1、物理竞赛讲义-微积分初步第 1 页 共 7 页微积分初步一、微积分的基本概念1、极限极 限 指 无 限 趋 近 于 一 个 固 定 的 数 值两个常见的极限公式 0sinlm1x* lixx2、导数当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限叫做导数。 0limxdy导数含义，简单来说就是 y 随 x 变化的变化率。导数的几何意义是该点切线的斜率。3、原函数和导函数对原函数上每点都求出导数，作为新函数的函数值，这个新的函数就是导函数。 00()()lilixxyyxy4、微分和积分由原函数求导函数：微分由导函数求原函数：积分微分和积分互为逆运算。例 1、根据导函数的定义，推导下
2、列函数的导函数（1） （2） （3） yx (0)nyxsinyx二、微分1、基本的求导公式（1 ） （2）0 ()C为 常 数 1 (0)nxn（3） *（4）xe lxa（5） *（6）1ln loglna物理竞赛讲义-微积分初步第 2 页 共 7 页（7） （8）sincosxcosinx（9） （10）21ta 21ti*（11） *（12）2rcsinx2arcosxx*（13） *（14）21at 21t2、函数四则运算的求导法则设 u=u(x)，v=v(x )（1） （2） （3） 2uv例 2、求 y=tanx 的导数3、复合函数求导对于函数 y=f(x)，可以用复合函数的观点
3、看成 y=fg(x)，即 y=f(u)，u= g(x)du即： ux例 3、求 的导数28(1)y例 4、求 的导数lntayx三、积分1、基本的不定积分公式下列各式中 C 为积分常数（1 ） （2） ()kdxk为 常 数1 (1)nxdC物理竞赛讲义-微积分初步第 3 页 共 7 页（3） *（4）xxedC lnxxadC（5） （6）1lnsicos（7） *（8）cosixd 21tadx*（9） *（10）21arctnxC 2rcsinxC2、简单的定积分求法（即牛顿莱布尼茨公式）物理竞赛中最基本的微积分公式牛顿莱布尼茨公式：若 f(x)是 F(x)在区间a, b上的导函数, 则
4、 ()bafxdba而根据导函数 f(x)求原函数 F(x)的过程，其实就是不定积分的过程。3、换元积分法(1)第一类换元积分（凑微法）例 5、求 2cosd* (2)第二类换元积分法技巧性较强，没有一定的通法，高中阶段很少用到。*例 6、 665522331 16()xttdt dttdtx令 即物理例题：例 7、已知地球的半径为 R，质量为 M。将质量为 m 的质点从地面移动到无穷远处，此过程中，万有引力做了多少功？物理竞赛讲义-微积分初步第 4 页 共 7 页例 8、求半径为 R，质量均匀的半圆形薄板的重心位置例 9、求常见几何体的转动惯量。各物体质量均为 m，杆长均为 L，半径均为 r
5、(1)均匀杆绕中点转动(2)均匀杆绕一端转动(3)均匀圆盘绕中心转动*(4)均匀球绕中轴转动物理竞赛讲义-微积分初步第 5 页 共 7 页5.2 附 微积分阅读材料*一、求极限的罗必塔法则 () ()()0limxaxfxFfF 如 果 当 或 时 ， 两 个 函 数 与 都 趋 于 零 或 都 趋 于 无 穷 大 ，那 么 极 限 可 能 存 在 、 也 可 能 不 存 在 。 通 常 把 这 种 极 限 称 为 或 型 未 定式 。此时可以对分子分母同时求导后再求极限，从而避免出现未定式无法计算的情况。如果求导后仍然是未定式，可多次利用罗必塔法则。如果始终是未定式，则此方法失效。例 1：例
6、 2：*二、分部积分法理解、运用起来容易出错，高中阶段很少用到。根据函数相乘的求导公式： uvv移项可得： uv两边取积分： dxuvdx*例 3、求 cosxd,cos,sincsisinsincosuxdvxdduxvxx xdxxC 取 则.)(lim)(li)( )( xgfxgfaxxa.tanlim0x求 )(原 式 1secli20xx.0.sinl0bax求 xicom原 式 .axbcosli0的 形 式或型 未 定 式 ， 可 以 化 为,1,0物理竞赛讲义-微积分初步第 6 页 共 7 页*例 4、求 2xed2,2 22, 2,2 2 xxxxuxdvex xxduve
7、xdxxxduvexxxe edeC 取则取 则利用分部积分法的步骤：(1)将被积函数分为两部分，一部分可以看做是原函数，即 u，另一部分可以看做是导函数，即 v。(2)右边第一项为两个原函数 uv 的乘积，第二项将原函数 u 变为导函数 u，导函数 v变为原函数 v，相乘后再求积分。利用分部积分法的技巧：上述过程的难点在于对 v求积分，以及对 uv 求积分。因此，要将被积函数拆成适当的两部分，使得这两个积分求解起来都比较容易。三、简单的常微分方程（分离变量法）*例 5：放射性元素衰变问题设铀的衰变速度与未衰变的原子数目 M 成正比已知 t=0 时未衰变的铀的含量为 M0，求 M 随时间变化的
8、函数。解：变量为 M 和 t，分离变量得：两边分别求不定积分：根据初始状态求出积分常数 C：带入后消去 C 可得：*例 6：电容器充放电问题电容为 C 的电容经过充电后，两端电压为 U0。从 t=0 时刻开始串联上电阻 R 进行放电。求电压 U 随时间 t 的变化函数。解：联立上面两式可得：分离变量可得：dttlnM0tedtCtQiRtUCd物理竞赛讲义-微积分初步第 7 页 共 7 页两边分别求不定积分：根据初始状态求出积分常数 C0：带入后消去 C0 可得：可以看到，RC 的值与电容器放电的快慢有关，因此 RC 也叫做 RC 电路的时间常数。类似的，RL 电路中，时间常数为 L/R。此外
9、，求解简谐运动和电磁振荡问题时也需要求解微分方程，不过采用的方法是试探解法。*四、泰勒展开将一个函数写成多项式的形式各项分别为零阶小量、一阶小量、二阶小量常用于近似处理和对小量的讨论。理解公式前两项的几何意义。公式最后一项 表示剩下所有的项，相对于)(nxo都是小量。nx常见函数在 x0=0 处的泰勒展开：不是所有的函数不是在所有的位置都可以进行泰勒展开。只有当高阶项越来越小且趋近于 0 时（此说法不严格）才能用泰勒展开的前几项之和来近似原函数的值。)(!)(!2)()( 020000 nnnxoxffxfxfxf 21357 2()* sin ()!kkxxxox246221 co1 .()kk2341()* ln(1) ().nnxxo .)(!)(1!)1()1( 2 nnxoxxx . ().!nx neo0lnRtUlRte
