1、高等数学（专升本）-学习指南一、选择题1函数 的定义域为【 D 】22ln4zxyxyA B C D 2xy224xy解：z 的定义域为：，故而选 D。42 0422yxyx2设 在 处间断，则有【 D 】)(f0A 在 处一定没有意义；xB ; (即 )；)()(0xff(lim)(li00xfxfxC 不存在，或 ；lim0x0D若 在 处有定义，则 时， 不是无穷小)(f0x0x)(0xf3极限 【 B 】22213lin nA B C1 D 04解：有题意，设通项为： 22112nSnn原极限等价于： 2211limlim2n n4设 ，则 【 A 】2tanyxdyA Bsec2si
2、ncoxdC D2tax解：对原式关于 x求导，并用导数乘以 dx项即可，注意三角函数求导规则。22tnatsecydx所以， ，即2tansyxd2tansecdyxd5函数 在区间 上极小值是【 D 】2()y0,4A-1 B1 C2 D0解：对 y关于 x求一阶导，并令其为 0，得到 ；20x解得 x有驻点：x=2，代入原方程验证 0为其极小值点。6对于函数 的每一个驻点 ，令 ， ，,f0,xy0,xAfy0,xyBf，若 ，则函数【C】0,yCfx2ACBA有极大值 B有极小值 C没有极值 D不定7多元函数 在点 处关于 的偏导数 【C】,fy0,xy0,yfxA B00limxf
3、00 ,limx fxyC D00,liyfyfx 000,liyfxyf8向量 与向量 平行，则条件：其向量积 是【B】ababA充分非必要条件 B充分且必要条件C必要非充分条件 D既非充分又非必要条件9向量 、 垂直，则条件：向量 、 的数量积 是【B】0A充分非必要条件 B充分且必要条件C必要非充分条件 D既非充分又非必要条件10已知向量 、 、 两两相互垂直，且 ， ， ，求abc1a2b3c【C】abA1 B2 C4 D8解：因为向量 与 垂直，所以 ，故而有：absin,1ab2sin,14ab-+-11下列函数中，不是基本初等函数的是【B】A B C Dxye2lnyxsinco
4、xy35yx解：因为 是由 ， 复合组成的，所以它不是基本初等函数。2lu212二重极限 【D】420limyxyA等于 0 B等于 1 C等于 D不存在21解： 与 k相关，因此该极限不存在。2420lim1xky13无穷大量减去无穷小量是【D】A无穷小量 B零 C常量 D未定式解：所谓的无穷大量，或者无穷小量只是指的是相对而言，变量的一种变化趋势，而非具体的值。所以，相对的无穷大量减去相对的无穷小量没有实际意义，是个未定式。14 【C】201coslimn3xA1 B C D291解：根据原式有：224203sinlim16sinsi94xxx15设 ，则 【D】(ico)xyeyA Bs
5、insx sinxeC D (coi)ex(co)sinxe解：对原式直接求导，注意乘积项的求导即可。 (sins)xyco(incos)(sis)sinix xxeex(scos)inxyee16直线 上的一个方向向量 ，直线 上的一个方向向量1L11,mps2L，若 与 平行，则【B】12,mnps12LA B1212 1122npC D12120np1122m17平面 上的一个方向向量 ，平面 上的一个方向向量111,ABCn，若 与 垂直，则【C】22,ABn12A B1212C1122ACC D12120B112218若无穷级数 收敛，而 发散，则称称无穷级数 【C】1nu1nu 1
6、nuA发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛19下面哪个是二次曲面中抛物柱面的表达式【A】A B2xay2xayC D21b21b20设 是矩形： ，则 【 A 】D0,xaybdxyA. B. C. D. a2()kakab解：关于单位 1对于一个矩形区域进行二重积分就是计算矩形区域的面积。由题意知： ，则：0,xayb0Ddxy21设 ，则 【 D 】1f1fA B C Dxx2x3x解：由于 ，得 )(f )(f 1)(f2)(f将 代入，得 =1122利用变量替换 ，一定可以把方程 化为新的方程【 xyvu, zyxzA 】A B C Dzuzvzvuzuv解：z 是 x，y 的函数，从
