1、 x x 职 业 技 术 教 育 中 心教 案教 师 姓 名 x x 授课班级 12 会计、通信 授课形式 新授授 课 日 期 2013 年 5 月 13 日 第 13 周 授课时数 2授 课 章 节名 称 9.1 平面的基本性质教 学 目 的 了解平面的表示方法和基本性质教 学 重 点 平面的基本性质教 学 难 点用集合符号表示空间点、直线和平面的关系更新、补充、删 节 内 容使 用 教 具课 外 作 业课 后 体 会复习引入：新授：1 平面及其表示常见的平面形象大都是矩形状的，当我们从适当的角度和距离去观察这些平面时，感到它们与平行四边形是一致的，因此，通常画一个平行 四边形来表示平面图
2、5-27(1)表示平放的平面，图 5- 27(2) 表示竖直的平面请注意它们画法之间的区别如果要画相交的两个平面，可以按图 5-28 所示 的步骤进行一个平面通常用小写希腊字母 、 、 、表示，写在表示平面的平行四边形某一个顶角内部，记作“平面 ”、 “平面 ”,，或用表示平面的平行四边形对角的两个大写英文字母标明，记作“平面 AC”或“ 平面 BD”，当然也可记作平面 ABCD (如图 5-27)应该注意，正像平面几何中直线是可以无限延伸一样，平面也是可以无限延展的，也就是说，它是没有边界的，我们用平行四边形仅仅表示了平面的一部分 空间图形也可看作是空间点的集合，因此点、线、面的关系可用集合
3、的关系来表示：点 A 在直线 l 上，记作 Al，点 A 不在直线 l 上，记作 Al；点 A 在平面 内，记作 A，点 A 不在平面 内，记作 A；直线 l 在平面 内，记作 l；直线 l 与直线 m 交于点 N，记作 lm=N，直线 l 与直线 m 没有交点，记作 lm=；直线 l 与平面 交于点 N，记作 l=N，直线 l 与平面 没有交点，记作 l=；平面 与平面 交于直线 l，记作 =l，平面 与平面 不相交，记作 =在以后的学习中，我们将经常用到这些记号课内练习 11. 能不能说一个平面长 2 米， 宽 1 米， 为什么？2. 画一个平行四边形表示平面，并分 别用希腊字母和大写英文
4、字母表示 这个平面3. 分别用大写字母表示图示长方体的六个面所在的平面 4. 用符号表示下列点、线、面间的关系：(1)点 A 在平面 内，但在平面 外； (2)直线 l 经过平面 外的一点 N；(3)直线 l 与直线 m 相交于平面 内的一点 N；(4)直线 l 经过平面 内的两点 M 和 N5. 下面的写法对不对，为什么？(1)点 A 在平面 内，记作 A; (2)直线 l 在平面 内，记作 l；(3)平面 与平面 相交，记作 ； (4)直线 l 与平面 相交，记作 l2. 平面的基本性质基本性质：图 5-28A BCDA1 B1C1D1(第 3 题图 )图 5-27(2)DABCD图 5-
5、27(1)ADBC(1)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 如图 5-29，直线 l 上两点 A,B 在平面 内，那么l 上所有的 点都在平面 内，这时我们可以说，直线 l 在平面 内或平面 经 过直线 l这个性质常用来判断一条直线是否在一个平面内因为平面是可以无限延展的，因此两个平面如果有公共的点， 那么延展的结果，它们 必定相交于一条直线由此得平面的第二个 基本性质：(2)如果平面有一个公共点，那么它们相交于经过这个公共点 的一条直线 如图 5-30，平面 与平面 相交， C 是公共点，那么它们 相交于过 C 的直线 l如果我们把一张纸摊平折起来，折痕一
6、定是一 条直线，就是这个道理(3)经过不在同一直线上的任意三点，可以作一个平面，且只可以作一个平面这个性质也可以简单地说成：不在一直线上的三点确定一个 平面如图 5-31，A、B 、C 三点不在同一直线上，经过这三点可以 且只可以画一个平面 现在你可以明白前面提出的问题了凳子三条腿、照相机支 架三条腿，三个着地点总是在一个平面上，因此总是平稳的从上述三个性质出发，还可以推出确定一个平面的其它很多方法，其中最常用的是下面三个推论：一条直线和直线外一点可以确定一个平面；两条相交直线可以确定一个平面；两条平行直线可以确定一个平面课内练习 21. 判断题(1)如图，我们能说平面 与平面 只有一个交点
