1、1.（本题满分 15 分）如图，平面 平面 ， 是以 为斜边的等腰直角PACBAC三角形。 分别为 的中点， 。,EFO,B16,10P（I） 设 是 的中点，证明： 平面 ；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m C/OE（II）证明：在 内存在一点 ，使 平面 ，并求点 到 , 的距MFMOAB离。2.如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，P 是侧棱 CC1上的一点，CP=m ，（）试确定 m，使得直线 AP 与平面 BDB1D1 所成角的正切值为 ；32（）在线段 A1C1 上是否存在一个定点 Q，使得对任意的 m，D 1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于 AP，
2、并证明你的结论。3. 如图甲，ABC 是边长为 6 的等边三角形，E，D 分别为 AB、AC 靠近 B、C 的三等分点，点 G 为 BC 边的中点线段 AG 交线段 ED 于 F 点，将 AED 沿 ED 翻折，使平面 AED平面 BCDE，连接 AB、AC、AG 形成如图乙所示的几何体。（I）求证 BC平面 AFG；（II）求二面角 BAE D 的余弦值.xy z 4在如图所示的几何体中， 平面 ABC， 平面 ABC， ，EADBACB，M 是 AB 的中点2ACBD（1）求证： ；（2）求 CM 与平面 CDE 所成的角5. 如图，矩形 和梯形 所在平面互相垂直， ，ABCDEFBECF
3、， ， 90BCFE32（）求证： 平面 ；A F（）当 的长为何值时，二面角 的大小为 ？606. 如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在线段 AB， AD 上，AE=EB=AF= 沿.432FD直线 EF 将 翻折成 使平面 平面 BEF.AEF, A（I）求二面角 的余弦值；CD（II）点 M，N 分别在线段 FD，BC 上，若沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折，使C与 重合，求线段 FM 的长.AMDABEFC（第 18 题）7. 如图，在三棱锥 P-ABC 中，ABAC，D 为 BC 的中点， PO平面 ABC，垂足 O 落在线段 AD 上，已知 BC8，PO4，AO
4、3，OD2（）证明：AP BC；（）在线段 AP 上是否存在点 M，使得二面角 A-MC-B 为直二面角？若存在，求出 AM的长；若不存在，请说明理由。8. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面是边长为 的菱形，23BAD=120，且 PA平面 ABCD，PA= , M，N 分别为 PB,PD 的中点。6（1）证明：MN平面 ABCD；（2）过点 A 作 AQPC，垂足为点 Q，求二面角 A-MN-Q 的平面角的余弦值。9. 如图，在四面体 中， 平面 ，ABCDBCD， ， 是 的中点， 是 的中BC2MAPBM点，点 在线段 上，且 Q3Q（）证明： 平面 ；/PB（）若二面角 的大小为
5、 ，求 的大小D60BDC10. 如图，在五面体 中，已知 平面 ，ABCDEFABCD， ， ， /ADBCo602AB1（1）求证： ；/EF（2）求三棱锥 的体积（第 16 题图）FACDEB11. 如图，在直三棱柱 中，已知 ， ， 1ABC1CAB2o90BCA（1）求异面直线 与 夹角的余弦值；1（2）求二面角 平面角的余弦值12(本小题 14 分)在等腰梯形 中， ， ， ， 是ABCD/B12ADC60ABN的中点将梯形 绕 旋转 ，得到梯形 （如图） BC90（1）求证： 平面 ； （2）求证： 平面 ；/NA（3）求二面角 的余弦值C13. （本题满分 14 分） 如图，在