7、 ， 可得 ， ，故 z是 u，v 的函数，xyxy又因为 ， 。uv所以 z是 x,y的复合函数，故 ， ，从而21zzyxuvx 10zzuvx左边=zyzzxyxuv因此方程变为： z23曲线 在点 处的切线斜率是【A】2xye(0,1)A B C2 D1212e 12e解： 。2xxye所以，在点(0,1)处，切线的斜率是：201xe24 【 A 】2lim3nA0 B C D14132解：因为23，limlinn所以2li03n25 【 C 】sinlmxA B C0 D1cotax解：因为 有界，1si所以 nli0x26已知向量 ， ， ，求向量3,58m2,47n5,14p在
8、轴上的投影及在 轴上的分量【A】4apnyzA27，51 B25，27 C25，51 D27，25解：A43,58,142,734,8372,7a因此 ，Prj2ya51zk27向量 与 轴与 轴构成等角，与 轴夹角是前者的 2倍，下面哪一个代表xz的是 的方向【C】A ， ， B ， ，2448C ， ， D ， ，422解：C设 的方向角为 、 、 ，按题意有a= ， =2由于 222coscos1即 化简得到 22cs0解得 或o0cos因为 、 、 都在 0到 的范围里，因此可以通过解反三角函数得到：， ， 或者 ， ，42228已知向量 垂直于向量 和 ，且满足于a3bijk3cij
9、k，求 【B】2710aijk=A B575i+jC D3ij 3k解：B因为 垂直于向量 和 ，故而 必定与 平行，因此abcabc23175ijkabcijk又因为 70ijk即： 521ij解得 ，所以 15a+k29若无穷级数 收敛，且 收敛，则称称无穷级数 【D】1nu1nu 1nuA发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛 30设 D是方形域： ， 【 D 】0,xyxdA. 1 B. C. D. 121314解：D 1,1200,4xydxyd31若 ， 为无穷间断点， 为可去间断点，则 【 C 1xeaf1xa】A B C D10e1e解：由于 为无穷间断点，所以 ，故 。若 ，则
10、x 0)(xaa0也是无穷间断点。由 为可去间断点得 ，故选 C。1xe32设函数 是大于零的可导函数，且 ，)(,gxf 0)()(xgfxf则当 时，有【 A 】baA B)()(ff )()(afgxfC Dgx解：考虑辅助函数,0)()(,)(2xgffxFfF则.)(严 格 单 调 减 少 函 数则 xF ,)(,bgfxfb时当 ).()(Afxgbf应 选即 有 33函数函数 可能存在极值的点是【 B 】235yA B C D不存在5x0x1x解：由作图知道，函数在第二象限是减函数，在第一象限是增函数。当 x=0 时，函数取得最小值 y=5。34 ，则 【 D 】tan3secy
11、xxyA B 2tansecxC D2sec3taxx3stanx解： 2tnsectaecec3stanyx x35设 ，则 【 C 】1sixdyA B(inco)1(cosin)dxxC D1(sis)dxx(i)解：对 y 关于 x 求一阶导有：11sin(icos)dyx所以，(i)dyx36设直线 与平面 平行，则 等于【 A 】34yk29310xyzkA. 2 B. 6 C. 8 D. 10解：直线的方向向量为 ，平面的法向量为 。, 2,93因为直线和平面平行，所以两个向量的内积为 0。即： 32940k得到：37若 ，则 【 A 】2(,)fxy(1,0)xfA. 4 B.
