高中数学选修2-2微积分基本定理.doc

1、学习目标 1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理 .3.会用微积分基本定理求一些函数的定积分.知识点一 导数与定积分的关系f(x)dx 等于函数 f(x)的任意一个原函数 F(x)(F(x) f (x)在积分区间 a，b 上的改变量 F(b)F(a).以路程和速度之间的关系为例解释如下：如果物体运动的速度函数为 vv(t)，那么在时间区间a，b内物体的位移 s 可以用定积分表示为 sv(t)dt.另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为 ss(t)，那么在时间区间a，b内物体的位移为 s(b)s(a) ，所以有 v(t)dts (b)s(a).由于 s( t)v(t)，即 s(

2、t)为v(t)的原函数，这就是说，定积分 v(t)dt 等于被积函数 v(t)的原函数 s(t)在区间a，b 上的增量 s(b)s( a).思考 函数 f(x)与其一个原函数的关系：(1)若 f(x)c(c 为常数)，则 F(x)cx；(2)若 f(x)x n(n1)，则 F(x) xn1 ；1n 1(3)若 f(x) ，则 F(x)ln x(x0)；1x(4)若 f(x)e x，则 F(x)e x；(5)若 f(x)a x，则 F(x) (a0 且 a1) ；axln a(6)若 f(x)sin x ，则 F(x)cos x；(7)若 f(x)cos x ，则 F(x)sin x .知识点二

3、 微积分基本定理一般地，如果 f(x)是区间 a， b上的连续函数，并且 F( x)f (x)，那么 f(x)dxF(b)F( a).思考 (1)函数 f(x)的原函数 F(x)是否唯一？(2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么？答案 (1)不唯一.(2)把被积函数 f(x)变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等初等函数与常数的和或差；用求导公式找到 F(x)，使得 F( x)f (x)；利用微积分基本定理求出定积分的值.题型一 求简单函数的定积分例 1 计算下列定积分.(1)3dx；(2)(2 x3)dx ；(3) (4xx 2)dx； (4)(x1) 5dx.解 (1)因为(3

4、 x)3，所以 3dx(3 x)Error!32313.(2)因为(x 23x)2x 3，所以(2x 3)dx (x23x)Error!2 232(0 230)10.(3)因为 4xx 2，(2x2 x33)所以 (4xx 2)dx Error!(2x2 x33) .(232 333) 2 12 133 203(4)因为 (x 1) 5，16x 16所以 (x1) 5dx (x 1)6Error!16 (21) 6 (11) 6 .16 16 16反思与感悟 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤：求 f(x)的一个原函数 F(x)；计算 F(b)F(a).(2)注意事项：有时需先化简，再求积分

5、；若 F(x)是 f(x)的原函数，则 F(x)C(C 为常数)也是 f(x)的原函数.随着常数 C 的变化，f(x)有无穷多个原函数，这是因为 F(x)f(x) ，则 F(x)CF(x) f (x)的缘故.因为 f(x)badxF(x) C | F (b)C F(a)C F (b)F( a)F(x)| ，所以利用 f(x)的原函数计算定ba ba积分时，一般只写一个最简单的原函数，不用再加任意常数 C 了.跟踪训练 1 求下列函数的定积分：(1) 2dx；(2) (1 )dx.(x 1x) x x解 (1) 2dx(x 1x) dx21(x2 2 1x2) x2dx 2dx dx212121

6、1x2 x3Error!+2 xError! + Error!13 (-12) (231 3)2(2 1)13 (12 1) .296(2) (1 )dx94x x ( x)d x94 x Error!(23xx 12x2) (2393 1292) (2342 1242) .2716题型二 求分段函数的定积分例 2 求函数 f(x)Error!在区间 0,3上的定积分.解 由定积分的性质知：f(x)dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx30102132 x3dx x2dx 2xdx102132 Error! Error! Error!x44 x33 2xln 2 14 83 13 8l

7、n 2 4ln 2 .3112 4ln 2反思与感悟 (1)分段函数在区间 a，b上的定积分可分成几个定积分的和的形式.(2)分段的标准是确定每一段上的函数表达式，即按照原函数分段的情况分就可以.跟踪训练 2 求下列定积分：(1) |x21|d x；(2) dx.20 1 sin 2x解 (1)y|x 21|Error! |x2 1|dx (1x 2)dx (x21)dx201021 Error! Error!(x x33) (x33 x) (1 13) (83 2) (13 1)2.(2) dx1 sin 2x |sin xcos x|d x (cos xsin x )dx (sin xco

8、s x)dx(sin xcos x)Error!( cos xsin x)Error! 1(1) (22 22) ( 22 22)2 2.2题型三 定积分的简单应用例 3 已知 f(a) (2ax2a 2x)dx，求 f(a)的最大值.10解 2ax 2a 2x，(23ax3 12a2x2) (2ax2a 2x)dx Error!10 (23ax3 12a2x2) a a2，23 12即 f(a) a a2 23 12 12(a2 43a 49) 29 2 ，12(a 23) 29当 a 时，f(a)有最大值 .23 29反思与感悟 定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的