7、A 吗？(2)如图,我们能说平面 与平面 相交于线段 AB 吗?(3)如图,我们能说线段 AB 在平面 内,但直线 AB 不全在平面 内吗?2. 三角形一定是平面图形吗？为什么？3. 一扇门可以自由转 动，如果锁住，就固定了， 如何解释？4. 怎样检查一张桌子 的四条腿的下端是否在同 一平面内？小结作业图 5-29A B l图 5-30lC图 5-31 CBA(第 1(1)题图)A(第 1(2)题图)A B(第 1(3)题图)A Bx x 职 业 技 术 教 育 中 心教 案教 师 姓 名 x x 授课班级 12 会计、通信 授课形式 新授授 课 日 期 2013 年 5 月 14 日 第 1
8、3 周 授课时数 4授 课 章 节名 称 9.2 空间两条直线的位置关系教 学 目 的 了解直线的位置关系，空间平行直线关系的传递性会求异面直线所成的角教 学 重 点异面直线的概念及其判定异面直线所成的角教 学 难 点异面直线的判定异面直线所成的角更新、补充、删 节 内 容使 用 教 具课 外 作 业课 后 体 会复习引入：新授：1. 两条空间直线的位置关系平面上两条直线的位置关系有两种：相交或平行在空间中的两条直线是否也是如此呢？我们观察一下教室的天花板、地面以及墙面之间的交线，能够找到平行和相交的直线，但也能发现一些直线，它们既不平行也不相交把教室看成一个长方体 ABCD-ABCD（如图
9、9-32） ，可以发现直线对 BC 与 AA、AD 与 DC 以及对角线 BD与 AC 等等，它们不同在一个平面内 我们把两条既不相交、又不平行的直线，叫做异面直线，也可以说，把两条不可能同在一个平面上的直线叫做异面直线因此，空间中两条直线位置关系(除了重合) 有三种：(1) 没有公共点平行(2) 只有一个公共点相交(3) 既不相交也不平行异面 (不可能同在一个平面上)在画异面直线时，要像图 9-33 那样，把两条直线明显地画在不同 的平面内，这样就容易体现出 “异面”的特点课内练习 11. 找出日常生活中异面直线的几个例子2. 画出图 5-32 中各面上的对 角线，找出不少于 5 对异面直线
10、来3. 两条直线分别在两个平面内，它 们是否一定异面直线？4. 能否把没有公共点的两条直线叫做平行线？2. 空间的平行直线平面几何中的平行传递性法则平行于同一条直线的两条直线互相平行，在空间情况仍然是正确的例如图 9-34 中，因为 ABBA、BCCB 都是矩形，AABB, CCBB ，所以CCAA 在后文中还将介绍一些具有空间特点的平行判定方法在平面几何中有一个判定定理：如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补对立体几何中空间的角，这条道理仍然成立如图 9-34 中的 和 。ACB例 1 如图 9-35，已知 E、F、G 、H 分别是任意空间四边形 ABCD 四条边 AB、BC
11、、 CD、DA 的中点，求证四边形 EFGH 是平行四边形 证明 由此即得 EH=FG 且 EH/FG所以四边形 EFGH 是平行四边形课内练习 21. 把一张长方形的纸对折两次然后打开， 观察折痕是否平行，为什么？2. 画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直 线，使它们成为平行直线 3. 如图，在长方体中，AE=A 1E1, AF=A1F1， 求证：EF=E1F1且 EF/E1F1l1图 9-33lAB CDEFGHA BCD图 9-32A BCD(必定同在一个平面上)；AB CDEFHG图 9-35A BCD图 9-34A BCDAEFF1A1E1第 3 题图A BCD第 4 题图A B
