1、八数下期期末专题复习和训练：几何计算、证明题 第 1 页（共 8 页） 第 2 页 （共 8 页）八年级数学下册期末专题复习和训练：几何计算题、证明题一、题型特点：四边形（五种常见的） 、三角形的中位线、矩形的推论穿插其中，二、常见新型题型：动点、折纸、开放（条件、结论开放） 、探索性（数量关系、位置关系） ，三、图形搭建：三角形中搭建四边形、四边形中搭建三角形、组合图形，下面我根据图形搭建结构特征进行分类，列举一部分和本期几何部分（主要是平行四边形）的计算题、证明题，让我们共同来探究、解析.一、以平行四边形搭建起来的图形例 1. 中，AB=4cm，AD=7cm, ABC 的平分线交 AD 于
2、 E,交 CO 的延长线于 F,求 DF 的ABCD长？分析：本题要求的 长的途径有两条：其一. ；其二. .FDFCDFEA采取第一途径可以少一些环节，根据平行四边形的性质和角的平分线的定义可以比较容易得出 是等腰三角形，即 ；由于平行四边形BCB的对边相等可以得出: .故,DA4cmA7c743cm例 2.ABC、ADE 都是正三角形，CD=BF. （1） 、求证：ACDCBF（2） 、当 D 运动至 BC 边上的何处时，四边形 CDEF 为平行四边形，且DEF=30,并证明你的结论.分析： .证明ACDCBF 已经有了 CD=BF，而ABC、ADE 都是正三角形又可以给我们提供 条件，根
3、,CABDCF60据“ ”判定方法可以证得ACDCBF.SA.根据问的ACDCBF 得出 ,又ADE 是正三角形的 ,所以 ;DFEDE要使四边形 CDEF 为平行四边形可以证 .E若四边形 CDEF 为平行四边形，则 ；当 时，就有FCDE30EDB30,此时就能证得 .由正ADE 可以得出 ，则FCDEBAA6, ;由于等腰三角形具有“三线合一”的特征，所以当 D 运动A6039B至 BC 边上中点时，四边形 CDEF 为平行四边形.练习：1.如图,在 ABCD 中，AEBC,AFCD,EAF=60，则B=（ ） ；2. ABCD 的周长为 60，对角线 AC、BD 交于点 O,AOB 的
4、周长比BOC 的周长多 10，则 AD=（ ） ，DC=( )； 3. ABCD 中，ABC 的平分线 BE 交 AD 于 E 点，若ABE=25CD=5cm,BC=7cm,那么ABE=（ ） ，BED=（ ） ，AE=（ ）.4. 已知 ABCD，BE=AB,BF =BD. 求证：CD=CM5. ABC 是正三角形，AE=BD,DFCE,EFCD.求证: AGF EAC 6.以ABC 的三边在 BC 的同侧做等边EBC、等边FBA、等边DAC.判断四边形 FADE 的形状？.当BAC 为多少度时，四边形 FADE 为矩形？.当BAC 为多少度时，四边形 FADE 不存在？7. 有一块如图的玻
5、璃，不小心把 DEF 部分打碎，现在只测得 AB=60cm,BC=80cm，A=120，B=60，C=150，你能根据测得的数据计算 AD 的长？二、以矩形搭建起来的图形例 1.D 为 ABCD 外一点，APC=BPD=90.求证: ABCD 为矩形分析：判定矩形的方法主要有三种.但在已知了四边形 是平行ABCD四边形的情况下，要判定 是矩形的途径有两条：其一、找ABCDMCDFBA E GF EAB CDFE DB CADF EB CAO CB DPAFE AB CDFE DACB八数下期期末专题复习和训练：几何计算、证明题 第 3 页（共 8 页） 第 4 页 （共 8 页）一内角是直角；
6、其二、找出对角线相等，即找出 .ACBD由于本题的另一主要条件是APC=BPD=90，要根据题中条件和图形位置转换成四边形的内角为 90比较困难，所以本题我们先想办法找出对角线相等，即找出 .ACBD我们发现本题在 和 的两斜边的交点 恰好是平行四边形对角线的交点，APCRtBtO根据平行四边形对角线互相平分可知： 同时是 的中点；所以自然联想到连结 这O、 PO条两直角三角形公共的中线（见图）.根据以上条件，在 和 中就有：PRttAC2PO,故 ,由对角线相等的平行四边形是矩形，可判定 是矩形.BDBD ABC例 2. 矩形 ABCD 中，AB=3，AD=4，PEAC，PFBD，.求 PE
7、+PF 的值？.若点 是 上的一动点（不与 重合） ，还是作 PEAC，PFBD，则 PE+PF 的值是否PAAD、会发生变化？为什么？分析：求线段的和或差我们会联想到证明中的“截长补短”法，但本题不具备这方面的条件.本题从面积入手可以破题：如图连结 ,只要我们能求出 和 的面积之和问题便POAPOD可以获得解决.略解：.四边形 是矩形ABCD , , 90,1BD2C O在 中，AB=3，AD=4；并且根据勾股定理有： ，即 ，ABRt 22ABD2234又 ，所以D0.=5 12 ，且,1OPEDOPF2S(过程略)ABC1A344、 ,即+=1AOD2S 1125PE25F3 .2PEF
8、5.不会发生变化.这是因为 的面积以及作为底边的 不会发AODP、 OAD、生变化.练习：1. 矩形 ABCD 中，AF=DE.求证：BE=CF2. 矩形 ABCD 中，BEAC，CFBD.求证：BE=CF3. 矩形 ABCD 中，DF 平分ADC, BDF=15. 求DOC 与COF 的度数？4、矩形 ABCD 中，CEBD，则ACE 为等腰三角形吗？为什么？5.如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，将ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在 AC 上的点 B处，又将CEF 沿 EF 折叠，使点 C 落在 EB与 AD 的交点 C处则 BC：AB 的值为多少？三、以菱