6、四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，AD/BC，ADC=90，平面 PAD底面 ABCD，Q 为 AD的中点，M 是棱 PC 上的点，PA=PD=2，BC= AD=1，CD= 123（I）求证：平面 PQB平面 PAD； （II）若二面角 M-BQ-C 为 30，设 PM=tMC，（第 22 题图）ABCA1B1C1ACDB NPA BCDQM试确定 t 的值14如图，直角梯形 ABCD 中，AB/CD ， = 90 , BC = CD = ,AD = BCD2BD：EC 丄底面 ABCD, FD丄底面 ABCD 且 有 EC=FD=2.(I )求证：AD 丄 BF :(II
7、 )若线段 EC 上一点 M 在平面 BDF 上的射影恰好是 BF 的中点 N,试求二面角 B-MF-C 的余弦值.1.证明：（I）如图，连结 OP，以 O 为坐标原点，分别以 OB、OC、OP 所在直线为 轴，x轴， 轴，建立空间直角坐标系 O ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m yzxyz则 ，由题意得，0,(,80)(,)(0,8)OABC(,6)(0,43)PE,0F因 ，因此平面 BOE 的法4G43E向量为 ， 得 ，又直线 不(,3)n(,FGnFG在平面 内，因此有 平面BE/BO（II）设点 M 的坐标为 ，则 ，因为0,xy0(4,3)Mxy平面 BOE，所以有 ，因
8、此有 ，即点F/Fn9,M 的坐标为 ，在平面直角坐标系 中， 的内部区域满足不等式组94,0xoyAOB，经检验，点 M 的坐标满足上述不等式组，所以在 内存在一点 ，使08xy M平面 ，由点 M 的坐标得点 到 ， 的距离为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m FBOEOAB94, x y z 2. 解法：（） ,ACBDO连 设1.APBG与 面 D交 于 点 ， 连 1/, ,APCG因 为 面 面 面故 。所以 。OC2m又 .11,ADBOBD所 以 面 故 GP即 为 与 面 所 成 的 角 。在 ，即 .Rt2tan3AOm中 ， 13故当 时，直线 。13mP1与 平
9、面 BD所 成 的 角 的 正 切 值 为 2（）依题意，要在 上找一点 ，使得 .1CQ1AP可推测 的中点 即为所求的 点。1AO因为 ，所以1.D1A11.DC面又 ,故 。PC面 P从而 11O在 平 面 上 的 射 影 与 垂 直 。解法二：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,)，C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).所以 (,0(,1)BDB).APmC又由 的一个法向量.11,AD知 为 平 面 B设 与 所成的角为 ，1B面 则 2|sinco()2PCm依题意有： ，解得 .2231()m1
10、3m故当 时，直线 。13AP与 平 面 BD所 成 的 角 的 正 切 值 为 2（）若在 上存在这样的点 ，设此点的横坐标为 ，1CQx则 。(,),(,0)Qxx依题意，对任意的 m 要使 D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于 AP。等价于1 1AP1(1)2Dx即 为 的中点时，满足题设的要求.1C3. () 在图甲中，由 ABC 是等边三角形，E，D 分别为 AB，AC 的三等分点，点 G 为BC 边的中点，易知 DEAF，DEGF，DE /BC 2 分在图乙中，因为 DEAF ，DE GF，AF FG=F，所以 DE平面 AFG又 DE/BC，所以 BC平面 AFG 4 分()
11、 因为平面 AED平面 BCDE，平面 AED 平面 BCDE=DE，DE AF，DEGF，所以 FA，FD ，FG 两两垂直以点 F 为坐标原点，分别以 FG，FD，FA 所在的直线为 轴，建立如图所示zyx,的空间直角坐标系 则 ， ， ，所以xyz)32,0(A)0,(B),2(E， 0) 6 分)32,(AB1BE设平面 ABE 的一个法向量为 ),(zyxn则 ，即 ，0BEn03取 ，则 ， ，则 8 分1xy1z)1,3(n显然 为平面 ADE 的一个法向量，),(m所以 10 分5|cosn二面角 为钝角，所以二面角DAEB的余弦值为 12 分54. 方法一：（1）证明：因为
