1、数论 （导引五、六年级 共计 45 页）数论问题第 1 讲 整除1、内容概述：掌握整除的概念和基本性质，掌握能被某些特殊数整除的数的特征，通过分析整除特征解决数的填补问题，以及多位数的构成问题等。2、典型例题（一）兴趣篇1. 下面有 9 个自然数:14，35，80，152，650，434，4375，9064，24125.在这些自然数中，请问：(1)有哪些数能被 2 整除？哪些能被 4 整除？哪些能被 8 整除？(2)有哪些数能被 5 整除？哪些能被 25 整除？哪些能被 125 整除？2. 有如下 9 个三位数：452，387，228，975，525，882，715，775，837.这些数中哪
2、些能被 3 整除？哪些能被 9 整除？哪些能同时被 2 和 3 整除？3. 有如下 4 个自然数：2695，1804，1963，23205.这些数中哪些能被 11 整除？哪些能被 7 整除？哪些能被 13 整除？4. 一个三位数的十位数字未知，请分别根据下列要求找出“”中合适的取值：(1) 如果要求这个三位数能被 3 整除， “”可能等于多少？(2) 如果要求这个三位数能被 4 整除， “”可能等于多少？(3) 这个三位数有没有可能同时被 3 和 4 整除？如果有可能， “”可能等于多少？5. 四位数能被 11 整除，求出所有满足要求的四位数.6. 新学年开学了，同学们要改穿新的校服，萱萱收了
3、 9 位同学的校服费（每人交的钱一样多）交给老师.老师给了萱萱一张纸条，上面写着“交来校服费元” ，其中有一滴墨水，把方格处的数字污染得看不清了.墨莫看了看，很快就算出了方格处的数字.聪明的读者们，你们能算出这个数字是多少吗？7. 四位数能同时被 3 和 5 整除，求出所有满足要求的四位数.8. 四位偶数能被 11 整除，求出所有满足要求的四位数.9. 一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话.服务人员告诉他，目前只有形如“123468”的号码可以申请.也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动.王经理打算申请一个同时能被 8 和 11 整除的号码.请问：他申请
4、的号码可能是多少？10. 一个各位数字各不相同的四位数能被 9 整除，把它的个位数字去掉后剩下一个三位数，这个三位数能被 4 整除.这个四位数最大是多少?（二）拓展篇1. 判断下面 11 个数的整除性：23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，864，407.（1）这些数中，有哪些数能被 4 整除？哪些数能被 8 整除？（2）哪些数能被 25 整除？哪些数能被 125 整除？（3）哪些数能被 3 整除？哪些数能被 9 整除？（4）哪些数能被 11 整除？2. 是一个四位数.数学老师说：“我在其中的方框内先后填入 3 个数字，得到 3 个四
5、位数，依次能被 9，11，8 整除.”问：数学老师在方框中先后填入的 3 个数字之和是多少？3. 多位数能被 11 整除，满足条件的 n 最小是多少？4. 五位数能同时被 11 和 25 整除，这个五位数是多少？5. 牛叔叔给 45 名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上.但是记账的那张纸被香烟烧了两个洞，上面只剩下“ ”，其中方框表示被烧出的洞.牛叔叔记得每名678工人的工资都一样，并且都是整数元.请问：这 45 名工人的总工资有可能是多少元呢？6. 六位数能同时被 9 和 11 整除，这个六位数是多少？7. 请从 1，2，3，4，5，6，7 这 7 个数字中选出 5 个组成一个五位数，使它
