1、12.1 认识无理数一：预习探究1.做一做(1)在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？(2)设该正方形的边长为 b，则 b 应满足什么条件？ (3)b 是有理数吗？二：展示探究1.为了加固一个高 2 米、宽 1 米的大门，需要在对角线位置加固一条木板，设木板长为 a米，则由勾股定理得 a2=12+22，即 a2=5，a 的值大约是多少？这个值可能是分数吗？2x 2=8，则 x_分数，_整数，_有理数 （填“是”或“不是” ）三：当堂训练1.下图是由 16 个边长为 1 的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度
2、不是有理数的线段.四：中考链接如图，在ABC 中，CD AB ，垂足为 D，AC=6，AD=5，问：CD 可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？2四、无理数的概念事实上，这些数既不是整数又不是分数，它们是无限不循环小数。又叫无理数。1无理数(1)无理数的概念无限不循环小数叫做无理数(2)有理数与无理数的区别事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数来表示；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数如 3 可看做 3.0 这样的有限小数，也可以化为 这样的分数形31式；无限循环小 数都可以化为分数，如：3.14 可化为 3 .750有理数与无理数的主要区别：无理数是无限不循环小数，有
3、理数是有限小数或无限循环小数；任何一个有 理数都可以化为分数的形式，而无理数不能【例 1】 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3141 592 6， ，2. ，6.751 755 175 551 7(相邻 7,1 之间 5 的个数逐次加 1),0，43 5 8 ，5.2 ， .227 3 2解：有理数有：来源:学科网无理数有：来源:学科网2无理数的常见类型判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环的小数，无理数常见的形式主要有三种：(1)一般的无限不循环小数， 如 1.414 213 56是无理数看似循环而实质不循环的小数，如 0.101 001 000 1(相邻两个 1
4、之间 0 的个数逐次增加 1)是无理数(2)圆周率 以及含 的数，如 ，2 ，5，都是 无理数(3 )开方开不尽的数( 下一节学到) 【例 3】 下列各数，哪些是有理数？哪些是无理数？0， ，4,0. ， ，1.112 111 211(相邻两个 2 之间 1 的个数逐次加 1)，3.141 592 2 12 1177.解：辨误区 与 3.141 592 7 的区别3141 592 7 属于有限小数，不是 ，要注意区分2.2 平方根1平方根(1)平方根的概念：如果一个数 x 的 平方等于 a，即 x2a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根( 也叫做二次方根).3 29，所以 3 是 9 的平方
5、根(3) 29，所以3 也是 9 的平方根，所以 9 的平方根是 3 和3.(2)平方根的表示方法：正数 a 的平方根可记作“ ”，读作 “正、负根号 a” “ ”a读作“根号” ， “a”是被开方数例如：2 的平方根可表示为 .来源:Zxxk.Com2(3)平方根的性质：正数 a 的平方根有两个，它们互为相反数 ；只有 020，故 0 的平方根为 0；由于同号的两个数相乘得正，因此任何数的平方都不会是负数，故负数没有平3方根综合上述：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 只有一个平方根，它是 0本身；负数没有平方根如：4 的平方根有两个：2 和2，4 没有平方根【例 11】 求下列各数的
6、平方根（1） 100 （2） 169 （3） 0.25 （4） -16 (5)81； (6)(7) 2； (7)1 .1549练习：1.求下列各数的平方根.(1)121；(2)0.01；(3)2；(4)(13) 2；2.算术平方根(1)算术平方根的概念：如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根(2)算术平方根的表示方法：正数 a 的算术平方根记作“ ”，读作“根号 a”a(3)算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0 的算术平方根是 0；负数没有平方根，当然也没有算术平方根淡重点 算术平方根的性质(1)只有正数和 0(即非负数)才有算术平方
7、根，且算 术平方根也是非 负数；(2)一个正数 a 的正的平方根就是它的算术平方根如果知道一个数的算术平方根，就可以写出它的负的平方根【例 2】 求下列各数的算术平方根：(1)0.09；(2) .121169解：(1)0.3 20.09，0.09 的算术平方根是 0.3，即 0.3；0.09(2)练习 ：1、判断题（正确的打“” ，错误的打“” ） ；（1）任意一个数都有两个平方根，它们互为相反数； （ ）（2）数 a 的平方根是 a； （ ）（3）4 的算术平方根是 2； （ ）（4）负数不能开平方； （ ）（5） 6=8 （ ）2. 4 的平方的算术平方根是（ ）43计算：（1）- 9=
8、（2） 9= （3） 16 = （4） 0.25=4求下列各数的平方根（1）100； （2）0；（3） 5；（4）1；（5）1 549；（6）009 6 18的平方根是_；9 的平方根是_【例 12】 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；若没有，请说明理由(1) ；(2)0；(3) 9；(4)|0.81|；(5) 2 2.94解：3开平方求一个数 a(a0)的平方根的运算，叫做开平方，其中 a 叫做被开方数开平方运算是已知指数和幂求底数【例 3】求下列各式中的 x 的值 25=01962x0152236x【例 5】小明家计划用 80 块正方形的地板砖铺设面积是 20 m2 的客厅，试问
9、小明家需要购买边长是多少的地板砖？解：4. 与( )2 的关系a2 a表示 a 的算术平方根，依据算术平方根的定义，( )2a(a0). 表示 a2的算术平a a a25方根，依据算术平方根的定义，若 a0，则 a2 的算术平方根为 a；若 a0，则 a2 的算术平方根为a，即 |a| Error!a2联系：在运算时，都有平方和开平方的运算两式运算的结果都是非负数，即( )a20， 0.仅当 a0 时，有( )2 .a2 a a2点技巧 巧用( )2aa将( )2 a 反过 来就是 a( )2，利用此式可使某些运算更为简便a a【例 4】 化简：( )2_； _.6 ( 7)2【例 51】 (
10、1)求(3) 2 的平方根；(2)计算 ；144(3)求(3.142) 2 的算术平方根；(4)求 的平方根16【例 52】 求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .81 16925 ( 4)2解：(1)(2)(3)(4)弄清与平方根有关的三种符号 ， ， 的意义是解决这类问题的关键 表示非aa a a负数 a 的平方根， 表示非负数 a 的算术平方根， 表示非负数 a 的负平方根注意a a .在具体解题时， “ ”的前面是 什么符号，其 计算 结果就是什么符号，既不能漏掉，a a也不能多添5巧用算术平方根的两个“非负性”众所周知，算术平方根 具有双重非负性：a(1)被开方数具有非负性，即 a0.(2) 本身具有非负性，即 0.由于初中阶段学习的非负数有三类，即一个数的绝对a a值，一个数的平方(偶次方)和非负数的算术平方根关于算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题，一般情况下都是它们的和等于 0的形式此类问题可以分成以下几种形式：(1)算术平方根、平方数、绝对值三种中的任 意两种组成一题| |( ) 20，| | 0，( ) 2 0 ，甚至同一道题目中同时出现这三个内容| | ( )2 0 【例 61】 若 y 6 ，则 x_，y_. x2【例 62】 若|m1| 0，则 m_，n_.n 5