9、形搭建起来的图形例 1. ABC 中，BAC=90，BD 平分ABC，AHBC 于 H 交 BD 于 E,DFBC 于 F,求证：四边形 AEFD 是菱形分析：判定菱形方法主要有三种，三种方法都可以使本题获得解决.下面我们选择“四边都相等的四边形是菱形”这一途径来分析.可以先根据角平分线的性质得出 ,进而容易证明ADF ,所以 ;再证明 ABDFBBEAF可以得到 （也可以利用等腰三角形的“三线合一” ） ；利用等角的余角相等可以推出E,所以 ,于是 ,故四边形 是菱形.DEFD例 2.（2012 中考自贡） 如图所示，在菱形 中， ， 为C,4BA120AEF正三角形，点 分别在菱形的边 上
10、滑动，且 不与 重合F、B、C、.证明不论 在 D 上如何滑动，总有 ?EC、 E.当点 在 上滑动时，探讨四边形 的面积是否发生变化？如果不变，BAF求出这 个定值. AB CDPE FOEFO DB CAEF DB CAODCBAECAB HDEFFCBEDB CA八数下期期末专题复习和训练：几何计算、证明题 第 5 页（共 8 页） 第 6 页 （共 8 页）分析：.先求证 ，进而求证 为等边三角形，得 进而ABCABCD、 =BAC60AB、求证 ，即可求得EFEF.根据 可得 ;根据 四边形 =SSEFCFS= = 即可解得.S.证明：连接 AC，如下图所示.四边形 为菱形，ABCD
11、BA120 ,1E602EC6 2 和 都为等边三角形ABC =460、在 和 中，EF12ABC3 ABCS .解：四边形 AECF 的面积不变.理由：由得 ，则 .EAFBEACFS故 四边形 = = = 是定值.SACB作 于 点，则 来源:学科网HBCBH2四边形 SD21H43练习：1. 已知 ，添加下列一个条件：.ACBD；.BAD=90；.AB=BC；.AC=BD.AB其中能使 是菱形的为（ ） A B C D. C2.菱形 ABCD 中，E 为 AB 上的一点，CE 交 BD 于 F.求证：.ABFCBF；.BEC=DAF.3. 菱形的对角线的比是 2：3，周长为 cm，求菱形
12、的面积？13044. 如图，平行四边形 的对角线 的垂直平分线与ABCDA分别交于点 求证：四边形 是菱形 .DAC、 EOF、 FCE5. 如图，菱形 ABCD 中，B=60，AB=2，点 E、F 分别是 AB、AD 上的动点，且满足 BE=AF，接连 EF、EC、CF求证：EFC 是等边三角形6. 9、RtABC 中，ACB=90，BAC=60，DE 垂直平分BC，且 AF=CE.求证：四边形 ACEF 为菱形四、以正方形搭建起来的图形例 1.正方形 ABCD 中，DCE 是等边三角形.求AED 的度数？.若 OF=1，求 AB 的长？分析：.根据正方形和等边三角形的性质综合可以得出 ,所
13、,DAE90615以得出： ,所以 .DAE11AED8053522.根据正方形的性质综合可以得出 ,在 中，CBOFRt,FO45130OF1所以 ,根据勾股定理可以求出 ,所以 .根据勾股2 213ACBD23定理或者面积公式可以得出： .又 .2A6.06例 2、正方形 ABCD 的面积为 64，DE=2,P 为 AC 上的一动点；求 PD+PE 的最小值？分析:在一条直线同侧的两点，到直线某点的距离之和最小，按如图所示作 的对称点 （根据正方形的对称性，对称点 恰好落在边 上）E EBC连结 交 于点 ,根据轴对称的性质DACPDPDEPB A DCFE EFO DB CAE DAB
14、CFFO EDAB CAB CDP EBC AFED321EHCAB DF八数下期期末专题复习和训练：几何计算、证明题 第 7 页（共 8 页） 第 8 页 （共 8 页）,此时和是最小的.根据正方形 ABCD 的面积为 64 可求得边长 ,所以 。所以DC8ECD826CE6根据正方形的性质和勾股定理可以求得： ;即 PD+PE 的最小22E10值为 10.练习:1.正方形 ABCD 中，DAF=25，如图所示则BEC=( ).2.在ABC 中，B=C，D 为 BC 的中点，DEAB，DFAC,垂足分别为 E、F. .求证:BOECDF.当ABC 是直角三角形时，四边形 AEDF 是正方形？
15、3. 如图，边长为 3 的正方形 ABCD 绕点按顺时针方向旋转 30后得到的正方形 EFCG 交 AD 于点 H, 四边形 =（ ）.SHFCD4. 正方形 ABCD 中，其面积为 1，PDC 为正三角形，求PBD 的面积？5.E 为边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线上的一点，且 BE=BC,P 为CE 上的一动点，PQBC，PRBE，求 PQ+PR 的值？6. 正方形 绕着正方形 点 向外（逆时针）旋转一定角度，AEFGABCD连结 （见图）.BD、.求证： .如果改成正方形 绕着正方形 点 向内（顺时针）旋A转一定角度，连结 .那么 这个结论还成立吗？请画出示、EG意图，并说明理由.H GEF DAB CFG DAB CE