6、是99 的倍数.这个五位数最大是多少？8. 卡莉娅写了一个两位数 59，墨莫写了一个两位数 89，他们让小高写一个一位数放在 59 和 89 之间拼成一个五位数，使得这个五位数能被 7 整除.请问：小高写的数是多少？9. 已知 51 位数能被 13 整除，中间方格内的数字是多少?10. （1）一个多位数（两位及两位以上） ，它的各位数字互不相同，并且含有数字0.如果它能被 11 整除，那么这个多位数最小是多少？（2）一个多位数，它的各位数字之和为 13，如果它能被 11 整除，那么这个多位数最少是多少？11. 用数字 6，7，8 各两个，要组成能同时被 6，7，8 整除的六位数.请写出一个满足
7、要求的六位数.12. 墨莫和小高玩一个数字游戏.墨莫先将一个三位数的百位和个位填好，然后小高来填写这个三位数的十位.如果最后这个三位数能被 11 整除，那么小高获胜，否则墨莫获胜.墨莫想了一会，想到了一个必胜的办法.请问：墨莫想到的办法是什么？13. 对于一个自然数 N，如果具有以下的性质就称为“破坏数”：把它添加到任何一个自然数的右端，形成的新数都不能被 整除.请问：一共有多少个不大于 101的破坏数？14. 一个五位数，它的末三位为 999.如果这个数能被 23 整除，那么这个五位数最小是多少？（三）超越篇1. 在所有各位数字互不相同的五位数中，能被 45 整除的数最小是多少？2. 将自然
8、数 1，2，3，依次写下去形成一个多位数“123 456 789 101 112 ”.当写到某个数 N 时，所形成的多位数恰好第一次能被 90 整除.请问：N 是多少？3. 萱萱的爸爸买回来两箱杯子，两个箱子上各贴有一张价签，分别写着“总价117.元” 、 “总价 127.元” （，四个数字已辨认不清，但是它们互不相同）.爸爸告诉萱萱，其中一箱装了 99 只 A 型杯子，另一箱装了 75 只 B 型杯子，每只杯子的价格都是整数分.但是爸爸记不清每个价签具体是多少钱，也记不得哪个箱子装的是 A 型杯子，哪个箱子装的是 B 型杯子了.爸爸知道萱萱的数学水平很厉害，于是他想考考萱萱.萱萱看了看，说：
9、“这可难不倒我，我刚好学了一些复杂的整数性质，这下可以派上用场了.”同学们，你能像萱萱一样把价签上的数分辨出来吗？4. 小高在一张纸条上依次写上了 2，3，4，5，6，7 这六个数字，形成了一个六位数.卡莉娅把这张纸条撕成了三节，这三张纸条上的数加起来得到的和（如图，三节纸条上的和为 ）能被 55 整除.请问：卡莉娅可能是在什么位置撕2345678断的这张纸？5. 将一个自然数 N 接在任一自然数右面（例如将 2 接在 13 的右面的到 132） ，如果所得的新数都能被 N 整除，那么称 N 为“神奇数”. 请求出所有的两位“神奇数”.6. 在六位数中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被 1
10、7 和 19 整除.方框中的两位数是多少？7. 多位数 A 由数字 1，3，5，7，9 组成，每个数字都可以重复出现但至少出现一次，而且 A 可以被 A 中的任意一个数字整除.求这样的 A 的最小值.8. 有一些自然数，从左向右读与从右向左读是完全一样的，我们将这样的数称作“回文数”.比如 2332，181，77 都是回文数.如果一个六位回文数除以 95 的商也是回文数，那么这个六位数是多少？数论问题第 2 讲 质数与合数一、 内容概述：掌握质数与合数的概念;熟悉常用的质数，并掌握质数的判定方法；能够利用分解质因数的方法解决相关的整数问题;学会计算乘积末尾零的个数.二、 典型问题:（一）兴趣篇
11、1. 写出 50 以内所有的质数.2. （1）如果两个质数相加等于 16，这两个质数有可能等于多少？（2）如果两个质数相加等于 25，这两个质数有可能等于多少？（3）如果两个质数相加等于 29，这样的两个质数存在吗？3. 有人说：“任何 7 个连续整数中一定有质数.”请你举一个例子，说明这句话是错的.4. 请写出 5 个质数，使得它们正好构成一个公差为 12 的等差数列.5. 请把下面的数分解质因数：（1）160；（2）598；（3）211.6. 三个自然数的乘积为 84，其中两个数的和正好等于第三个数.请求出这三个数.7. 用一个两位数除 330，结果正好能整除.请写出所有可能的两位数.8.