12、CDEEE4. 如图，在长方体 ABCD-ABCD中，E,E分别是棱 AD,AD的中点，求证：CEB=CE B3. 异面直线所成的角平面几何中的角的两条边是相交的，空间异面直线不相交，怎么形成角呢？我们可以这样来定义：如图 5-36(1)，设 l、m 是两条异 面直线，在空间任取一点 P，过 P 作ll、m m，把 l、m所成的(不大 于90)角，叫做异面直线 l、m 所成的角 (或l、m 的夹角)，采用平面情况的记法， 记作 lm为了简便起见，点 P 常取在两异面直线中的一条上例如在直线 m 上，过点 P 作直线 ll （如图 9-36(2)） ，那么 l、m 所成的角就是异面直线l、m 所
13、成的角 如果两条异面直线 l、m 所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直，记作lm如果两条直线所成的角为 0角，那么我们就说这两条直线平行例 2 图 9-37 表示一个正方体(1)哪些棱与 AB是异面直线？(2)求 AB与 CC的夹角的度数；(3)哪些棱与 AA垂直？解 课内练习 31. 在下列各图中，分别以 O 为顶点，画出异面直 线 l、m 所成的角2. 设 l、m、n 为三条空间直线，其中 lm, l n，则 m、n 的关系如何？3. 设 l、m、n 为三条空间直线，且 l m = n m=45，能否得出 ln 的结论？你能举出反例吗？小结：作业：图 9-37A BCDA BCD
14、第 1 题图mlOmlO lmO图 5-36(1)lmml P图 5-36(2)lml Px x 职 业 技 术 教 育 中 心教 案教 师 姓 名 x x 授课班级 12 会计、通信 授课形式 新授授 课 日 期 2013 年 5 月 20 日 第 14 周 授课时数 4授 课 章 节名 称 9.3 直线和平面的位置关系教 学 目 的认识和理解直线和平面平行、垂直的有关结论掌握三垂线定理的应用教 学 重 点直线和平面平行的判定和性质直线和平面垂直的判定和性质三垂线定理及其逆定理教 学 难 点 直线和平面平行、垂直的有关结论三垂线定理的应用更新、补充、删 节 内 容使 用 教 具课 外 作 业
15、课 后 体 会复习引入：新授：1. 直线和平面的位置关系我们仍然把教室抽象成一个如图 5-38 那样的长方体我们考 察AB 所在的直线，它在面 ABCD 上；与面 BCC1B1 有一个公共点 B；与面 DCC1D1 没有公共点这个实例告诉我们：空间直线 l 与平面 的位置关系只有三种：(1) l 与 有无数个公共点直线 l 在平面 内；(2) l 与 没有公共点直线 l 平行于平面；(3) l 与 只有一个公共点直线 l 与平面 相交图 5-39 表示了这三种位置关系课内练习 11. 举出直线和平面的三种位置关系的实例2. 回答下列问题：(1)能否说直线 l 与平面 有两个交点 A、B?(2)
16、如果直线 l 在平面 外， l 是否一定与 平行？(3)如图，因为 l 与 没有交点，是否能 说 l ?(4)如果直线 l 不平行于平面 ，l 必与 相交吗？2. 直线和平面平行(1)直线和平面平行的判定要判断一条直线和一个平面是否认平行，就要将直线和平面无限延伸，看有无公共点，这是无法做到的，我们希望能找到简便易行的办法来判断直线和平面平行我们看图 5-40(1)，这是一扇门，门框左 右两条边缘是直线 a、b把墙面视为一个平面 ，当门关着时，直线 a、b 同在平面 上，且 ab开门时，a 离开了平面 ，但仍保 持与b 平行，而且 a 与平面 也是平行的( 如图 5-40(2)这就给出了一个判
17、定直线与平面平行的 方法：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行如图 5-41 中所示，如果 ab ，b ，则 a 。根据这个判定方法，为了证明一条直线和一个平面平行，只要 在这个平面内找出一条直线和这条直线平行就可以了画一条直线和一个平面平行，常把直线画在表示平面的平行四 边形外面，并且如图 5-41 那样，与平行四边形的一组对边平行或与平 行四图 5-38A BCDB1A1C1D1图 5-40(1)ba图 5-39 BA llAl (第 2(3)题图)l图 5-41ba图 5-40(2)ba边形内的一条线段平行在安装日光灯管时，检查两条垂直吊线的长度是否