12、AC=BC，M 是 AB 的中点，所以 CMAB又 EA 平面 ABC，所以 CMEM（2）解：过点 M 作 MH平面 CDE，垂足是 H，连结 CH 并延长交 ED 于点 F，连结 MF、MD，FCM 是直线CM 和平面 CDE 所成的角因为 MH平面 CDE，所以 MHED，又因为 CM平面 EDM，所以 CMED，则 ED平面 CMF，因此 EDMF设 EA a，BDBCAC2 a，在直角梯形 ABDE 中，AB2 a，M 是 AB 的中点，所以 DE3 a，EM ，MD a，6得EMD 是直角三角形，其中EMD90所以 MF 2ED在 RtCMF 中，tanFCM= =1，所以FCM=
13、45，MFC故 CM 与平面 CDE 所成的角是 45方法二：如图，以点 C 为坐标原点，以 CA，CB 分别作为 x 轴和 y 轴，过点 C 作与平面 ABC 垂直的直线为 z 轴，建立直角坐标系 C-xyz，设 EA=a，则A（2a，0，0） ， B（0， 2a，0） ， C（2 a ，0，a） ，A（0，2 a，2 a） ， A（a，a ，0）.（1）证明：因为 =（-a，a，-a） ， =（a，a，0） ，EM所以 =0，C故 .（2）解：设向量 n=（1， ， ）与平面 CDE 垂直，oy0x则 ， ，nED即 =0， =0.C因为 =（2a,0,a）, =(0,2a,2a),所以
14、y =2，z =-2，0即 n=（1，2，-2） ，2cos,CMnnA直线 CM 与平面 CDE 所称的角是 45.5. 方法一：（）证明：过点 作 交 于 ，连结 ，EGFDG可得四边形 为矩形，BC又 为矩形，AD所以 ，从而四边形 为平行四边形， AD故 因为 平面 ， 平面 ，EFGCF所以 平面 C（）解：过点 作 交 的延长线于 ，连结 BHEHA由平面 平面 ， ，得AAB平面 ，从而 所以 为二面角 的平面角F在 中，因为 ， ，所以 ， RtEFG 3D2E60CFE1G又因为 ，所以 ，C4从而 3B于是 sin2HA因为 ，taB所以当 为 时，二面角 的大小为 92E
15、FC60方法二：如图，以点 为坐标原点，以 和 分别作为 轴， 轴和 轴，建立， Dxyz空间直角坐标系 Cxyz设 ，ABaEbFc， ，则 ， ， ， ， (0)， ， (30)a， ， (30)B， ， (0)Eb， ， ()Fc， ，（）证明： ， ， ， ， ， ， B， ，所以 ， ，从而 ， ，CBEAACA所以 平面 因为 平面 ，DF所以平面 平面 故 平面 （）解：因为 ， ，(30)Ecb， ， (30)CEb， ，DABEFCHGDABEFCyzx所以 ， ，从而0EFCA|223()bc，解得 4，所以 ， (30)E， ， ()F， ，设 与平面 垂直，1nyz，
16、， AE则 ， ，A解得 3(1)na， ，又因为 平面 ， ，BEFC(0)BAa， ，所以 ，2|31|cos47nn，得到 92a所以当 为 时，二面角 的大小为 ABAEFC606. 方法一：（）解：取线段 EF 的中点 H，连结 A因为 及 H 是 EF 的中点，AEF所以 又因为平面 平面 BEF，及 平面 .EF所以 平面 BEF。如图建立空间直角坐标系 .Axyz则 (2,),(108,)(4,0)(1,).ACFD故 6FN设 为平面 的一个法向量(,)nxyzA所以 2060xyz取 ,(,2)zn则又平面 BEF 的一个法向量 (0,1)m故 3cos,|n所以二面角的余
17、弦值为 .3（）解：设 (4,0)FMxx则因为翻折后，C 与 A 重合，所以 CM= AM故 ，2222(6)80()()x得 14经检验，此时点 N 在线段 BG 上所以 2.FM方法二：（）解：取截段 EF 的中点 H，AF 的中点 G，连结 ，NH ，GHA因为 及 H 是 EF 的中点，AE所以 H/EF。又因为平面 EF 平面 BEF，所以 H 平面 BEF，又 平面 BEF，AF故 ，H又因为 G，H 是 AF，EF 的中点，易知 GH/AB，所以 GH ，AF于是 面 GH所以 为二面角 DFC 的平面角，GH在 中，RtAGH2,23GHA 所以 3cos.故二面角 DFC