12、 0 C. 2 D. 1解：因为 2,4xxfy所以 138 和 在点 连续是 在点 可微分的【A (,)xfy(,)yfx0(,)y(,)fxy0(,)y】A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.无关条件解：由定理直接得到：如果函数 的偏导数 在点 连续，则,zfxy,zxy,x函数在该点的全微分存在。39在 面上求一个垂直于向量 ，且与 等长的向量 【D】xoy5,34aab=A B271,0521,07C D,15,1解：由题意设向量 ，因为 垂直于 且 ，所以有：,0xybaba，即：2220534xya2530xy由以上方程解得 ， ， ， 同号17x17yxy故而所求向量 或
13、者52,01b52,017b40微分方程 的通解是【 B 】3dyxA. B. C. D. 34c2cx32c34xc解：3dyyx令 ，1p2qx由一阶线性非齐次微分方程的公式有： 231pxdpxdpxdyCeex二、判断题1 是齐次线性方程的解，则 也是。 （ ）2,y12Cy2 （不显含有 ） ，令 ，则 。 （ ）fxp解：根据微分方程解的性质得到 。dy3对于无穷积分，有 。 （ ）limbbttfxfx4 在 的邻域内可导，且 ，若：当 时， ；当fx0 0f 0x0f时， 。则 为极小值点。 （ ）0f0x解：根据极值判定定理第一充分条件， 为极大值点。0x5 在 上连续，在
14、上有一阶导数、二阶导数，若对于fx,ab,ab,则 在 上的图形是凸的。 （ ）,0ffx6二元函数 的极大值点是 。 （ ）2zy0,解：原式中 ，当且仅当 x=0时，取到极小值 0 ；20x同样， ，当且仅当 y=0时，取到极小值 0 。y所以，函数的极小值点位于（0，0）7设 ，其中 ，则 1。 （ ）arctnzxyxedz解：直接求微计算： 222t11xxddxyxye8设 由 ， ， 所确定，则 1。 （ ）V01y01zvd解：由题意得到积分区域 为各向尺度为 1的立方体，其体积即为 1。V9函数 的定义域是 。 （ ）lnzxy,|,0xy解：由对数定义得到 。,|010设
15、，则 。 （ ）xyzez1xye11 是齐次线性方程的线性无关的特解，则 是方程的通解。(21, 12Cy)12齐次型微分方程 ，设 ，则 。( )dxyxvydvy13对于瑕积分，有 ，其中 为瑕点。( )limbbattaffa14 在 的邻域内可导，且 ，若：当 时， ，当fx0 0x0x0fx时， 。则 为极大值点。( )00x解：根据极值判定定理第一充分条件， 为极小值点。0x15设 在区间 上连续， 是 的内点，如果曲线 经)(xfyI0xf )(xfy过点 时，曲线的凹凸性改变了，则称点 为曲线的拐点。(0, 0,xf)16设 是矩形区域 ，则 1 （ ）D,|01,3xyyD
16、dxy解：显然该积分表示长为 3，宽为 1的矩形面积，值应为 3。17若积分区域 是 ，则 。 （ ）214xyDxy解： 是一个外环半径为 2，内环半径为 1的圆环，积分式214xy是在圆环上单位 1的二重积分，所以求的是圆环的面积。Dd原式= 2318设 是由 ， 所确定，函数 在 上连续，那么V2zxy14zfz1,4。 （ ）vfd4e解： 。vfzxy212014rdte19设不全为 0的实数 ， ， 使 ，则三个向量 共面。1231230abc,abc（ ）20二元函数 的极大值点是极大值 。 （ ）64zxy,236f21若 为非齐次方程的通解，其中 为对应齐次方程的*12yC1
17、y解， 为非齐次方程的特解。( )*解：根据齐次线性方程解的性质， 与 必须是线性无关的解， 是其特解。1y2 *y22若函数 在区间 上连续，则 ，使得fx,ab,ab。( )bafd23函数 在 点可导 。( )fx000fxf24 在 处二阶可导，且 ， 。若 ，则fx00fx0fx0fx为极大值点。( )025若 ，则 为一条水平渐近线。( )limxafax解：根据函数渐近线的定义和概念可以得到， 为一条铅直渐近线。ax26设 表示域： ，则 1。 （ ）221yzzdv解：由定义得知 表示以原点为中心，半径为 1的正球体，故而 z轴方向关于球体的积分值为 0。27微分方程 的通解为
