， 32km 作图正确，痕迹清晰作法： 分别以点 为圆心，以大于 的长为半径作弧，AB， 12AB两弧交于两点 ， ，作直线 ；MN直线 交 于点 ，点 即为所求lP家庭作业【习题 1】 (08 苏州)下列图形中，轴对称图形的是【解析】 D【习题 2】 (09 湖南株洲)下列四个图形中，不是轴对称图形的是( )A B C D(08 山东烟台)下列交通标志中，不是轴对称图形的是( )(08 年广东省)下列图形中是轴对称图形的是 ( )【解析】 ； ； 【习题 3】 如图， 中， ， 为 的平分线， ， 是 的中点，求 的度ABC90BDACDEBCC数ED CBA【解析】 平分B E
20、 垂直平分 ，CB AD 90 30E【习题 4】 (四川省竞赛题)如图，在等腰 中， ， 的 上一点，满足 ，在斜边RtABC3BEC2BE上求作一点 使得 长度之和最小ABP P EEC BAEPC BA【解析】 见右上图【习题 5】 在正方形 中， 在 上， ， ， 在 上，求 和 的长度之和的最小ABCDE2B1CEPBDPEC值EPDCBAEEPDCBA【解析】 当 、 、 三点共线时， 有最小值 PP13备选【备选 1】(2004 天津)在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )【解析】 C【备选 2】判断下列图形(图)是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴 【解析】 是轴对称图形的有：，；分别有 条， 条， 条， 条， 条对称轴1412【备选 3】(2008 年荆门市中考题 )如图，菱形 的两条对角线分别长 6 和 8，点 、 分别是变 、ABCDMNAB的中点，在对角线 求作一点 使得 的值最小BCPMNPNM D CBANAB CDM NP【解析】 见右上图