12、 两个连续自然数的乘积是 1190，这两个数中较小的是多少?9. 请将 2,5,14,24,27,55,56,99 这 8 个数分成两组，使得这两组数的乘积相等.10. 请问：算式的计算结果的末尾有几个连续的 0？（二）拓展篇1. 一个两位质数的两个数字交换位置后，仍然是一个质数，请写出所有这样的质数.2. 9 个连续的自然数中，最多有多少个质数？3. （1）两个质数的和是 39，这两个质数的差多少？（2）三个互不相同的质数相加，和为 40，这三个质数分别是多少？4. 请把下面的数分解质因数：（1）360；（2）539；（3）373；（4）12660.5. 有一些最简真分数，它们的分子与分母的
13、乘积都等于 140，把所有的这样的分数从小到大排列，其中第三个分数是多少？6. 小高在做一道计算两位数乘以两位数的乘法题时，把一个乘数中的数字 5 看成了 8，由此得乘积为 1104，正确的乘积是多少？7. 三个连续自然数的乘积等于 39270.这三个连续自然数的和等于多少？8. 甲、乙、丙三人打靶，每人打三枪.三人各自中靶的环数之积都是 60，且环数是不超过 10 的自然数.把三个人按个人总环数由高到低排列，依次是甲、乙、丙.请问：靶子上 4 环的那一枪是谁打的？9. ，要使这个连乘积的最后 4 个数字都是 0.方框内最小应填9753什么数？10. （1）算式 的计算结果的末尾有几个连续的
14、0？12 （2）算式 的计算结果的末尾有几个连续的 0?3 11. 请问：两个连续两位数乘积的末尾最多有几个连续的 0？12. 把从 1 开始的若干连续的自然数 1，2，3，乘到一起.已知这个乘积的末尾 13位恰好都是 0.请问：在相乘时最后出现的自然数最小应该是多少？13. 168 乘以一个大于 0 的整数后正好是一个平方数.乘的这个整数至少是多少？所得乘积又是多少的平方？14. （1）60 乘以一个三位数后，正好得到一个平方数.这个三位数至少是多少？（2）72 乘以一个三位数后，正好得到一个立方数.这样的三位数一共有多少个？（三）超越篇1. 如图，三张卡片上各印有一个数字.从这三张卡片中选
15、取一张或多张（每张最多选1 次）拼成质数，一共可以拼成多少个不同的质数？2. 用 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 9 个数字组成若干质数，要求每个数字恰好使用一次.请问：最多能组成多少个质数？请找出一种满足要求的组法.3. 三个质数的乘积恰好等于它们和的 5 倍，这三个质数分别是多少?4. 在射箭运动中，每射一箭得到的环数都是不超过 10 的自然数.甲、乙两名运动员各射了 5 箭，每人 5 箭得到的环数的积都是 1764，但是甲的总环数比乙少 4 环.求甲、乙各自的总环数.5. 两名运动员进行一场乒乓球比赛，采取三局两胜制.每局先得 11 分者为胜，如果打到 10 平，则先多得 2 分
16、者为胜.结果三局比赛下来，单方最高得分都不超过 20分，把每人每局得分乘在一起恰为 480480.请问：各局比分分别是多少？（按大比小的方式写出）6. 如图，把 13，12，15，25，20 这 5 个数依次排列.它们每相邻的两个数相乘得 4 个数，这 4 个数每相邻的两个数相乘得 3 个数，这 3 个数每相邻的两个数相乘得 2 个数，这2 个数每相邻的两个数相乘得 1 个数.请问：最后这个数从个位起向左数，可以连续地数出几个 0？7. 从 1!，2!，3!，100! 这 100 个数中去掉一个数，使得剩下各数的乘积是一个完全平方数.请问：被去掉的那个数是什么？8. 8.已知对任意正整数 n，
17、都有公式：,求分数2216n 化成最简分数后的分母.222()(13)(10)0! 数论问题第 3 讲 约数与倍数一、内容概述：掌握约数与倍数的概念;学会约数个数与约数和的计算方法；掌握最大公约数、最小公倍数的常用计算方法;能够利用最大公约数与最小公倍数的性质解决相关的整数问题.二、典型问题:（一）兴趣篇1. （1）请写出 4 个 24 的约数；（2）请写出 4 个 24 的倍数；（3）请写出 24 的所有约数.2. （1）请写出 105 的所有约数；（2）请写出 72 的所有约数.3. （1）20000 的约数有多少个？（2）720 的约数有多少个？4. 计算：（1） （28，72） ，28