18、 。 （ ）xyey2xec解： 对应的线性一阶齐次方程是：x0xdydyCex结合原方程，等式右边项含 x，所以通项公式为：xyCe将通项公式带入原式，得到： xxdCex代入 ，得到：ye21xxxxCyeedC最后得到： 21xxxyeeC28设 ， ， ，且满足 ，则3a5b4c0abc6。 （ ）c解：经计算向量积得到模值为 36。29 ,则 。 （ ）ln2yzxzx241yx30设 为 ， 与 为顶点三角形区域，D0O1A0,B,Dfxyd。 （ ）10,xdfy31若 为非齐次方程的通解，其中 为对应齐次方程的*12Cy 21,y解， 为非齐次方程的解。 （ ）*y解：根据齐次
19、线性方程解的性质， 与 必须是线性无关的解， 是其特解。1y2 *y32若 为 的一个原函数，则 。 （ ）Fxf bafxdFba33函数可微 可导，且 。 （ ）00dyf34 在 处二阶可导，且 ， 。若 ，则fx0xfx0fx为极小值点。 （ ）0解：根据极值判定定理第二充分条件可以直接得到。35若 ，则 为一条铅直渐近线。 （ ）limxfby解：根据函数渐近线的定义和概念可以得到， 为一条水平渐近线。by36二元函数 的最小值点是 。 （ ）23zxy0,解：因为原式中 ，当且仅当 x=0 时，取到极小值 0 ；0同样， ，当且仅当 y=0 时，取到极小值 0 。2y所以，函数的极
20、小值点位于（0，0）37微分方程 的一个特解应具有的形式是2sinyx。 （ ）sincoaxbd解：原微分方程的特征函数是： ， 。210w得到两个无理根： 。i即 是特征根。iw因此，特解的形式为： *()sin()cosyaxbxd38设 ，则 （ ）lnzxy2zx2y解：经计算得到微分表达式 。239微分方程 的通解为 。 （ ）2xyey2xxabec解：由微分方程通解求解准则直接得到。40设 由 ， ， ， 所确定，且 ，Vxyzk01xy0z74vxdyz则 。 （ ）k143解：变换积分方程即可求得。三、填空题1若 ，则 。201sin2xxy)(y解： 4，因此 。1.57
21、2x2214y2求 的导数 。arcsinyx解： 此函数的反函数为 ，故 则：213设 ，则 。1arctnyxdy解： 2d2211arctndyyxxx所以， 21dyx4设 求 。,23,aikbijkab解： 3j由 103.2ikabijk5将函数 展开成 的幂级数是 。2()xfx解： 01,132nn1() ()(3232fx xxx因为： 01,2n而且： 0(1),1nxx所以， 000()()(1),13232nnnnf xx6极限limsnx021。解：001sinlm1il)sin1(limsin1l 00020 xxxx xx7求 。324li5x解：8 。23si
22、nlimcoxx解： 1原式：2silicxx原式分子 有界，分母 有界，其余项均随着 趋于无穷而趋于无穷。snox这样，原式的极限取决于分子、分母高阶项的同阶系数之比。9设 的顶点为 , , ，求三角形的面积是 ABC(302)(51)B(0,3)C。解： 263由向量的模的几何意义知 的面积 .A1|2SAB因为 2,313,ABC得 ，所以27 ijkijk。于是22|175436ABC 263S10无穷级数 201()()n的和是 。解： 27先将级数分解： 20 00111()()()()().22n nnnA 第二个级数是几何级数，它的和已知 0().123()nn求第一个级数的和
