1、函数专题之值域与最值问题一观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例 1 求函数 y=3+(23x) 的值域。点拨：根据算术平方根的性质，先求出(23x) 的值域。解：由算术平方根的性质，知(23x)0，故 3+(23x)3 。函数的知域为 .点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。练习：求函数 y=x(0x5)的值域。（答案：值域为：0，1，2，3，4 ，5）二反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
2、例 2 求函数 y=(x+1)/(x+2)的值域。点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。解：显然函数 y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1 2y)/ （y1）,其定义域为 y1的实数,故函数 y 的值域为yy1,y R。点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。练习：求函数 y=(10x+10-x)/(10x10-x)的值域。（答案：函数的值域为yy1）三配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例 3：求函数 y=(x2+x+2)的值域。点拨：将被开方数配方成完全
3、平方数，利用二次函数的最值求。解：由x2+x+20, 可知函数的定义域为 x 1，2。此时x2+x+2= （x1/2）29/40，9/40 x2+x+23/2,函数的值域是0,3/2点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。练习：求函数 y=2x5 15 4x 的值域.(答案: 值域为yy3)四判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。例 4 求函数 y=(2x22x+3)/(x2x+1)的值域。点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域
4、。解：将上式化为（y2）x2(y 2)x+(y-3)=0 （）当 y2时,由 =(y2)2 4（y2）x+(y3)0 ，解得：2x10/3当 y=2 时,方程()无解。函数的值域为 2y10/3。点评：把函数关系化为二次方程 F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如 y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及 y=ax+b(cx2+dx+e)的函数。练习：求函数 y=1/(2x23x+1) 的值域。（答案：值域为 y8 或 y0）。五最值法对于闭区间a,b上的连续函数 y=f(x),可求出 y=f(x)在区间a,b内的极值,并与边界值 f(a
5、).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数 y 的值域。例 5 已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)0,且满足 x+y=1,求函数 z=xy+3x 的值域。点拨：根据已知条件求出自变量 x 的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。解：3x2+x+10 ，上述分式不等式与不等式 2x2-x-30同解，解之得1x3/2，又x+y=1，将 y=1-x 代入 z=xy+3x 中，得 z=-x2+4x(-1x3/2),z=-(x-2)2+4 且 x-1,3/2,函数 z 在区间-1,3/2上连续，故只需比较边界的大小。当 x=-1 时，z= 5；当 x=3/2 时，z=15/4。函
6、数 z 的值域为z5z15/4。点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。练习：若x 为实数，则函数 y=x2+3x-5 的值域为 （ ）A（，） B7， C0，） D5， ）（答案：D）。六图象法通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。例 6 求函数 y=x+1+(x-2)2 的值域。点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。解：原函数化为 2x+1 (x1)y= 3 (-12)它的图象如图所示。显然函数值 y3,所以，函数值域 3，。点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域，体现
7、数形结合的思想。是解决问题的重要方法。求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。七单调法利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。例 1 求函数 y=4x1-3x(x1/3) 的值域。点拨：由已知的函数是复合函数，即 g(x)= 1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为 x1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。解：设 f(x)=4x,g(x)= 1-3x ,(x1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而 y=f(x)+g(x)= 4x1-3x 在定义域为 x1/3上也为增函数，而且 yf(1/3)+g(1/3)=4/3,
8、因此，所求的函数值域为y|y4/3。点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数 y=3+4-x 的值域。( 答案：y|y3)八换元法以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。例 2 求函数 y=x-3+2x+1 的值域。点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。解：设 t=2x+1 （t0 ）,则x=1/2(t2-1)。于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-41/2-4=-7/
9、2.所以，原函数的值域为y|y7/2。点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数 y=x-1 x 的值域。（答案：y|y 3/4九构造法根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。例 3 求函数 y=x2+4x+5+x2-4x+8 的值域。点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为 f(x)=(x+2)2+1+(2-x)2+22作一个长为 4、宽为 3 的矩形 ABCD，再切割成 12 个单位正方形。设 HK=x,则 ek=2-x,KF
