1、分式的概念、运算及分式方程一、知识框架 ：二、知识概念：1.分式：形如 ， 是整式， 中含有字母且 不等于 0 的整式叫做分式.其中 叫做分式的分子，AB、 BA叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于 0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为 1 的数）约去，这种变形称为约分. 5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：同分母分式加减法则：
2、同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：abc异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： acdbb分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分 母相乘的积作为积的分母.用字母表示为： acbd分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为： cc分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：nab8.整数指数幂： （ 是正整数）mnan、 （ 是正整数）、 （ 是正整数）nb （ ， 是正整数， ）mn0am、 n （ 是正整数）na
3、（ ，n 是正整数）1na09.分式方程的意义 :分 母 中 含 有 未 知 数 的 方 程 叫 做 分 式 方 程 . 10.分 式 方 程 的 解 法 : 去 分 母 (方 程 两 边 同 时 乘 以 最 简 公 分 母 ,将 分 式 方 程 化 为 整 式 方 程 ); 按 解整 式 方 程 的 步 骤 求 出 未 知 数 的 值 ; 验 根 (求 出 未 知 数 的 值 后 必 须 验 根 ,因 为 在 把 分 式 方 程 化 为 整式 方 程 的 过 程 中 ,扩 大 了 未 知 数 的 取 值 范 围 ,可 能 产 生 增根) . 模块一 分式的概念【例 1】 为何值时，分式 有意
4、义？x2913x【巩固】若分式 有意义，则 ;26()4xx若分式 无意义，则 ;13解下列不等式： ；503x523x【巩固】解不等式 ； 04x解不等式 .3模块二 分式的运算分式的化简求值裂项【例 2】 设 n为正整数，求证： 11.35(2)2n.【巩固】化简： 11.()()2(9)0xxx.【巩固】化简： 222221111356790xxxxx【例 3】 化简：222()()()abcacabbc.【巩固】已知 a， b， c为实数，且 13ab， 4c， 15a，求 abc.【巩固】化简： 222abcbcacab.分式的恒等变形部分分式【例 4】 下面的等式成立： ，求 、
5、.2465()()xyxyABA【巩固】若代数式 恰好能分解为两个二次整式的乘积(其中二次项系数均为 1，(1)2(3)xxp且一次项系数相同)，则 的最大值是 .【例 8】 若 ，求 、 的值.2131aMN【巩固】已知 与 的和等于 ，求 ， .2axb24xab分式恒等证明【例 9】 求证： 332222222aaabbbab【巩固】已知 、 、 为三个不相等的实数，且 ，求证： .xyz 11xyzx21xyz条件分式求值【例 10】 已知 满足 ，则 的值为（ ）xyz， ， 235xyzx2yzA.1 B. C. D.1311【巩固】设有理数 都不为 0，且 ，abc， ， 0ab
6、c则 的值为_。22222111分式与数论【例 11】 将 写成两个因式的积，使它们的和为 ，求这两个式子。abab【巩固】求最大的正整数 ，使得 能被 整除。n310n模块三 分式的方程解分式方程【例 5】 解方程：2234189xx【巩固】解方程： 22211009045169xxx【巩固】解方程： 22211108838xxx分式方程的增根及根的讨论【例 12】 已知关于 的方程 有一个正整数解，求 的取值范围x23mxm【巩固】当 为何值时，关于 的方程 的解为负数？mx123(2)3xmx【巩固】关于 的方程 的解也是不等式组 的一个解，求 的取值范围x214xm12(3)8xm一元
7、一次分式方程的应用【例 13】 为响应低碳号召，李老师上班的交通方式由开汽车改为骑自行车李老师家距学校 10 千米，由于汽车的速度是自行车速度的 4 倍，所以李老师每天比原来提前 30 分钟出发，才能按原来的时间到校，求李老师骑自行车的速度【巩固】为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的 1200 件新产品进行精加工后再投放市场现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 10 天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的 倍1.5根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别
8、能加工多少件新产品？【巩固】某铁路有一隧道，由 A 队单独施工，预计 200 天贯通为了公路早日通车，由 A，B 两队同时施工，结果 120 天就贯通了试问：如果由 B 队单独施工，需要多少天才能贯通？二元一次分式方程的应用【例 14】 “端午”节前，第一次爸爸去超市购买了大小、质量都相同的火腿粽子和豆沙粽子若干，放入不透明的盒中，此时随机取出火腿粽子的概率为 ；妈妈发现小亮喜欢吃的火腿粽子偏少，第二次13妈妈又去买了同样的 5 只火腿粽子和 1 只豆沙粽子放入同一盒中，这时随机取出火腿粽子的概率为12（1 ）请计算出第一次爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只？（2 ）若妈妈从盒中取出火腿粽子