18、相等；往墙上贴一条横幅时，检查横幅的上边与顶板是否等距，都是为了让灯管与天棚、横幅与顶板平行，使用的原理正是这个判定方法为便于记忆，这个方法可简记为：“若线线平行，则线面平行”例 1 如图 5-42，空间四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AD的中点，求证 EF平面 BCD证明 在 ABD 中，因为 E、F 分别是 AB、AD 的中点，所以EFBD 又因为 EF 平面 BCD，BD 平面 BCD，所以 EF平面 BCD课内练习 21. 在平面 上有直线 b，与平面外直线 a 不平行，能否说 a 与 必定不平行？为什么？2. 设平面 与平面外的直线 a 平行， 证明 a 与 内的任意直线
19、都不相交(2)直线和平面平行的性质现在把图 5-40(2)墙面、门分别看作为平面 、 ，门边缘 b 是 、 的交线，ab这表明，当直线 a 和平面 平行时，过 a 的平面 与平面 的交线必与 a 平行我们可以得到直线和平面平行的性质：如果直线 a 和平面 平行，经过 a 的平面 若与 相交，则交线必定平行于 a如图 5-43，若 a ，a ， =b，则 ab这个性质可简记为：“若线面平行，则线线平行” 例 2 如图 5-44 所示的木块，BC平面 A1C1，木工师傅要过点 P 和 BC 截去一个斜角，应该怎样划线？解 因为 BC平面 A1C1，B 1C1 是平面 BC1 与平面A1C1 的交线
20、，所以 BCB 1C1；过 P 作 B1C1 的平行线 EF，则EFB 1C1BC，所以EF、BC 共面连结 EB 和 FC，所得的四边形 EFCB 必定 在同一平面上，所以沿此四边形画线即可课内练习 31. 一块木板 ABCD 的一边 AB 紧靠桌面并绕 AB 转动，当 AB 的对边 CD 转动到各个位置时，是不是都与桌面所在的平面平行？为什么？2. 判断下面的说法是否正确：(1)过平面外一点有无数条直线与这个平面平行； （ ）(2)过直线外一点可以作无数个平面与已知直线平行； （ ）(3)如果一条直线和一个平面平行，则它和这平面内的任何直线平行； （ ）(4)平行于同一平面的两条直线互相平
21、行 （ ）3. 设 a 是平面 外的一条直线，a ，证明在 上有无数条直线与 a 平行ACB DE F图 5-42A BCD EFPA1 B1C1D1图 5-44图 5-43a 则交线必定平行于这条已知直线b4. 已知：长方体 ABCD-A1B1C1D1，求证：(1)BC|面 A1ADD1；(2) BC1|面 A1ADD1；(3)C1D|面 ACB15. 如果平面外的两条平行线中有一条和平面内某一条直线平行，试证另一条直线和这个平面平行3. 直线和平面垂直直线与平面相交有两种情况，一是垂直，二是斜交我们先来研究前一种情况如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 垂直于平面
22、 ，记作l ，直线 l 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 l 的垂面，交点叫做垂足画直线与平面垂直，通常是把直线画成和表示平面的平行四边形的一组对边垂直（如图 5-45） (1)直线与平面垂直的判定按照上述的方法去判定一条直线与一个平面垂直是困难的，我们有下面的较为简便的方法：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线和这个平面互相垂直 如图 5-46， l， m ，n ， mn=O，若lm，l n，那么 l有了这个方法，要判定一条直线 l 是否垂直于一个平面 ， 只要在 内去找到两条相交直线与 l 垂直就行了这也是人们在日常 生活中用来判定直线与平面垂直的方法例如树立旗杆时，只要
23、从不 在一条直线上的两个不同的方向，看一下旗杆与水平线是否垂直，就 能确定旗杆是否与地面垂直了例 3 如图 5-47，有一旗杆 AB，从它的顶端 A 挂一条绳子下来，拉紧绳子并把它的一端先后放在水平地面上 C、D、E 三点处，其中 C、B、E 在一条直线上，若测得 BC=BD=BE，证明旗杆和地面垂直证明 因为 ABC, ABD, ABE 的三边对应相等，所以 ABC ABD ABE，所以 ABC =ABD = ABE；又因为 C、B、E 在一条直线上，所以ABC =ABE=90 ；所以ABD =90即ABBC，AB BD又知 B、C、D 有三点不共线，所以 AB平面 BCD，即旗杆和地面垂直