23、转化为幂级数求和，考察 0(1)nx(1)x2 30 012()()()()()nnnS xx 230114()()()227)nS 因此原级数的和 47A11已知 ，则 _， _。2lim2xbax ab解： ，a8由所给极限存在知, , 得 , 0442a又由 , 知 。31li2li2 xxbx 8,b12已知 ，求 。1234xyy解： 112234xxx先两边取对数再两边求导因为所以13 。2(cos)xd解： 2intC直接积分就可以得到： 2 2(cs)coscsincotxxxdxC14求平行于 轴，且过点 和 的平面方程是 。z1,0M2,1解： 10xy由于平面平行于 轴，
24、因此可设这平面的方程为：z0AxByD因为平面过 、 两点，所以有1M202ADB解得 ， ，以此代入所设方程并约去 ，便得到所求的平0D面方程： 10xy15无穷级数 的收敛发散性是 。1()!n解：收敛因为：1122()!()1()()!nn nu ne所以：无穷级数 收敛1()!n16 。30tansilimxx解：15417计算广义积分 。21dx解： 18设 ，则 。3(cot)syxxy解：142112333331sincotscoscxxx 3(cot)yxx3332 214211233333(cot)s(cot)s(cot)sin1csinctscscxxxxxxxxxx 19
25、幂级数 的收敛区间是 。12()(nnx解： ,此级数是缺项的幂级数令112()()(),1,2nnnnuxxx因为21()limli()nn当 ，即 时，级数绝对收敛；当 ，即 时，级数发散。2xx21xx所以幂级数的收敛区间为 (1,)20幂级数 的收敛域是 。121()nnx解： (,)由于该幂级数缺项幂级数，则直接用比值判别法求之。设12(),nnxux2321 21()()limli(1)nn nxx x 当 2，即 时，原级数绝对收敛；当 1,x即 时，原级数发散。所以原级数的收敛半径为 1，收敛区间是 (1,).四、解答题1 圆柱形罐头，高度 与半径 应怎样配，使同样容积下材料最
26、省？HR解：由题意可知： 为一常数，面积故在 V不变的条件下，改变 R使 S取最小值。故： 时，用料最省。2求 ，其中 是由平面 ， ， 及 所围VIxyzdV0xy0z1xyz成的区域。解：把 化为先对 z积分，再对 y和 x积分的累次积分，那末应把 投影I V到 平面上，求出投影域 .xoy它就是平面 与 平面的交线和 x轴、y 轴所围成的三角区域。1xo我们为了确定出对 z积分限，在 固定点 ，通过此点作一条平行于 z,的直线，它与 上下边界的交V点的竖坐标： 与 ，这就是对 z积分的下限与上限，0xy于是由积分公式得： 10Izd其中 为平面区域： ，如下图红色阴影部分所示：,1xyx
27、再把 域上的二重积分化成先对 y后对 x的累次积分，得： 3求 ，其中 是圆环 。2Ixyd22axyb解：由于积分域由同心圆围成以及被积函数的形式，显然，这个二重积分化为极坐标计算比较方便。把 ， 代入，即可转化为极坐标系的积分形式。d如下：在对其进行累次积分计算：4求二重积分 ，其中 是由 所围成的区域。2Ixyd2,10yxy解：因为是正规区域，所以我们可先对 y 后对 x 积分，也可先对 x 后对 y 积分。这里我们采用前者先对 y 后对 x 积分：5求 的极值。3zxy解：设 ，则， 。解：方程组 ，得驻点(1，1) ，(0，0) 。对于驻点(1，1)有 ，故，223670BAC6A
28、因此， 在点(1，1) 取得极小值 f(1，1)=-1。对于驻点(0，0)有 ，故22309BAC因此， 在点(0，0) 不取得极值。五、证明题1 求证：当 1 时，级数 为一绝对收敛级数。证明：因为 而当 1 时 收敛，故级数 收敛，从而级数 绝对收敛。2 求证级数： 的和是 1。证明：当 n时，Sn1。所以级数的和是 1。3 求证：级数 发散。21ne证明：因为 ，趋于一个常数，所以级数发散。21limn4 求证： 不存在。0lixy证明：令 随不同直线趋于 。k0,则 它随 k 变化，故不存在极限。01limxy5 求证方程 在 0 与 1 之间至少有一个实根。证明：不难发现方程左端 是函数 的导数：。函数 在0，1 上连续，在(0，1)内可导，且 。由罗尔定理可知，在 0 与 1 之间至少有一点 c，使 ，即 。也就是：方程 在 0 与 1 之间至少有一个实根。
