1、第一章 函数、极限与连续微分小结一、概念部分：1、函数的概念；复合函数和初等函数的概念；2、函数极限的定义；无穷大量与无 穷小量的概念；极限的法 则；两个重要极限；3、函数连续的概念；连续的判断； 间断点的判断与分类；初等函数的 连续性；闭区间上连续函数的性质。二、运算部分：1、求极限（1）利用极限的四则运算法则；（2）对于分式的极限，利用无穷 大量与无穷小量的关系；（3）对于分式的极限，若分子分母的极限都为零， 进行因式分解，消去公因式；（4）对于 ，其中 的多项式，可以利用公式 。)(limXQxPxxQ。)( A（5）利用两个重要极限公式；（6）利用函数的连续性；（7）利用无穷大量与无穷
2、小量的性质；（8）利用替换等价无穷小量的办法；（9）对于分段函数，在分段点的两 侧比较左右极限的办法；（10）对于不定型的极限应用洛必达法则（留待下一章介绍）。三、典型题例：(一)、选择题：1、函数 在点 处有定义是 存在的（ ）)(xfy0)(lim0xfA、必要非充分条件； B、充分非必要条件； C、充分必要条件； D、无关条件。2、 等于（ ）)(sinlm20。xA、 ； B、 ； C、 ； D、 。12m213、 等于（ ）kexkx。2)1(limA、 ； B、 ； C、 ； D、 。221214、当 时，下列（ ）为无穷小量0A、 ； B、 ； C、 ； D、 。xexsinxs
3、inxsin5、在 趋近于（ ）时， 不是无穷小量。1)(3yA、 ； B、 ； C、 ； D、 。106、设 时， （ ）)()(22 xgexfx。A、 高阶无穷小量； B、 低阶无穷小量； g。 )(gf。C、 等价无穷小量； D、 同阶、而等价的无穷小量。)(f7、设 在 内连续， 则 分别为（ ）xbaxf1,0,2),(ba,A、 ； B、 ； C、 ； D、 。0,322,31,8、设 在 处连续，且 ，则 （ ）)0(sin)(xaxf 2)0(faA、 ； B、 ； C、 ； D、 。22121(二)、填空题：1、设 ，则 )()(3)(lim,li1 xhfxgxhxg。
4、)(43lim21xf。2、当 时，函数 ，则 。xf)()(2lif3、设 ，则 。0,21,)(xxf )(lim0xf4、设 在点 处连续， 则 。)(aexf。 a5、设 。)()(lim21)(13 xffxf x。(三)、简答题：1、设 。baxbax5li22、设 。x 0)1(lim23、求下列函数的间断点，并判断其类别：（1） ； （2） ；)(32xf xfsin)(（3） ； （4） 。02sin)(xf。 01i)(xf。4、试判定方程 )(3)(2)(1x有几个根？这些根分别在什么范围内？5、判定方程 至少有一个正根。03x6、设 处连续，且 。2)(f。 )421)
5、(lim3)2(2xffx。7、若当 ，求 。2tan033xx。(四)、计算题：1、 ； 2、 ；xx10)2lim1)(lim21xx3、 ； ； ；15li2x 43lix 34li2x4、 ； ； ；xsin)l(0extan1li20xxcot0)(li5、 ； 6、123limn xxsin432lim7、 ； 8、 （令 ）。)sin(silxxx xi1l21t四、习题解答：（一）、选择题：1、函数 在点 处有定义是 存在的（D）)(xfy0)(lim0xfA、必要非充分条件； B、充分非必要条件； C、充分必要条件； D、无关条件。2、 等于（ ）)(sinlm20。x2A、
6、 ； B、 ； C、 ； D、 。12m213、 等于（B ）kexkx。2)(liA、 ； B、 ； C、 ； D、 。22124、当 时，下列（B）为无穷小量0A、 ； B、 ； C、 ； D、 。xexsinxsinx1sin5、在 趋近于（B）时， 不是无穷小量。1)(3yA、 ； B、 ； C、 ； D、 。106、设 时， （D）)()(22 xgexfx。A、 高阶无穷小量； B、 低阶无穷小量； g。 )(gf。C、 等价无穷小量； D、 同阶、而等价的无穷小量。)(f7、设 在 内连续， 则 分别为（B）xbaxf1,0,2)( ),(ba,A、 ； B、 ； C、 ； D、
7、 。0,322,31,8、设 在 处连续，且 ，则 （C）)0(sin)(xaxf 2)0(faA、 ； B、 ； C、 ； D、 。22121二、填空题：1、设 ，则 12 。)()(3)(lim,)(li1 xhfxgxhxg。 )(43lim21xf2、当 时，函数 ，则 2 。f lix3、设 ，则 。0,21,)(xxf )(li0fx14、设 在点 处连续， 则 1 。)(aexf。 a5、设 。)()(lim21)(13 xffxf x。25三、简答题：1、设 。baxbax5li2解： 51)1()(limli 2121 xbaxx67520baba2、设 。babaxx 0)
8、1(lim2解： 01)()()1(limli 22 xbaxx101baa3、求下列函数的间断点，并判断其类别：（1） 是第一类、可去 间断点；1)(32xxf（2） 是第一类、可去 间断点；0sinf（3） 是第一类、可去 间断点；)(xxf。（4） 是第二类、振 荡间断点。001sin)(xxf。4、试判定方程 0)1(3)(2)( xx有几个根？这些根分别在什么范围内？解：令 )()3()2(1)(xxf，03，)()2(f，213，0)2(12,f。，0)(11xf。，)3(3,f。，)(222xf。因为二次函数至多有二个实数根，因此可知 ，即为所求的两个 实数根，且分 别在区间 内
9、。21x。 )32(15、判定方程 至少有一个正根。03解：令 )(3xf，0，7)2(f，0)2(,f。，0)(0f。即至少存在一个正根。6、设 处连续，且 。2)(xf。 )421)(lim3)2(2xffx。解： 处连续，且 ，3)(lim2fxf)421(li)li4122 xxfx 3(m3()(li) 02 xfxx7、若当 ，求 。2tan033xx。解： 。112tlimtanli3030 axx四、计算题：1、 ；exxxxx 21201010 )(lim)2(li)2(li2、 ；)1(li1)(lim121 xxx3、 ； ； ；5li2x 0423lixx 342lixx4、 ； ；lisin)1l(00xx 3limtan1li00exx；210tan1t0cot0 )(li)(lim)1(li exxxxx 5、 ；6、 ；213li123li nnn 31sin4limsn432li xxx7、 2si21coslim)si(silmxxx021)1(2sincoslimxxx；)12sinlm0)(li xxxx8、 。sin)(l)1(sinl1sin1lm002 tttxttx