9、 4 只、豆沙粽子 6 只送爷爷和奶奶后，再让小亮从盒中不放回地任取 2 只，问恰有火腿粽子、豆沙粽子各 1 只的概率是多少？（用字母和数字表示豆沙粽子和火腿粽子，用列清法计算）【巩固】内江市对城区沿江两岸的部分路段进行亮化工程建设，整个工程拟由甲、乙两个安装公司共同完成从两个公司的业务资料看到：若两个公司合做，则恰好用 12 天完成；若甲、乙合做 9 天后，由甲再单独做 5 天也恰好完成如果每天需要支付甲、乙两公司的工程费用分别为 1.2 万元和 0.7 万元试问：（1）甲、乙两公司单独完成这项工程各需多少天？（2）要使整个工程费用不超过 22.5 万元，则乙公司最少应施工多少天？【巩固】用
10、大、小两种货车运送 360 台机械设备，有三种运输方案方案 1：设备的 12 用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车 27 辆；方案 2：设备的 13 用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车 28 辆；方案 3：设备的 23 用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车 26 辆；（1）每辆大、小货车各可运送多少台机械设备？（2）如果每辆大货车的运费比每辆小货车的运费高 m%（m0） ，请你从中选择一种方案，使得运费最低，并说明理由分式方程组解分式方程组的关键就是利用换元法或者倒数法，将复 杂 的分式方程组转化为整式方程组，然后利用解整式方程组的方法进行求解，得到 换元后的未知数的值，代入后得
11、到 的解,xyz【例 15】 解方程组：1231 49 62 xyzxyz【巩固】解方程组612830xy 【巩固】解方程组：542 1730 xy【例 16】 解方程2211abca，其中 0， b， 0c【巩固】解方程组3162xy检测：【练习 1】解方程 221170xx【练习 2】化简： ()()()abccacab【练习 3】若对于 以外的一切数， 均成立，求 .2839mnxxmn【练习 4】若关于 的恒等式 中， 为最简分式，且有 ， ，x2MxNcaxb2MxNabc求 .N【练习 5】若 ， ， ，求证：abxcyaz(1)()1()xyzxyz【练习 6】解方程组：213(
12、)4xyzy课后作业1. 解方程263104210xx2. 解方程 16252736xx3. 将 化为部分分式.269x4. 若 21()axby，且 0ab，求 11.()1(207)()xyxy的值5. 若 ，求证： .1abc 11abca6. 解方程组：4503xy章节复习1 填空：（1）当 x 时，分式 有意义。 （2）当 x 时，分式 有意义。（3）当 b_时，分式 有意义。（4）当 x、y 满足关系 时，分式 有意义。2 下列变形正确的是（ ）（A） （B） （C） （D）abab1abab下列各分式中，最简分式是（ ）A、 B、 C、 D、yx8534yx22xy2yx3 下列
13、约分正确的是（ ）A、 B、 C、 D、31m121369abyxab将分式 的分子和分母中的各项系数都化为整数，应为（ ）.（A） （B） （C） （D）x-2y3x+5y 15x-15y3x+5y 15x-30y6x+10y x-2y5x+3y4 计算：(1) ； (2) ； (3) ； (4) 24abcd224aa；236497m5 计算：（1） （2） ( )2 (3) ( )3 ( )22x5x-3 325x2-9 x5x+3 -2a2b3c a2b-cd3 2ad3 c2a6 计算：（1） (2) +5x+3yx2-y2 2xx2-y2 12p+3q 12p-3q(3) (4)
14、1()4abb()()11xx7 计算： 8 解方程 231()xy 352162x9 一艘轮船在静水中的最大航速为 20 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行 100 千米所用的时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等，江水的流速为多少？真题演练1下列各式与 相等的是（ ）xyA. B. C. D.()5xy2xy2()xy2xy2解分式方程 + = ，下列四步中，错误的一步是（ ）13x261A方程两边分式的最简公分母是 x2-1;B方程两边都乘以（x 2-1） ，得整式方程 2（x-1）+3（x+1）=6;C解这个整式方程得：x=1 D原方程的解为 x=1;3若 的值为-1,则
15、x 的值等于（ ） 25xA. - B. C. D. -3537374分式方程 =2 的解为( )x15A x=4 B x=3 C x=0 D无解5、甲队在 天内挖水渠 米，乙队在 天内挖水渠 米，两队一起挖水渠 米，需要的天数manbs为（ ） A、 B、 C、 D、以上均不对bsmasans6、某大队要筑一条水坝，需要在规定日期内完成如果由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，需要超过规定日期三天，现由甲、乙两队合作 2 天后，余下的工程由乙队独自去做，恰好在规定日期内完成，求规定日期为 ，下面所列的方程中，正确的是（ ）xA、 B、132x 13xC、 D、x)(7关于 x 的方程 有增
16、根,则 k 的值为_87xk8若分式 的值为零，则 x 的取值范围是 _ 239当_ 时，分式 的值为正数2x10若 的值是 _ 13,yxy-则 分 式 +411已知 xy12，x+y4，则 _ 1x12若 x 满足 x24x+1=0，则 的值是_ 4213观察下列各式： ，由此总结出规律，若 n22234,3815表示大于 1 的正整数，请用含有 n 的式子表示出此规律：_ 14若关于 x 的分式方程 无解，则 m 的值为_.32x15若 _.1,324则16若 与 的值相等，则 x=_12()()17计算： =_. 2150(3)18计算题（1） （2） 42aa )25(3xx（3）( ) （ ） (4) yxyx2 x1 y 2411x(5) ； (6) ； (7) 213()4x2x22241xx19解方程：(1) (2) 12x 2 2230xx 20已知 求代数式 的值。,16,2, 2zyxzyxz yzxyzx212121已知 且 求 m 的值。,0142a,531234a22已知 , , ,求代数式 的值.3ba4c15acabc23已知 ，求 的值1abc11bcaca24已知 ，求证：xyzabc0xyz25已知 ，且 互不相等，求证：11abca,bc21abc