18、的余弦值为 。A（）解：设 ，FMx因为翻折后，G 与 重合，所以 ，A而 2228(6)CDx22()()HGHx得 14x经检验，此时点 N 在线段 BC 上，所以 2.FM7. 解：（）证： ABAC，D 为 BC 的中点， BCADPO平面 ABC POBC，而 POAD=O BC平面 ADP APBC（）当 CMAP 时，二面角 A-MC-B 为直二面角， ， ，25OBC6PBC41A5APAM平面 MBC 平面 AMC平面AMMBMBC 254136cosPB 3cos41APA方法二：8. （）因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 是 的中位线，所以MNPBDMNPBD/又因为
19、平面 ，所以AC平面 （）方法一：连结 交 于 ，以 为原点， ， 所在直线为 ， 轴，建立空BOOxy间直角坐标系 ，如图所示xyz在菱形 中， ，得ACD120， 23B6AB又因为 平面 ，所以P在直角 中， ， ， ，得AC2PAQPC， 2Q4由此知各点坐标如下， ，(3,0)A(,30)B， ，CD， ，(3,026)P(,6)2M， (,)N3(,0)Q设 为平面 的法向量,xyzmAN由 ， 知3(,6)2AM3(,6)20362xyz取 ，得1x(,0)m设 为平面 的法向量yznQMN由 ， 知536(,)2Q 536(,)2065362xyz取 ，得z(,0)n于是3co
20、s,|mn|所以二面角 的平面角的余弦值为 AMNQ3方法二：在菱形 中， ，得ABCD120， ，A3B有因为 平面 ，所以P， ， ，PD所以 所以 BCD而 ， 分别是 ， 的中点，所以MN，且 Q12ABAN取线段 的中点 ，连结 ， ，则EQ， ，所以 为二面角 的平面角AQMN由 ， ，故23B6P在 中， ， ，得N3132BD2AE在直角 中， ，得PCQP， ， ，G4在 中， ，得B225cos6BCP2cosMQPMQ在等腰 中， ， ，得N53N21E在 中， ， ， ，得AQ32QE2A23cosEA所以二面角 的平面角的余弦值为 AMNQ39. 方法一：（）取 中点
21、 ，在线段 上取点 ，使得 ，连结 ， ，BDOCDFFCOPFQ因为 ，所以 ，且 3A/A14AD因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 是 的中位线，PBSMPBM所以 ，且 /12又点 是 的中点，所以 ，且 D/O14从而 ，且 /OPFQ所以四边形 为平行四边形，故 /FQ又 平面 ， 平面 ，所以 平面 BCDBC/PBCD（）作 于点 ，作 于点 ，连结GGHMH因为 平面 ， 平面 ，所以 ，ADAG又 ， ，故 平面 ，又 平面 ，所以 M又 ， ，故 平面 ，所以 ，HBCBCBMC所以 为二面角 的平面角，即 G60H设 D在 中， ，Rtcos2cs，inC2sinsBG
22、在 中， RtDM3iDH在 中， tCcostaninC所以 a3从而 ，即 6060BD方法二：（）如图，取 中点 ，以 为原点， ，OOP所在射线为 ， 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 yz xyz由题意知 ， ， (02)A， ， (02)B， ， (02)D， ，设点 的坐标为 ，因为 ，所Cxy， ， 3AQC以 0031()42Qx， ，因为 是 的中点，故 又 是 的中点，故 MAD(021)， ， PBM1(0)2P， ，所以 003(4Pxy， ，又平面 的一个法向量为 ，故 BC(1)a， ， 0PQa又 平面 ，所以 平面 QD/PBCD（）设 为平面 的一个法向量()
23、mxyz， ， M由 ， 知0021)C， ， (021)， ，0(2)xyzz取 ，得 102(1)ymx， ，又平面 的一个法向量为 ，于是BDM(0n， ，020| 1|cos=9yxmn，即 （1）203yx又 ，所以 ，故BCD0BC，000(2)(2)xyxy， ， ， ，即 （2）2联立（1） ， （2） ，解得 （舍去）或 02xy062xy所以 0tan3xBDCy又 是锐角，所以 610（1）因为 ， 平面 ， 平面 ， /AAEFBCADEF所以 平面 ， 3 分EF又 平面 ，平面 平面 ，B所以 6 分/C（2）在平面 内作 于点 ，DBH因为 平面 ， 平面 ，所以