18、，72 ；（2） （28，44 ，260） ，28，44，260.5. 两个数的差是 6，它们的最大公约数可能是多少?6. （1）求 1085 和 1178 的最大公约数和最小公倍数；（2）求 3553,3910 和 1411 的最大公约数.7. 教师节到了，校工会买了 320 个苹果、240 个橘子、200 个香蕉来慰问退休老职工.请问：用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、橘子、香蕉各有多少个？8. 一块长方形草地，长 120 米，宽 90 米.现在在它的四周种树，要求四个角和各边中点都种树，且相邻两棵树之间的距离都相等.请问：最少要种多少棵树？9. 甲数和乙数的最大
19、公约数是 6，最小公倍数是 90.如果甲数是 18，那么乙数是多少？10. 墨莫和小高在黑板上各写了一个自然数，它们的最大公约数是 42，最小公倍数是168.那么这两个数的和是多少？（二）拓展篇1. 72 共有多少个约数？其中有多少个约数是 3 的倍数？2. 5400 共有多少个约数?求出所有约数乘积的质因数分解形式.3. 有甲、乙两个数，它们的最小公倍数是甲数的 27 倍.已知甲数是2，4，6，8，10，12，14，16 的倍数，但不是 18 的倍数；乙数是两位数.乙数是多少？4. 两数乘积为 2800，已知其中一个数的约数个数比另一个数的约数个数多 1.这两个数分别是多少？5. 计算：（1
20、） （391，357） ，391，357 ；（2） （18 ，24，36） ，18，24，36.6. 1547，1573，1859 这三个数的最大公约数是多少？最小公倍数是多少？7. 张阿姨把 225 个苹果、350 个梨和 150 个橘子平均分给小朋友们，最后剩下 9 个苹果、26 个梨和 6 个橘子没分出去.请问：每个小朋友分了多少个苹果？8. 一个数和 16 的最大公约数是 8，最小公倍数是 80.这个数是多少？9. 两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是 18，最小公倍数是 216.这两个数分别是多少？10. 两个数的最大公约数是 6，最小公倍数是 420，如果这两个数相差 18，
21、那么较小的数是多少？11. 卡莉娅、小高、萱萱在黑板上各写了一个自然数，这三个自然数的最大公约数是 35，最小公倍数是 70.这三个数的和可能是多少？12. 有 4 个不同的正整数，它们的和是 1111.请问：它们的最大公约数最大能是多少?13. 甲、乙两个数的最小公倍数是 90，乙、丙两个数的最小公倍数是 105，甲、丙两个数的最小公倍数是 126.请问：甲数是多少？14. 甲、乙是两个不同的自然数.它们都只含有质因数 2 和 3，并且都有 12 个约数.它们的最大公约数是 12.请问：甲、乙两数之和是多少？（三）超越篇1. 360 共有多少个奇约数？所有这些奇约数的和是多少？2. 求出所有
22、恰好含 10 个约数的两位数，并求出每个数的所有约数之和.3. 已知 a 与 b 的最大公约数是 4，a 与 c，b 与 c 的最小公倍数都是 100，而且ab.满足条件的自然数 a、 b、 c 共有多少组？4. 所有 70 的倍数中，共有多少个数恰有 70 个约数？5. 自然数 n 是 1，2，3，10 的公倍数，而且它恰有 72 个约数.n 的最小值是多少？6. 三条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处.里圈跑道长 千米，中圈跑道长15千米，外圈跑道长 千米.甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑.开1438始时，三人都在旗杆的正东方向，甲每小时跑 千米，乙每小时跑 4 千米，丙每
23、小132时跑 5 千米.他们同时出发，请问：几小时后，三人第一次同时回到出发点？7. 如图，在一个 600600 的方格表 ABCD 中，将 A 与线段 CD 上除端点外的所有格点， ， ，,分别相连，得到 599 条线段.请问，在这些线段中：（1）不会与其他格点相交的线段共有多少条？（2）经过格点最多的线段共经过多少个格点（不包括它的端点）？（3）除去端点，还恰好经过 29 个格点的线段有多少条？8. 有些自然数等于自身约数个数的平方，例如 1 和 9 都具有此性质.请问：是否还有其他自然数具有此性质？如果有，请举例；如果没有，请说明理由.数论问题第 4 讲 余数一、内容概述：掌握余数的概念
