1、第一章 整数的可除性整 除整除是数论中的基本概念，在这一部分中，我们从这个概念出发，引进带余数除法及辗转相除法，然后利用这两个工具，建立最大公因数与最小公倍数的理论，进一步证明极具重要性的算术基本定理。最后介绍两个重要的函数 与 ,并用 来说明如何把 !表成质数幂的乘积。整除的定义 设 ， 是任意两个整数，其中 ，如果存在一个整数 使得等式= (1)成立，我们就称为 整除 或 被 整除,记做 | ，此时我们把 叫做 的因数，把 叫做 的倍数，如果（1）里的整数 不存在，就说 不能整除 或 不被 整除，记做。例如 6， 3 时，有 q2 使 ，故 3|6；又如 4， 3 时，不存在整数使 bq，
2、故 3 4。整除的性质定理 1 若 是 的倍数， 是 的倍数，则 是 的倍数。即：| ， | | 。证：由 | ， | 及整除的定义知存在整数 使得 。因此，但 是一个整数，故 | 。定理 2 若 ， 都是 的倍数，则 也是 的倍数。证 ， 都是 的倍数的意义就是存在两个整数 ，使得所以 ，但 为整数，故 是 的倍数。用类似方法可以证明下面的定理 3，请同学们自己给出证明。定理 3 若 都是 的倍数， 是任意 个整数，则是 的倍数。例 证明 3| ( +1)(2 +1)，其中 是任何整数。证 因为( +1)(2 +1)= ( +1)( +2)+( -1)= ( +1)( +2)+( -1) (
3、 +1)，而三个连续整数的积可被 3 整除，于是 3| ( +1)( +2)，3|( -1) ( +1) 。所以 3| ( +1)(2 +1)。第一章 整数的可除性带余数除法 任给两个整数，它们之间不一定有整除关系，一般有下面的带余数除法。定理 若 ， 是两个整数，其中 0，则存在两个整数 及 ，使得（2）成立，而且 及 是唯一的。证 作整数序列，3 ，2 ， ，0， ，2 ，3 ，则 必在上述序列的某两项之间，即存在一个整数 使得 成立。令 ，则 为整数，且 ，而 。设 是满足（2）的另两个整数，则， 所以 ，于是 ，故 。由于 都是小于 的正整数或零，故 。如果 ，则 ，这是一个矛盾。因此
4、 ，从而 。整数的很多性质都可以从这一定理引导出来，我们这一章的最主要部分就是建立在这一定理的基础上的。定义 （2）中的 叫做 被 除所得的不完全商， 叫做 被 除所得到的余数。例 设 15，则当 255 时17 0， 17， 00，实际上只需 0 即可，即有下面的 推论 若 ， 是两个整数，其中 ，则存在两个整数 及 使得 ， 成立，而且 及 是唯一的。第一章 整数的可除性最大公因数利用前面的带余数除法，我们可以着手研究整数的最大公因数及实际求法，处理整个问题的方法就是用所谓的辗转相除法。最大公因数的定义 设 是 ( 2)个整数，若整数 是它们之中每一个的因数，那么 就叫做 的一个公因数。整
5、数 的公因数中最大的一个叫做最大公因数，记作 。若 ，就称 互质，若 中每两个互质，我们就说它们两两互质。注 若整数 两两互质，则 ，但反过来却不一定成立，比如(6，10，15)1，但（6，10）1， （6，15）1， （10，15）1。又由定义知，当 不全为零时， 是存在的。为了能方便地计算最大公因数，下面我们先讨论一下最大公因数的性质，通过这些性质，就可找到计算最大公因数的方法。最大公因数的性质定理 1 若 是任意 个不全为零的整数，则（1） 与 的公因数相同；（2）证 我们只证明（1） ， （2）可由（1）及最大公因数的定义得出，设 是的任一公因数，则 ， ，于是 ，又 或 ，故 ， ，
6、所以 也是 的公因数。反之，设 是 的任一公因数，则 ， 。因 或，故 或 ，当 时，由 及整除性质可得 ，。所以 也是 的公因数。利用定理 1，可将负数的最大公因数转化为正数的情况。下面先讨论两个整数的最大公因数的计算方法，然后再推广到 个的情况。定理 2 若 是任一正整数，则（0， ） 。证 因 |0， | ，所以 是 0 和 的公因数，设 是 0 和 的任一公因数，则| ，所以 = ，故 。从而 。由定义知（0， ） 。定理 3 设 ， ， 是任意三个不全为零的整数，且 ，其中 是整数，则 ， 与 ， 有相同的公因数，从而（ ， ）（ ， ） 。证 设 是 ， 的任一公因数，则 | ，