9、函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用.跟踪训练 3 已知 f(x)ax 2bxc (a0)，且 f(1)2，f(0)0， f(x)dx2，求10a、b、c 的值.解 由 f(1) 2，得 ab c2.又 f(x )2axb，f(0) b0，而 f(x)dx (ax2bxc)dx1010 Error!(13ax3 12bx2 cx) a bc，13 12 a bc2，13 12由式得 a6，b0，c4.1. dx 等于( )cos 2xcos x sin xA.2( 1) B. 12 2C. 1 D.22 2答案 C解析 结合微积分基本定理，得dx (

10、cos xsin x)dx(sin xcos x)Error! 1.cos2x sin2xcos x sin x 22.下列定积分的值等于 1 的是( )A. xdx B. (x1)dx1010C. 1dx D. dx101012答案 C解析 xdx x2Error! ， (x1)10 12 1210dx Error! 1 ， 1dxxError!1， dx xError! .故选 C.(12x2 x) 12 32 10 1012 12 123. dx .20(x2 23x)答案 43解析 dx x2dx xdx20(x2 23x)202023 Error! Error! .x33 x23 8

11、3 43 434.设函数 f(x)Error!则 f(x)dx .20答案 176解析 f(x)dx (x21)dx (3x)dx201021 Error! Error! .(x33 x) (3x x22) 1765.已知函数 f(x)为偶函数，且 f(x)dx8，则 f(x)dx .606 6答案 16解析 因为函数 f(x)为偶函数， 且 f(x)dx8，所以 f(x)dx2 f(x)dx16.606 6601.求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分.(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性 ”，分段积分再求和.(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝

12、对值符号才能积分.2.由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取 0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在 x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数.一、选择题1.函数 y cos xdx 的导数是( )x0A.cos x B.sin x C.cos x1 D.sin x答案 A解析 (sin x)cos x ， cos xdxsin x Error!sin x，故选 A.x02.若 F( x)x 2，则 F(x)的解析式不正确的是 ( )A.F(x) x313B.F(x)x 3C.F(x) x3113D.F(x) x3c(c 为常数)13答案

13、B解析 若 F(x)x 3，则 F(x) 3x 2，这与 F( x)x 2 不一致，故选 B.3. |x 2|dx 等于( )0 4A. (x2)d x0 4B. (x2)dx0 4C. (x2)dx 2(x 2)dx 2 40 2D. (x2)d x (x2)dx 2 40 2答案 D解析 |x2|Error! |x 2|dx (x 2)dx (x2)dx.0 4 2 40 2故选 D.4.已知 f(x)Error!则 1f(x )dx 的值为( )1A. B. C. D.32 43 23 23答案 B解析 f(x)dx x2dx 1dxError! x|10 1 ，故选 B.1 10 11

14、0 0 1 13 435. sin2 dx 等于 ( )xA. B. 14 2C.2 D. 24答案 D解析 sin2 dx dxError! 0 ，故选 D.x 1 cos x2 2 246.若 S1 x2dx， S2 dx，S 3 exdx，则 S1，S 2，S 3 的大小关系为( )21211x21A.S1S 2S 3 B.S2S 1S 3C.S2S 3S 1 D. S3S 2S 1答案 B解析 S 1 x2dx x3Error!S2Error! ln 21，S 3 exdxe xError!e 2ee(e 1)21 13 2121 ，所以 S2S 1S 3，选 B.73二、填空题7.

15、( x)dx .1 1 1 x2答案 2解析 ( x)dx dx xdx，根据定积分的几何意义可知 dx 等1 1 1 x21 11 x21 11 11 x2于半径为 1 的半圆的面积，即 dx ， xdx x2| 0，1 11 x2 21 1 12 1 1 ( x)dx .1 1 1 x2 28.若 x2dx9，则常数 T 的值为 .T0答案 3解析 x2dx Error!Error! T39，即 T327，解得 T3.T0 139.设函数 f(x)ax 2c (a0)， f(x)dxf (x0)，0x 01，则 x0 .10答案 33解析 由 f(x)dxf(x 0)，得 (ax2c )1

16、010dx Error! acax c ， ax ，a 0，x ，又(13ax3 cx) 13 20 a3 20 20 130x 01，x 0 .故填 .33 3310.设 f(x)Error!若 ff(1)1，则 a .答案 1解析 因为 x10，所以 f(1)lg 10.又 x0 时，f (x)x 3t2dtxt 3Error!xa 3，a0所以 f(0)a 3.因为 ff(1)1，所以 a31，解得 a1.三、解答题11.设 f(x)是一次函数，且 f(x)dx5， xf(x)dx ，求 f(x)的解析式.1010 176解 f(x) 是一次函数，设 f(x)axb(a0) ，则f(x)

17、dx (axb)dx axdx bdx10101010 ab5，12xf(x)dx x(axb)dx (ax2)dx bxdx10101010 a b .13 12 176由Error! 得Error!即 f(x)4x 3.12.若函数 f(x)Error!求 f(x)dx 的值.30解 由积分的性质，知：f(x)dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx30102132 x3dx dx 2xdx1021x32 Error!x44|1 0 23x32|21 32 14 432 23 8ln 2 4ln 2 .512 432 4ln 213.求定积分 |xa|d x.3 4解 (1)当a4 即 a4 时，原式 (xa)dx Error! 7a .3 4 3 4 72(2)当4a3 即3a4 时，原式 ( x a)dx (xa)dx a 43 a Error!( x22 ax) 4a8a22 (a22 3a 92)a 2a .252(3)当a3 即 a3 时，原式 ( xa)d xError!Error!7a .3 4 72综上，得 |x a|dxError!3 4