24、与基本性质，掌握除以某些特殊数的余数的计算方法.学会利用余数的可加性、可减性和可乘性计算余数;学会运用周期性处理各类余数的计算问题；学会求解“物不知数”问题.二、 典型问题:（一）兴趣篇1. 72 除以一个数，余数是 7.商可能是多少？2. 97 与 79 除以一个数的余数都是 7，那么这个数可能是多少？3. 100 和 84 除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为 0.这个除数可能是多少？4. 20 080 808 除以 9 的余数是多少？除以 8 和 25 的余数分别是多少？除以 11 的余数是多少？5. （1） 除以 5 的余数是多少？（2） 除以 9 的3517935791357余数
25、是多少？6. 4 个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为 101，126，173，193.规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以 3 所得的余数.请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？7. 某工厂有 128 名工人生产零件，他们每个月工作 23 天，在工作期间每人每天可以生产 300 个零件.月底将这些零件按 17 个一包的规格打包，最后发现一包不够 17 个.请问：最后一包有多少个零件？8. （1） 除以 7 的余数是多少？（2） 除以 11 的余数是多少？（3）20 14除以 13 的余数是多少？289. 一个三位数除以 21 余 17，除以 20 也余 17.这个数最小是多少？10
26、. 有一个数，除以 3 的余数是 2，除以 4 的余数是 1.请问：这个数除以 12 余数是几？（二）拓展篇1. 1111 除以一个两位数，余数是 66.求这个两位数.2. （1） 除以 4 和 125 的余数分别是多少？214个（2） 除以 9 和 11 的余数分别是多少？2180个3. 一年有 365 天，轮船制造厂每天都可以生产零件 1234 个.年终将这些零件按 19 个一包的规格打包，最后一包不够 19 个.请问：最后一包有多少个零件？4. 自然数 的个位数字是多少？6721 个5. 算式 计算结果的个位数字是多少？207207207136 6. 除以 5 的余数是多少？1088 个
27、7. 一个自然数除以 49 余 23，除以 48 也余 23.这个自然数被 14 除的余数是多少？8. 一个自然数除以 19 余 9，除以 23 余 7.这个自然数最小是多少？9. 刘叔叔养了 400 多只兔子.如果每 3 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有 2 只; 如果每 5 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有 4 只; 如果每 7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有 5 只.请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？10. 100 多名小朋友站成一列.从第一人开始依次按 1，2，3，11 的顺序循环报数，最后一名同学报的数是 9；如果按 1，2，3，13 的顺序循环报数，那么
28、最后一名同学报的数是 11.请问：一共有多少名小朋友？11. 除以 99 的余数是多少？123个12. 把 63 个苹果，90 个橘子，130 个梨平均分给一些同学，最后一共剩下 25 个水果没有分出去.请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？13. 有一个大于 1 的整数，用它除 300，262，205 得到相同的余数，求这个数.14. 用 61 和 90 分别除以某一个数，除完后发现两次除法都除不尽，而且前一次所得的余数是后一次的 2 倍.如果这个数大于 1，那么这个数是多少？（三）超越篇1. 从 1 依次写到 99，可以组成一个多位数 12345979899.这个多位数除以 11 的余数是多