24、课内练习 41. 回答下列问题：(1)直线 l 垂直于平面 内的一条直线 m，是否能说 l ？(2)直线 l 垂直于平面 内的两条直线 m,n，是否能说 l ？(3)直线 l 垂直于平面内 的无数条直线，是否能 说 l ？(4)一条直线垂直于一个三角形的两条边，这条直线是否和第三 边垂直？(5)三条直线相交于同一点，且两两垂直，其中任一条直线是否 垂直AC DB图 5-47EAC DB(第 3 题图)l图 5-46omn图 5-45于另两条直线所确定的平面？2. 已知直线 a平面 ，直线 b，求 证 ab3. 如图，有一旗杆 AB 高 8m，它的顶端 A 挂一条长 10m 的绳子，拉 紧绳子并
25、把它的一端先后放在地面上和 B 点不在同一条直线的两点 C,D 上如果 这两点和 B 点的距离都是 6m，求 证旗杆和地面垂直(2)直线和平面垂直的性质当直线与平面垂直时，有如下的性质：如果两条直线垂直于同一平面，则这两条直线互相平行如图 5-48 中， m，n ，那么 mn这也是判定两条直线平 行的另一个方法(3)点到平面的距离设 P 是平面 外的一点，过点 P 向 作垂线，垂足为 O，线段PO 的长就是点 P 到 的距离，O 也叫做点 P 在平面 内的正射影(简称射影) (如图 5-49)例 4 如图 5-50，已知旗杆 AB 垂直于水平地面，从旗杆顶拉一条绳子下来，拉紧后在地面上点 C,
26、D 处量得 BC=BD=6m，且BCBD；若已知CAD=30 ，求旗杆的高度解 因为 BCBD，所以CD= 262B在等腰 ACD 中，CD2=AC2+AD2-2ACADcosCAD=(2- )AC2，3解得 AC2= )3(7在 RtABC 中，AB2=AC2-BC2= -36=108+72 , )(3AB= 15.25m37108所以旗杆高约 15.25m课内练习 51. 判断题(1)若直线 l平面 ，直线 l1不平行于 l，则 l1不垂直于 ( )(2)若直线 l平面 ，直线 l1垂直于 l，则 l1垂直于 ( )(3)若直线 l平面 ，直线 l1不垂直于 l，则 l1不垂直于 ( )(
27、4)若直线 l,l1平行，由它们确定的平面为 ，若直线 ml，则 m ( )(5)若直线 l,l1平行，由它们确定的平面为 ，若直线 m 不垂直于 l，则 m 也不垂直于 ( )(6)过平面外一点，能作、且仅能作一条直线与平面垂直 ( )图 5-48mnAC DB图 5-50PO图 5-49AC DB(第 2 题图)B12如图，在例 4 中，若旗杆立在平台顶上，无法得到垂足 B，但已知绳子长度为 16m，量得 CD=8.5m，且 BCBD，请计算旗杆顶离地面的距离4. 直线和平面所成的角如果直线 l 与平面 相交而不垂直，就称直线与平面斜交直线叫做平面的斜线，交点叫做斜足我们看图 5-51，直
28、线 l1、l 2 与平面 都斜交，但斜交的角度不同应该怎样来度量这个角度呢？现在来讨论这个问题设斜线 l 与平面 交于 A 点，点 P 在 l 上，P 在 上的射影为 Q；直线 AQ 叫做斜线 l 在平面 上的正射影（简称射影）( 图 5-52)可以证明，斜线与平面的射影之间形成的角(图 5-52 中的 )是 l 与 内所有直线所成的角中最小的，我们把这个角叫做 l 与 所成的角，即：斜线和它在平面内的射影所成的锐角叫做这条直线和平面所成的角若一条直线与一个平面所成的角是直角，我们就说这条直线和平面垂直；若一条直线与一个平面所成的角是 0角，我们就说这条直线和平面平行或在平面内例 5 如图 5