24、 ，H又 ， 平面 ， ，AEAFED所以 平面 ，BH所以 是三棱锥 的高 9 分在直角三角形 中， ， ，所以 ，o60B2A3B因为 平面 ， 平面 ，所以 ，DCCA又由（1）知， ，且 ，所以 ，所以 ，12 分/EF/EFDEF所以三棱锥 的体积 14 分113326DEFVSH11. 如图，以 为正交基底，建立空间直角坐标系 1,AB Cxyz则 ， ， ， ，所以 ， ，(1,0)(0)(,2)1(0,)B1(0,)B(1,0)AB， 21（1）因为 ，13cos, 65CA所以异面直线 与 夹角的余弦值为 1BA04 分（2）设平面 的法向量为 ，1C(,)xyzm则 即10
25、,Bm20,xyz取平面 的一个法向量为 ；A(,1)所以二面角 平面角的余弦值为 10 分1BAC105H（第 16 题图）FACDEBxy（第 22 题图）ABCA1B1C112. （1）证明：因为 ， 是 的中点12ADBCN所以 ，又N/所以四边形 是平行四边形，所以 ADC又因为等腰梯形， ，60AB所以 ，所以四边形 是菱形，所以DN1302ABDC所以 ，即9C由已知可知 平面 平面 ，BAC因为 平面 平面所以 平面 4 分A（2）证明：因为 ， ， /D/,BC所以平面 平面/又因为 平面 ,所以 平面 8 分N/NAD（3）因为 平面 ,同理 平面 ，建立如图如示坐标系AB
26、C设 ，1B则 , , ， ，9 分(0)(30)C(,3)1(,0)2则 ，1,设平面 的法向量为 ，有 ， 得 N()nxyz0BCn(3,1)n设平面 的法向量为 ，有AC,m,mAN得 12 分)0,13(所以 13 分5cosn由图形可知二面角 为钝角ACN所以二面角 的余弦值为 14 分 5xzyACDB N13. （I） AD / BC， BC= AD， Q 为 AD 的中点，12四边形 BCDQ 为平行四边形， CD / BQ ADC=90 AQB=90 即 QB AD又平面 PAD平面 ABCD 且平面 PAD平面 ABCD=AD， BQ平面 PAD BQ 平面 PQB，平面
27、 PQB平面 PAD 5 分（II） PA=PD， Q 为 AD 的中点， PQ AD平面 PAD平面 ABCD，且平面 PAD平面 ABCD=AD， PQ平面 ABCD 如图，以 Q 为原点建立空间直角坐标系则平面 BQC 的法向量为 ； ， ，(0,1)n(,0)Q(,3)P， (0,3)B(,3C设 ，则 ， ，Mxyz,)Pxyz(1,)MCxyz ， 7 分t ， 10 分(1)3xtyztz） 131txytz在平面 MBQ 中， ， ，(0,3)QB3(,)1tMt 平面 MBQ 法向量为 ,mt二面角 M-BQ-C 为 30， ，23cos3030nmt 14 分3t14. 2
28、0解：（）证明： DCB，且 ， 2BD且 45C； 1 分 又由 A/，可知 A 2， 是等腰三角形，且 45DBA， 90DB，即 DB； 3 分 FD底面 ABCD 于 D， A平面 ABCD， DFA， 4 分 A平面 DBF.又 BF平面 DBF，可得 B. 6 分 （）解：如图，以点 C 为原点，直线 CD、CB、CE 方向为 x、y、z 轴建系.可得 )0,2(),02(),0(),2( A， 8 分 又 N 恰好为 BF 的中点， )1,(N. 9 分 设 ),0(zM，),2(0z.又 DFNB，可得 10z.故 M 为线段 CE 的中点. 11 分 设平面 BMF 的一个法向量为 ),(11zyxn，且 )2,(BF，)1,0(M，由 01nBMF可得 021zyx，取2311zyx得 )2,1(n. 13 分 又平面 MFC 的一个法向量为 )0,1(n， 14 分 63,cos2121n.故所求二面角 B-MF-C 的余弦值为 . 15 分yACMEDBN20 题解答xz