10、=2+x,AK=(2-x)2+22 ,KC=(x+2)2+1 。由三角形三边关系知，AK+KCAC=5。当 A、K 、C 三点共线时取等号。原函数的知域为y|y5。点评：对于形如函数 y=x2+a (c-x)2+b(a,b,c均为正数 )，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。练习：求函数 y=x2+9 +(5-x)2+4的值域。（答案： y|y52）十比例法对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。例 4 已知 x,yR ，且 3x-4y-5=0,求函数 z=x2+y2 的值域。点拨：将条件方程 3x
11、-4y-5=0 转化为比例式，设置参数，代入原函数。解：由 3x-4y-5=0 变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k 为参数)x=3+4k,y=1+3k,z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。当 k=3/5 时，x=3/5,y=4/5 时，zmin=1。函数的值域为z|z1.点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。练习：已知 x,yR，且满足 4x-y=0,求函数 f(x,y)=2x2-y 的值域。（答案：f(x,y)|f(x,y)1）十一
12、利用多项式的除法例 5 求函数 y=(3x+2)/(x+1)的值域。点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。解：y=(3x+2)/(x+1)=31/(x+1) 。1/(x+1)0 ，故 y3。函数 y 的值域为 y3的一切实数。点评：对于形如 y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。练习：求函数 y=(x2-1)/(x-1)(x1)的值域。（答案：y2）十二不等式法例 6 求函数 Y=3x/(3x+1)的值域。点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。解：易求得原函数的反函数为 y=log3x/(1-x),由对数函数的定义知 x/(1
13、-x)01-x0解得，0x1 或 y0）的值域为-1，4，则 ,b 的值为_1)(2xbaf a17函数 的最大值是 503y18已知 a,b 为常数，若 则 22()43,()104,fxfaxbx5ab三、解答题：19. 求下列函数的值域（1） ； 542xy（2） ； 1（3） xy1220 已知函数 的值域为1，3 ，求实数 b、 c 的值。2()(0)xbcf21设函数 ，41)(2xf（1）若定义域为0，3，求 的值域；)(f（2）若定义域为 时， 的值域为 ，求 的值.1,ax16,2a22. 已知函数： )(1)( axRxaf 且（1）证明： 对定义域内的所有 都成立.2)0
14、f x（2）当 的定义域为 时，求证： 的值域为 ；()fx,1()f3,2*（3）设函数 , 求 的最小值 .2|()|gxafgx函数的值域与最值参考答案（三）例题讲评例 1 (0,;4,3)(,;1432例 2 60,yxx及，最大值 18；最小值278()(0)Z 27例 3 ； ； ；1,),33,例 4 ，当且仅当22(1)()44(1)2xxy x时取等号；即 时，y 的最小值是 2。没有最大值。1()另外 方法同上，即 时，y 的最大值是 。没有最小值。2213xy1x1说明：本题不能用判别式法。因为 。若用判别式法得 ，当 时，R62y16求得 ，不合。3x例 5 ；,);(
15、,245,);0,3（以上各小题考虑了各种方法的顺序，有的方法给出 2 个小题，有的题目可以多种方法导数法暂不考虑。 ）（四）练习题一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13答案 B C B A A B D C C C A C C9.提示：令 ，实际是将原函数图象的点的横坐标)1()2)1() xfgxfg缩短变为原来的二分之一，纵坐标不变。故最值不变。10. 提示：由 ，4ababab1()145二、填空题14.7； 15.4012； 16. =4, b=3； 17. 4； 18.2。a15.提示： 用赋值法或令 ()(fabf()2xf三、解答题19 解析先
16、确定函数的定义域，正确选择方法，并作出相应的数式变换.（1）函数的定义域为 ，5,1x且令 ，09,)2(542 uxu且即 或 ，04049u或函数的值域为 ；),(,(（注）这里运用了不等式性质： ；ba10解法二原函数等价于 ，0)45(,4)5(22 yxyxy即当 时，得4=0，矛盾， ，0y，),1(xRx且，0)49(04562 yy解得函数的值域为 .),0(94,(（2）函数的定义域为 .作换元，令 ，21,( )0(2121txt上为增函数，),0)(,)(1在tftty，函数的值域为 ；2)0(f ,21解法二令 ，原函数 ，xfx)(,21 )(21xffy 在定义域内
17、都是减函数，)(21fx与原函数 在定义域 是减函数， ，y21,(2)(fy而当 时， ，函数的值域为 .x,21（3）函数的定义域为 ，x，)10()1(2122xxy由二次函数性质知函数的值域为0，1；解法二令 ， ，12xt )(2t，10,)(2yttfy即函数的值域为0，120由 y= 得 (2 y)x2+bx+c y=0,(*)12xcb当 y20,由 xR,有 =b24(2 y)(c y)0即 4y24(2+ c)y+8c b20，由已知得 2+c=1+3 且 =13482b b=2,c=2 又 b0, b=2, c=2, 而 y2=0, b=2, c=2 代入（*）式得 x=
18、0 b=2, c=2 为所求21解： ，对称轴为 ，21)()xf21x（1） ， 的值域为 ，即 ；03)(f )3(,0f47,1（2） 对称轴 ，,21)(minxf1,2ax，321aa区间 的中点为 ，,210x当 时，,21aa即，164)()1(,6)()( 2max aff不合） ；9430748162当 时， ，2,a即 )()(maxff不合） ；415051642 a综上， .3或22.（1）证明： xaxafxf 2)2()( 0121aa结论成立 （2）证明： xxxf )()当 12,12111 xaxaaaa时即 23x,3)(值 域 为f（3）解： |)(xg当 axagax 4)21()(,12时且如果 即 时，则函数在 上单调递增21,和，2min)()(xg如果 agxaa 43)21(,1min时即 当而当 时， 在 处无定义，故 最小值不存在2)(g)(x当 45)21()(12 axaxgax时如果 )(3ming时即如果 2min)1()(1,2 agxx上 为 减 函 数在时即当 043120)(45)1(3 22 aaa时当时综合得：当 时 g（ x）最小值是23当 时 g（ x）最小值是31a2)1(a当 时 g（ x）最小值为45当 时 g（ x）最小值不存2