7、| ，由于 ，于是由整除的性质知 | ，从而 为 ， 的一个公因数。同理可证 ， 的任一公因数也是 ， 的一个公因数。故 ， 与 ， 有相同的公因数。再由最大公因数的定义知后一结论成立。最大公因数的计算由定理 3 及带余数除法，可得出两个数的最大公因数的计算方法如下：设 ， 为两个整数。（1） 0， 0 时，规定（ ， ）0；（2） ， 之一为零时，不妨设 0， 0，则（ ， ） 。（3） ， 均不为零时，由定理 1，可设 0， 0。由带余数除法可得下面一系列等式，。因为每进行一次带余数除法，余数至少减一，而 是有限的，所以上面这一系列等式只有有限个，即到第 1 步时必有 0 出现。由定理 3
8、 有：，但 。故（ ，b）例 1：设 1859， 1573，求（ ， ） 。解：由定理 1， （1859，1573）（1859，1573） 。由（3）作一系列带余数除法：所以 。注 上面这种计算两个整数的最大公因数的方法叫辗转相除法。例 2：设 169， 121，求（ ， ） 。解：作辗转相除法：所以（169，121）1。由最大公因数的性质及计算方法可得定理 4 ， 的公因数与（ ， ）的因数相同。证 设 d 是 ， 的任一公因数，则 ， 。由（ 3）知 ，从而 ，一直下去有 ，即 为（ ， ）的因数。同理，当 为（ ， ）的因数时，可得为 ， 的公因数。利用定理 4，可将两个整数的最大公因数
9、的计算方法推广到计算 个整数的最大公因数。定理 5 设 是 个正整数，令（*）则 。证 由（*）式， ， ，但 ， ，故 ，由此类推，最后得到 ，即 是 的一个公因数。又设 是 的任一公因数，则 ， ，由定理 4， ，同理，由此类推，最后得到 。因而 。故 是 的最大公因数。第一章 整数的可除性整除的进一步性质在最大公因数的计算方法（3）中，我们已看到带余数除法的重要性，在这一部分中，我们来讨论 与 ， 的关系，由此可得到关于整除的进一步性质。设 ， 是任意两个正整数，由带余数除法有：， （1），。由上面这一系列等式可得定理 1 若 ， 是任意两个正整数，则，k1，2，n （2）其中， 2，
10、（3） 证 当 1 时， （2）显然成立，当 2 时，由（1）得但 ，故 。假设（2） ， （3）对于不超过 的正整数都成立，则故 ，其中 ， 。由归纳法，定理 1 的结论成立。由于 ，于是由定理 1 立即可得到下面的结论。推论 1.1 若 ， 是任意两个不全为零的整数，则存在两个整数 ， 使得(4)证 在（2）中取 ，得 。 两边乘以 ，得 。于是取 ， ，则 。定理 2 若 ， ， 是三个整数，且（ ， ）1，则（i） ， 与 ， 有相同的公因数。（ii） （ ， ）（ ， ） 。其中 ， 至少一个不为零。证 由最大公因数的定义，我们只须证明（i）由已知条件及推论 1.1，存在两个整数 ，
11、 满足等式 两边乘以 ，得设 是 ， 的任一公因数，则 ， 于是由上式得 ，从而 为， 的一个公因数。反之， ， 的任一公因数显然是 ， 的一个公因数。故（i）成立。 由定理 2 及整除的基本性质可得推论 2.1 若 ， ，则 。证 因 ，故 。但由定理 2 有（ ， ）（ ， ） ，所以 （ ， ） 。于是 ，从而 。推论 2.2 设 及 是任意两组整数。若前一组中任一整数与后一组中任一整数互质。则 与 互质。证 由定理 2 可得 1，j1，2， 。再用定理 2，（ ）1。有关整除的性质我们就讨论到此，这些性质都非常重要，大家在学习中要逐一理解并掌握。第一章 整数的可除性最小公倍数前面学了最
