1、重心和形心,工程实践中常常需要计算或测定结构物重心的位置，而求物体重心的问题，实质上就是求平行力系的合力问题。,任一物体都由无数个微元体组成，这些微元体的体积小至可看成是质点。任一微元体所受重力（即地球的吸引力）Pi ，其作用点的坐标xi、yi、zi与微元体的位置坐标相同。所有这些重力构成一个汇交于地心的汇交力系。由于地球半径远大于地面上物体的尺寸，这个力系可看作一同向的平行力系，其合力即为物体的重量，而此力系的中心则为物体的重心。,5-1 重心和形心的坐标公式,1. 重心坐标的一般公式,右图是一个空间力系，则,P=Pi,合力的作用线通过物体的重心，由合力矩定理,即,于是有,同理有,为确定 z
2、C ，将坐标系连同物体绕y轴转90 ，使重力与x轴平行，得,2. 均质物体的重心坐标公式,这时物体容重g 是常量，则,于是有,上式也就是求物体形心位置的公式。即对于均质的物体，其重心与形心的位置是重合的。,3. 均质等厚薄板的重心和平面图形的形心,对于均质等厚的薄板，如取平分其厚度的对称平面为xy平面，则其重心的一个坐标zC 等于零。设板厚为d ，则有,V =Ad， Vi = Aid,则,上式也即为求平面图形形心的公式。,5-2 确定重心和形心位置的具体方法,（1）积分法； （2）组合法； （3）悬挂法； （4）称重法。,具体方法：,1. 积分法,对于任何形状的物体或平面图形，均可用下述演变而
3、来的积分形式的式子确定重心或形心的具体位置。对于均质物体，则有,若为平面图形，则,例5-1 用积分法求下列平面图形的形心位置。,解：建立如图所示坐标系，则,xC= 0,现求 yC 。,则,代入公式有,下面通过例子来说明。,例5-1 角钢截面的尺寸如图所示，试求其形心位置。,解：取Oxy坐标系如图(b)所示，将角钢分割成两个矩形，则其面积和形心为：,由组合法，得到,将截面看成是从200mm150mm的矩形中挖去图中的小矩形（虚线部分）而得到，从而,x1= 75 mm,y1= 100 mm,A2= -180130 = -23400 mm2,故,两种方法的结果相同。,x2= 85 mm,y2= 11
4、0 mm,3. 悬挂法,以薄板为例，只要将薄板任意两点A和B依次悬挂，画出通过A和B两点的铅垂线，两条铅垂线的交点即为重心C的位置，如图。想一想，为啥？,4. 称重法,对较笨重的物体，如汽车，其重心测定常采用这种方法。,图示机床重2500 N，现拟用“称重法”确定其重心坐标。为此，在B处放一垫子，在A处放一秤。当机床水平放置时，A处秤上读数为1750N，当=20 时秤上的读数为1500 N。试算出机床重心的坐标 。,思考题5-1,边长为a的均质等厚正方形板 ABCD，被截去等腰三角形AEB。试求点E的极限位置 ymax以保证剩余部分AEBDC的重心仍在该部分范围内。,例题5-2：,解：采用负面积法分析,极限位置 yC= ymax,：,：, 即,解方程得,展开得,