29、少？2. 算式 计算结果的末两位数字是多少?20877 个3. 算式 计算结果的末两位数字是多少？12074. 有多根牙签，按以下种规格分成小包：如果根一包，最后还剩根；如果 9 根一包，最后还剩 8 根；如果依次以 8，7，6，5 根为一包，最后分别剩 7，6，5，4 根.原来一共有牙签多少根？5. 有三个连续的自然数，它们从小到大依次是 5，7，9 的倍数.这三个连续自然数最小是多少？6. 请找出所有的三位数，使它除以 7，11，13 的余数之和尽可能大.7. 已知 ，那么四位数 是多少？21!0942170ABCDABCD8. 有一些自然数 n，满足： 是 3 的倍数， 是 5 的倍数，
30、 是2nnn2 的倍数.请问;这样的 n 中最小的是多少 ?（以下内容为六年级导引）数论问题第 5 讲 数论综合一一、内容概述：运用已学过的数论知识，解决综合性较强的各类数论问题;学会利用简单代数式处理数论问题.二、 典型问题:（一）兴趣篇1. 如果某整数同时具备如下三条性质：（1）这个数与 1 的差是质数；（2）这个数除以 2 所得的商也是质数；（3）这个数除以 9 所得的余数是 5.那么我们称这个整数为“幸运数”.求出所有的两位幸运数.2. 一个五位数 ，方格中的数未知.请问：825（1）如果该数能被 72 整除，这个五位数是多少？（2）如果该数能被 55 整除，这个五位数是多少？3. 在
31、小于 5000 的自然数中，能被 11 整除，并且所有数字之和为 13 的数共有多少个？4. 一个各位数字均不为 0 的三位数能被 8 整除，将其百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个两位数（例如，按此方法由 247 将得到 47，27，24）.已知这些两位数中一个是 5 的倍数，另一个是 6 的倍数，还有一个是 7 的倍数.请问：原来的三位数是多少？5. 26 460 的所有约数中，6 的倍数有多少个？与 6 互质的有多少个？6. 一个自然数 N 共有 9 个约数，而 恰有 8 个约数.满足条件的自然数中，最1N小的和第二小的分别是多少？7. 一个自然数，它最大的约数和次大的约数
32、之和是 111，这个自然数是多少？8. 有一个算式 ，小明在上式中把一些“ ”换成“ ”，计算结61果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？9. 一个两位数分别除以 7、8、9，所得余数的和为 20.问：这个两位数是多少？10. 信息在战争中是非常重要的，它常以密文的方式传送.对方能获得密文却很难知道破译密文的密码，这样就达到保密的作用.有一天我军截获了敌军的一串密文：，字母表示还没有被破译出来的数字.如果知道密码满足如下条件：378421ABC（1）密文由三个三位数连在一起组成，每个三位数的三个数字互不相同；（2）三个三位数除以 12 所得到的余数是三个互不相同的质数；（3）三个字母表示的数
33、字互不相同且不全是奇数；你能破解此密文吗?（二）拓展篇1. 已知 是 495 的倍数，其中 a、b、c 分别代表不同的数字.请问：三位370abc数是多少？2. 11 个连续两位数乘积的末 4 位都是 0，那么这 11 个数的总和最小是多少？3. 有一个算式 .小明在上式中把一些“ ”换成“ ”，9计算结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？4. 由 1、2、3、4 各一个组成四位数 ，使得 a、 、 、 这四个自bcdbcad然数都不是 3 的倍数，那么最大是多少，最小是多少？5. 在小于 100 的正整数中，能被 2 或 3 整除，且不能被 6 整除的数共有多少个?6. 有 15 位同学