12、大公因数，与此对应，在这一部分中，我们再讨论最小公倍数。我们将把最小公倍数和最大公因数联系在一起，并由最大公因数的计算推出最小公倍数的计算。最小公倍数的定义设 是 ( 2)个整数。若 是这 个数的倍数，则 就叫作这 个数的一个公倍数。又在 的一切公倍数中的最小正数叫做最小公倍数，记为 。由于任何正数均不是 0 的倍数，故我们在讨论最小公倍数时总是假定 均不为零。最小公倍数的性质为得到最小公倍数的计算方法，我们先讨论一下最小公倍数的性质。下面的定理 1 可将负数化为正数讨论，定理 2 讨论了两个正整数的情形，最后定理 3 讨论一般情况，即 个正整数( 2)的情形。定理 1 。该定理的证明类似于最
13、大公因数中相应性质的证明，请大家作为练习自己给出证明。定理 2 设 ， 是任意两个正数，则（i） ， 的所有公倍数就是 ， 的所有倍数。（ii） ，特别地，若（ ， ）1，则 ， 。证 设 是 ， 的任一公倍数，由定义可得 。令 ，由上式即得。但 ，由整除的性质得 。因此， （1）其中 t 满足 。反过来，当 为任一整数时， 为 ， 的一个公倍数，故（1）恰好表示 ， 的一切公倍数，当 1 时即得到最小公倍数，故（2）结论（ii）成立。将（2）代入（1） ，结论（i）也成立。定理 3 设 是 个正整数，令（3）则 。证 由（3） ， ， 1，且 ， ，故 是 的一个公倍数。又设 是 的任一公倍
14、数，则，故由定理 2（i ） ， ，又 ，同样由定理 2（i）得 ，依此类推，最后得 ，因此 。故 。最小公倍数的计算由定理 2 和定理 3，我们重点掌握两个正整数的最小公倍数的计算。由定理 2，只须计算出最大公因数，则由定理 2（ii）即可求出最小公倍数。例 设 169， 121，求 ， 。解 由最大公因数的计算易求得（ ， ）1。故第一章 整数的可除性质 数在正整数里，1 的正因数只有 1 本身，因此在整数中间 1 占有特殊的地位。任何一个大于1 的整数，都至少有两个正因数，即 1 和它本身。为更好地讨论这些数的性质，我们把这些数进行分类。质数的定义 一个大于 1 的整数，如果它的正因数只
15、有 1 和它本身，就叫作质数（或素数） ；否则就叫作合数。例如 2，3，5，7 等为质数，而 4，6，8，10 等为合数。 质数的性质定理 1 设 是任一大于 1 的整数，则 的除 1 以外的最小正因数 是一个质数，并且当为合数时， 。证 假定 不是质数，由定义， 除 1 及本身外还有一正因数 ，因而 11。由定理 1， 有一质因数 ，这里 ， ，否则，得 ，矛盾。故 是上面 个质数以外的质数。定理获证。第一章 整数的可除性函数 与 在这一部分中，我们先介绍在数论里面常常用到的两个函数 与 ，再讨论这两个函数的性质，最后利用这些性质实际求出 的标准分解式。函数 与 的定义函数 与 是对于一切实
16、数都有定义的函数，函数 的值等于不大于 的最大整数；函数 的值是 。我们常常把 叫做 的整数部分， 叫 的小数部分。例 ， ， ， ； ， 。函数 与 的性质由这两个函数的定义立即可得出下列简单性质：. 。. ， ， 。. ， 是整数。. , 。. . 若 ， 是两个整数， ，则. 若 ， 是任意两个正整数，则不大于 而为 的倍数的正整数的个数是证 前几条性质都比较简单，我们在这里只证明最后一条。 时是显然的，下面设，设 是任一不大于 而为 的倍数的正整数，则（）故满足以上条件的 的个数等于满足（1）的 的个数，因而等于 。函数 与 的应用用 与 的性质，我们可以求出 的标准分解式。定理 在
17、的标准分解式中质因数 的指数（）注 由于对给定的 及 ，总存在正整数 使 ，于是 ，故（2）式中的和是有限和。证 设想把 2， 都分解成标准分解式，则由算术基本定理， 就是这 1 个数的分解式中 的指数之和，设其中 的指数是 的有 个（1 ） ，则,其中 恰好是 2， 这 1 个数中能被 除尽的个数，但由性质，故推论 1 ，其中 表示展布在不超过 的一切质数上的积式。推论 2 贾宪数 是整数（0kn） 。证 由性质及 ，有，所以 。故 由推论 1 即得 。推论 3 若 （ ）是 次整系数多项式， 是它的 阶导数（ ） ，则是 次整系数多项式。该推论的证明只须用到导数的计算及推论，请大家作为练习自己给出证明。
