1、遗传模型1问题分析所谓常染色体遗传，是指后代从每个亲体的基因中各继承一个基因从而形成自己的基因型. 如果所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 B 控制的，那么就有三种可能的基因型：AA， AB 和 BB. 例如，金鱼草是由两个遗传基因决定它开花的颜色， AA 型开红花，AB 型的开粉花，而 BB 型的开白花.这里的 AA 型和 AB 型表示了同一外部特征( 红色)，则人们认为基因 A 支配基因 B，也说成基因 B 对于 A 是隐性的. 当一个亲体的基因型为 AB，另一个亲体的基因型为 BB，那么后代便可从 BB 型中得到基因 B，从 AB 型中得到 A 或 B，且是等可能性地得到.问题：某植物
2、园中一种植物的基因型为 AA， AB 和 BB. 现计划采用 AA 型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代，试预测，若干年后，这种植物的任一代的三种基因型分布情况. 2模型假设（1）按问题分析，后代从上一代亲体中继承基因 A 或 B 是等可能的, 即有双亲体基因型的所有可能结合使其后代形成每种基因型的概率分布情况如表上一代父 -母基因型（n-1 代）下一代基因型（n 代） AA-AA AA-AB AA-BB AB-AB AB-BB BB-BBAA 1 1/2 0 1/4 0 0AB 0 1/2 1 1/2 1/2 0BB 0 0 0 1/4 1/2 1（2）以 和 分别表示第 n 代植
3、物中基因型为 AA， AB 和 BB 的植物总数的百分nba,c率， 表示第 n 代植物的基因型分布，即有)(nx(5 .1)(),naXbc,210特别当 n=0 时， 表示植物基因型的初始分布(培育开始时所选取各种基(0)0,)Ta因型分布)，显然有 .1cb3模型建立注意到原问题是采用 AA 型与每种基因型相结合，因此这里只考虑遗传分布表的前三列. 首先考虑第 n 代中的 AA 型，按上表所给数据，第 n 代 AA 型所占百分率为11102ncba即第 n-1 代的 AA 与 AA 型结合全部进入第 n 代的 AA 型，第 n-1 代的 AB 型与 AA 型结合只有一半进入第 n 代 A
4、A 型，第 n-1 代的 BB 型与 AA 型结合没有一个成为 AA 型而进入第 n代 AA 型，故有(5 .2)112nnba同理，第 n 代的 AB 型和 BB 型所占有比率分别为(5 .3)12nncb(5 .4)0将(.2)、(.3)、(.4) 式联立，并用矩阵形式表示，得到(5 .5)()(1),nnXM,2其中 01/利用(5 .5) 进行递推，便可获得第 n 代基因型分布的数学模型(5 .6)()(1)2()(0)nnnXMXMX(5.6)式明确表示了历代基因型分布均可由初始分布 与矩阵 M 确定.(04模型求解这里的关键是计算 .为计算简便，将 M 对角化，即求出可逆阵 P，使
5、 ，n 1即有 1P从而可计算 1Pn),2(其中 为对角阵，其对角元素为 M 的特征值，P 为 M 的特征值所对应的特征向量. 分别为，,1120312,0,321pp故有 102,21PP即得 1022101nnM00211nn于是 01)( 021cbacbaxnnn或写为 0)21(0nnnccba由上式可见，当 时，有 0,1nncba即当繁殖代数很大时，所培育出的植物基本上呈现的是 AA 型，AB 型的极少，BB 型不存在.5模型分析本例巧妙地利用了矩阵来表示概率分布，从而充分利用特征值与特征向量，通过对角化方法解决了矩阵 n 次幂的计算问题， 可算得上高等代数方法应用于解决实际的
6、一个范例.模型分析（）完全类似地，可以选用 AB 型和 BB 型植物与每一个其它基因型植物相结合从而给出类似的结果.特别是将具有相同基因植物相结合，并利用前表的第 1、4、6 列数据使用类似模型及解法而得到以下结果： 002,21bcbann 这就是说，如果用基因型相同的植物培育后代，在极限情形下，后代仅具有基因 AA与 BB，而 AB 消失了.（）如果完全类似大自然的自由组合，如何考虑？四、排队论模型排队是们在日常生活中经常遇到的现象，如顾客到商店买东西，病人到医院看病，人们上下汽车，故障机器停机待修等常常都要排队。排队的人或事物统称为顾客，为顾客服务的人或事物叫做服务机构( 服务员或服务台