34、，每位同学都有个编号，他们的编号是 1 号到 15 号.1 号同学写了一个自然数，2 号说：“这个数能被 2 整除,3 号接着说：“这个数能被 3”依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号整除.1 号一一作了验证：只有两个同学（他们的编号是连续的）说的不对，其余同学都对.问：（1）说的不对的两位同学他们的编号是哪两个连续的自然数？（2）如果 1 号同学写的自然数是一个五位数，那么这个自然数为多少？7. 有 2008 盏灯，分别对应编号为 1 至 2008 的 2008 个开关.现在有编号为 1 至2008 的 2008 个人来按动这些开关.已知第 1 个人按的开关的编号是 1 的倍数（也就是
35、说他把所有开关都按了一遍） ，第 2 个人按的开关的编号是 2 的倍数，第 3 个人按的开关的编号是 3 的倍数依次下去，第 2008 个人按的开关的编号是 2008 的倍数.如果刚开始的时候，灯全是亮着的，那么这 2008 个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？8. 狐狸与黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳 米，黄鼠狼每次跳 米，它们142324每秒钟都只跳一次.在比赛道路上，从起点开始每隔 米设有一个陷阱.请问：当它38们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米?9. 一个偶数恰有 6 个约数不是 3 的倍数，恰有 8 个约数不是 5 的倍数.请问：这个偶数是多少？10. 一个合数，其最大的两个约数
36、之和为 1164.求所有满足要求的合数.11. 已知 a 与 b 是两个正整数，且 a b.请问：（1）如果它们的最小公倍数是 36，那么这两个正整数有多少种情况？（2）如果它们的最小公倍数是 120，那么这两个正整数有多少种情况？12. 已知 a 与 b 的最大公约数是 14，a 与 c 的最小公倍数是 350，b 与 c 的最小公倍数也是 350.满足上述条件的正整数 a、b 、 c 共有多少组？13. 已知两个连续的两位数除以 5 的余数之和是 5，除以 6 的余数之和是 5，除以 7的余数之和是 1.求这两个两位数.14. 如图，在一个圆圈上有几十个孔（不到 100 个）.小明像玩跳棋
37、那样从 A 孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到 A 孔.他先试着每隔 2 个孔跳一步，结果只能跳到 B 孔.他又试着每隔 4 个孔跳一步，也只能跳到 B 孔.最后他每隔 6 个孔跳一步，正好回到 A 孔.问：这个圆圈上共有多少个空？（三）超越篇1. 有 6 个互不相同且不为 0 的自然数，其中任意 5 个数的和都是 7 的倍数，任意 4 个数的和都是 6 的倍数.请问：这 6 个数的和最小是多少？2. 设 ,请问：301N （1）N 的末尾一共会出现多少个连续的数字 “0”？（2）用 N 不断除以 12，直到结果不能被 12 整除为止，一共可以除以多少次 12？3.
38、老师告诉贝贝和晶晶一个小于 5000 的四位数.这个四位数是 5 的倍数.贝贝计算出它与 5!的最小公倍数，晶晶计算出它与 10!的最大公约数，结果发现贝贝的计算结果恰好是晶晶的 5 倍。请问：这个四位数是多少？4. 一个正整数，它分别加上 75 和 48 以后都不是 120 的倍数，但这两个和的乘积却能被 120 整除.请问：这个正整数最小是多少？5. a 、 b、 c 是三个非零自然数. a 和 b 的最小公倍数是 300，a 和 c、 b 和 c 的最大公约数都是 20，且 abc.请问：满足条件的 a、 b、 c 共有多少组？6. 有一类三位数，它们除以 2、3、4、5、6 所得到的余数互不相同（可以含0）.这样的三位数中最小的三个是多少？7. 有一个自然数除以 15、17、19 所得到的商与余数之和都相等，并且商和余数都大于 1，那么这个自然数是多少？8. 有 4 个互不相同的三位数，它们的首位数字相同，并且它们的和能被它们之中的 3 个数整除.请写出这 4 个数.数论问题第 6 讲 进位制与取整符号一、内容概述：掌握进位制的概念及相关计算，掌握自然数在不同进位制之间的转化方法，并学会恰当利用进位制解决一些数论问题.掌握取整符号与取小数部分符号的定义与基本性质，学会求解包含这两种符号的算式与方程.