29、-53，长方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长分别为 AB=1，AD = ，AA 1=3，求对角2线 AC1 与底面 ABCD 的夹角解 因为 CC1底面 ABCD，所以 C1AC 就是对角线 AC1 与底面 ABCD 之间的夹角因为AC= = = ，2DA23CC1= AA1=3，所以 tanC1AC= = = ，3所以 C1AC=60，即对角线 AC1 与底面 ABCD 的夹角为 60课内练习 61. 过平面 外一点 P，可以作多少条与 夹角为已知角 0的斜线？你能说出这些斜线的斜足在平面 内的轨迹是什么吗 ？2. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，求：(1)A1C1与正方体各面
30、所成的角的大小；(2)D1B 与面 A1ADD1所成角的正切值小结：作业：图 5-53ABCDA1B1C1D1l2 l1图 5-51lQ图 5-52PAx x 职 业 技 术 教 育 中 心教 案教 师 姓 名 x x 授课班级 12 会计、通信 授课形式 新授授 课 日 期 2013 年 5 月 28 日 第 15 周 授课时数 4授 课 章 节名 称 9.4 平面和平面的位置关系教 学 目 的理解平面与平面平行的判定和性质理解平面与平面垂直的判定和性质理解二面角的概念及求值会应用二面角的概念解决简单的实际问题教 学 重 点平面与平面平行的判定和性质平面与平面垂直的判定和性质两面角的概念教
31、学 难 点二面角平面角的确定平面垂直结论的应用更新、补充、删 节 内 容使 用 教 具课 外 作 业课 后 体 会复习引入：新授：1. 平面位置的基本关系两个平面 , 的位置关系就只有两种：(1)相交此时必定相交成一条直线 l；称 l 为交线；(2)平行即没有公共点，记作 2. 平面与平面平行(1)平面平行的判定 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 如图 5-55，设 l1 ，l 2 ， l1 l2 =O，且 l1，l 2，那么 根据这个法则，还可以得到判断平面平行其它方法： 如果一个平面内有两条相交直线，分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行(如
32、图 5-56) 垂直于同一条直线的两个平面平行画两个平面平行时，一般要使表示平面的两个平行四边形对应的对边分别平行例 1 如图 5-57，E、F、G 分别为空间四边形 ABCD 的 边AB、 AD 及对角线 AC 上的中点，证明：平面 EFG平面BCD证明 课内练习 11两个平面的位置关系有哪几种？2. 判断题：(1)若平面 内的一条直线与平面 平行，则 与 平行 ( )(2)若平面 内的两条直线分别与平面 平行，则 与 平行 ( )(3)若平面 内的无数条直线分别与平面 平行，则 与 平行 ( )(4)若平面 内的任何一条直线都与平面 平行，则 与 平行 ( )(5)过已知平面外一点，能作、
33、且仅能作一个平面与已知平面平行 ( )(6)过已知平面外一条直线，必定能作与已知平面平行的平面 ( )3. 若平面 平面 ，能否说 内的任一直线都与 内的直线平行？能否说 内的任一直线都与 平行？4. 如图，设 E、F、E1、F1分别是长方体 ABCD-A1B1C1D1棱 AB、CD、A1B1、C1,D1上的中点，证明：平面 ED1平面 BF1(2)平行平面的性质两个平行平面具有下面的性质：如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么它们的交线平行夹在两个平行平面间的平行线段相等课内练习 21. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，求证平面 A1BD平面 CD1B1图 5-57AB CDE F