7、等) 。顾客排队要求服务的过程或现象称为排队系统或服务系统.由于顾客到来的时刻与进行服务的时间一般来说都是随机的，所以服务系统又称随机服务系统.由于排队模型较为复杂，这里仅对其中最简单的模型M/M/1 排队模型给予说明.先简单介绍这个模型的有关概念和结论。M/M/1 是指这个排队系统中的顾客是按参数为 的泊松分布规律到达系统，服务时间服从参数为 的指数分布，服务机构为单服务台（所谓单窗口） 。由此我们不加证明地指出其几个重要的指标值如下：顾客平均到达率为 为平均到达间隔，1/,c平均服务率 为平均服务时间；d顾客等待时间 服从参数为 的指数分布，即 Y.1()()ttdcPte例 快餐店里的学
8、问如何吸引更多的顾客以获取更高的利润是每一位快餐店老板最关心的问题.除了增加花色、提高品味、保证营养、降低成本之外，快餐店应在其基本特点“快”字上下功夫. 有人向老板建议，公开向顾客宣布：如果让哪位顾客等待超过一定时间(譬如 3 分钟) ，那么他可以免费享用所订的饭菜，提建议者认为这必将招揽更多的顾客，由此带来的利润一定大于免费奉送造成的损失. 但是老板希望对于利弊有一个定量的分析，告诉他在什么条件下作这种承诺才不会亏本，更进一步，他希望知道应该具体地作几分钟的承诺，利润能增加多少.假定顾客进入快餐店后的服务过程是这样的：首先他在订餐处订餐，服务员将订单立即送往厨房，同时收款、开收据，收据上标
9、明订餐的时刻，这个时刻就是这位顾客等待时间的起始时刻 .接着，服务在厨房进行，厨房只有一位厨师，按订单到达的顺序配餐，配好一份立即送往取餐处 .最后，服务员将饭菜交给顾客，并核对收据，若发现顾客等待时间超过店方的承诺，则将所收款项如数退还.本讲要建立一个随机服务模型，给出解决这个问题的一种方法. 这个问题建模的关键有二：一是对顾客到达、服务时间、排队规则等作什么样的假设；二是当宣布“服务慢了将免费供餐”以后，承诺的时间与顾客的增多之间的关系应该用什么规律描述. 对于前者，M/M/1 模型是一个合理的、简化的选择；对于后者，我们将在直观分析的基础上用最简单的定量关系表示出来.模型假设1.顾客在快
10、餐店的服务服从 M/M/1 模型；顾客平均到达率为 =1/c,c 为平均到达间隔，在未宣布承诺时 c=c ；快餐店平均服务率 =1/d,d 为平均服务时间；d c.02.店方承诺等待时间超过 u 的顾客免费享用订餐，u 越小则顾客越多，c 越小，在一定范围内设 c 与 u 成正比，同时又存在 u 的最大值 u ，当 uu 时快餐店的承诺对顾客无吸00引力，相当于不作承诺，不妨设此时 .0c3.每位顾客的订餐收费为 p,成本为 q .模型建立 首先，根据本讲对 M/M/1 模型的分析，顾客等待时间(记作随机变量 Y)服从参数 -的指数分布，即（5.7）1()()ttdcPYte对于等待时间为 Y
11、 的顾客设店方获得的利润为 Q(Y)，则在宣布承诺时间为 u 的情况下有（5.8）,)(qpuY利润 的期望值为Q（5.9）()EQpPq用（.7）式代入得（5.10）ucde1仅代表一个顾客的期望利润，但快餐店的目标显然不在于此。因为顾客到达的平均间EQ隔为 c，所以单位时间利润的期望值为1)( 1ucdpeqcEQuJ （5.11）建模的目的是确定承诺时间 u 使利润 J(u)最大.下面我们根据对于 c 和 u 关系的假设确定函数 c(u). 因为可以假定（）c(0)=0 (理解为 u时顾客将无穷多 )，（）c(u)=c ，当 u u 时 (理解为承诺不再有吸引力， u ，c 由经验确定)
12、，00 0（）c 与 u 成线性正比，0 u u 0所以函数 c(u)的图形就如图所示，并且由于 dc 的基本要求,必须 ，0duc于是 c(u)可表为（5.12）00,)(ucdu将(5.12)式代入(5.11) 式得(5.13)010 001()001()(),udcududcJupqec upqec其中(5.14)0cueqpJ(u)中除 u 外均为已知常数，问题化为求 u 使 J(u)最大.模型求解 对于(.13) 式的 J(u)应按 u 的不同范围分别求解 .（）当 时，用微分法求出 的最优值 应满足00cd*u(5.15)1(*dedu且算出 J 的最大值为(5.16)*0*()upqJuc（）当 uu ，显然 u时 J( )最大，且0(5.17)0cqp比较 和 可知，当且仅当 时 ，所以 J( )最大值问题的)(*uJ*ud)(*J解应为(5.18)0*u其中 由(5.15)式确定.这就是说，对于给定的 p、q、 、 和 d，以及按(5.14) 、(5.15)式*u 0cu算出的 ，仅当 时,才可承诺服务慢了免费供餐，并且承诺时间为 时利润最*u0*ud *u大.