34、G(第 4 题图)EA BCDA1 B1C1D1FF1E1图 5-56 2. 证明横截一块长方体形状的木块，其截面不是矩形就是平行四 边形3. 二面角和二面角的平面角在开门时常说把门开大些或小些，实际上是指门所在平面与门框所在平面之间“角度”的大小这个角度如何度量呢？ 现在我们给出平面交角的定义平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半 平面从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直 线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面棱为 l、两个面分别为, 的二面角记为二面角 -l-(图 5-60)一个垂直于二面角 -l- 的棱 l 的平面，交 l 于点 O，分别与两 个
35、半平面交于半直线 OA, OB，则 AOB 叫做二面角 -l- 的平面角显 然，平面角的大小与垂直平面的位置无关所以二面角的大小可用它的平 面角来度量，平面角是多少度，就说这个二面角是多少度；在不会引起误解的场合，有时我们也简称二面角是多少度我们约定，二面角的度数不小于 0，不大于 180例 2 在图的空间四边形 ABCD 中，由它们的边和对角线组成的 ABC, ADB, ADC 和 BCD 都是等边三角形(1)把每个三角形所在的面看作一个半平面，共组成了多少个二 面角？(2)证明这些二面角均相等；(3)求每个二面角的大小解课内练习 31. 在图 5-61 中，设 ABC、ADB、 ADC 为
36、等腰直角三角形 (A=90)，BCD 为等边三角形，(1)证明以 AB、AC、AD 为棱的三个二面角彼此相等；以 BC、CD、BD 为棱的三个二面角也彼此相等；(2)求这两组二面角的大小4. 平面与平面垂直(1)平面与平面垂直平面角是直角的二面角叫做直二面角若两个平面相交形成的二面角是直二面角，则这两个平面叫做互相垂直若平面 和平面 互相垂直，记作 注意，在画两个互相垂直的平面时，为了加强直观效果，如果有一个是水平平面，则把直立平面的一组对边画成和水平平面的某一组对边垂直(见图 5-62)下述方法经常用来判定两个平面垂直问题：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直如图 5-
37、63，直线 l,l，则 图 5-63l 图 6-62lO AB图 5-60BACDEF这个判定方法在实际经常见到如将帆船甲板和帆都当作平面，桅杆就是甲板的垂线，我们可以认为帆与甲板是垂直的又如用一端系有铅锤的线来检查墙是否和水平面垂直(如图 5-64)，也是这个方法的应用例 3 如图 5-65，已知 P 是平面 外一点，PA ，垂足为 A，BC ，PC BC，证明平面 PBC平面 PAC(2)垂直平面的性质教室的墙面都是垂直于地面的，它们的交线墙角线自然也垂直于地面这就是垂直平面的第一个性质：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线必垂直于第三个平面如图 5-66， 、 、 为三个平
38、面，若 , ，l =，则 l在墙面上画一条线垂直于墙脚线，那么这条线必定与地面垂直；反之，在地面上画一条线垂直于墙脚线，这条线也与墙面垂直这是垂直平面的又一个性质：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面如图 5-67， ， l，m , n，若 ml，则 m； 若 nl，则 n例 4 如图 5-68，在空间四边形 ABCD 中，AC、BD 为对角线若面 ABD面 BDC，ABBD, CDBD ，AD=3, CD =4，(1) 证明 ABBC；(2)求 AC 的长所以 AC 长为 5课内练习 41. 如图 ,检查工件的相邻两个平面是否垂直时，只要用直角曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一个边在工件的另一个面上转动一下， 观察尺边是否和这 个面密合就可以了 为什么？如果不转动呢?2. 如果一条直线和一个平面不垂直,经过这条直线能否做一个平面与已知平面垂直 ?若能， 这样的平面有几个?3. 如图已知平面 , =AB；在平面 内，直线 CDAB，CD 到 AB的距离为 60cm在平面 内，点 E 到 AB 的距离为 91cm求点 E 到 CD的距离小结：作业：图 5-66l图 5-67lmn(第 3 题图)EABCD
