1、- 1 -奉新一中 2019 届高二下学期第一次月考数学试卷（理）一、选择题：(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分。)1i 是虚数单位，若集合 S1,0,1，则( )Ai S Bi 2 S Ci 3 S D. S2i2下列求导运算正确的是( )A. 1 B(log 2x)(x1x) 1x2 1xln 2C(3 x)3 xlog3e D( x2cos x)2 xsin x3.一个奇数列 1,3,5,7,9，现在进行如下分组：第一组含一个数1；第二组含二个数3,5；第三组含三个数7,9,11；试观察每组内各数之和与其组的编号 数 n有什么关系( )A等于 n2 B等于 n3 C等于 n4
2、 D等于 n(n1)4. (x22)( 1) 5的展开式的常数项是( )1x2A3 B2 C2 D35已知 y sin 2xsin x，则 y( )12A仅有最小值的奇函数 B既有最大值又有最小值的偶函数C仅有最大值的偶函数 D非奇非偶函数6已知 a0， b0，且 a b2，则( )A a B ab12 12C a2 b22 D a2 b237.对于函数 f(x)， g(x)和区间 D，如果存在 x0 D，使| f(x0) g(x0)|1，则称 x0是函数f(x)与 g(x)在区间 D上的“友好点” 现给出下列四对函数： f(x) x2， g(x)2 x3； f(x) ， g(x) x2；x
3、f(x)e x， g(x) ； f(x)ln x， g(x) x .1x 12其中在区间(0，)上存在“友好点”的是( )A B C D8. 从 6个人中选出 4人参加数、理、化、英语比赛，每人只能参加其中一项，每项都有人参加，其中甲、乙两人都不参加英语比赛，则不同的参赛方案的种数共有( )A96 B180 C240 D2889已知 f(x) x3 x， a， bR，且 a b0，则 f(a) f(b)的值一定( )- 2 -A大于零 B等于零 C小于零 D正负都有可能10. 名同学报考 三所院校，如果每一所院校至少有 人报考，且每人只能报一6,A1所院校，则不同的报考方法共有（ ） A 种
4、B 种 C 种 D 种21540729324011.已知等比数列 an的前 n项和为 Sn，则下列说法中一定成立的是( )A若 a30，则 a2 0150 B若 a40，则 a2 0160C若 a30，则 S2 0150 D若 a40，则 S2 016012.已知 函数 f(x) x3 ln( x)，则对于任意实数 a， b(a b0) ，则x2 1的值为( )f（ a） f（ b）a bA.恒正 B.恒等于 0 C.恒负 D.不确定二、填空题(本大 题共 4小题，每小题 5分，共 20分请把正确答案填在题中横线上)13.求值： _.21xd14.设函数 f(x) (x0)，观察：xx 2f1
5、(x) f(x) ， f2(x) ff1(x) ， f3(x) ff2(x) ，xx 2 x3x 4 x7x 8f4(x) ff3(x) ， 根据以上事实，由归纳推理可得：x15x 16当 nN 且 n2 时， fn(x) ffn1 (x)_.15. 平面上，周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大。将这个结论类比到空间，可以得到的结论是_16.已知函数 f(x)e x2 x a有零点，则 a的取值范围是_三：解答题(本大题共 6小题，共 70分10+12+12+12+12+12=70 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知 a， b， c， d(0，)，求证 ac bd .
6、 a2 b2 c2 d2- 3 -18.(1)解关于 的方程： ； n33210nA（2） 已知，求19.已知(12 )n的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的 2倍，而且是它 的x后一项系数的 ，试求展开式中二项式系数最大的项5620.已知数列 ， ， ， Sn为该数列的前 n项和，811232 823252 8n 2n 1 2 2n 1 2(1).计算 .,4321S(2).观察上述结果，推测出 Sn(nN *)，并用数学归纳法加以证明mmC76510mC8- 4 -21. 的内角 所对的边分别为 ，已知 ，ABC、 、 ,abc2sin8sinBAC（1）求 ；cos（2）若 ，
7、 的面积为 ，求 。6aABC222.已知函数 f(x) .exx m(1)讨论函数 y f(x)在 x( m，)上的单调性；(2)若 m ，则当 x m， m1时，函数 y f(x)的图像是否总在函数 g(x)(0，12 x2 x图像上方？请写出判断过程.- 5 -2019届高二下学期第一次月考数学参考答案（理）一、选择题：(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分。)BBBDB CCCAB CA二:填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分请把正确答案填在题中横线上)13. 3 14. x 2n 1 x 2n15. 在空间几何体中，表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大。1
8、6 . (，2ln 22三:解答题（本大题共 5小题， 10+12+12+12+12+12=70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 ）17.解：证明：法一：(分析法)欲证 ac bd ， a2 b2 c2 d2只需证( ac bd)2( a2 b2)(c2 d2)，即证 a2c22 abcd b2d2 a2c2 b2d2 a2d2 b2c2，即证 2abcd a2d2 b2c2，即证 0( bc ad)2，而 a， b， c， d(0，)，0( bc ad)2显然成立，故原不等式成立法二：(综合法)( a2 b2)(c2 d2) a2c2 b2d2 a2d2 b2c2 a2c2 b2d2
9、2 abcd( ac bd)2，所以 ac bd a2 b2 c2 d218. 解：（1）根据排列数公式， ，)(13nAn，201从而 ， )(即 ，)(52)(n即 ，1642n化简得 ，089解得 ，或 （舍） ，故方程的解是 ，818（2） 的取值范围m为，由已知， !710!6!5m即 7106，解得 （舍）或 ，42322288Cm19.解： 由题意知展开式中第 k1 项系数是第 k项系数的 2倍，是第 k2 项系数的 ，56Error!，解得 n7，展开式中二项式系数最大两项是：T4C (2 )3280 x 与 T5C (2 )4560 x2.37 x32 47 xZ,5- 6
10、-20解：(1)计算得 S1 ， S2 ， S3 ， S4 .89 2425 4849 8081(2)推测 Sn (nN *) 2n 1 2 1 2n 1 2用数学归 纳法证明如下：(1)当 n1 时， S1 ，等式成立； 2 1 2 1 2 1 2 89(2)假设当 n k时等式成立，即 Sk ，那么当 n k1 时， 2k 1 2 1 2k 1 2Sk1 Sk 8 k 1 2k 1 2 2k 3 2 2k 1 2 1 2k 1 2 8 k 1 2k 1 2 2k 3 2 2k 1 2 1 2k 3 2 8 k 1 2k 1 2 2k 3 2 2k 1 2 2k 3 2 2k 3 2 8 k
11、 1 2k 1 2 2k 3 2 . 2k 1 2 2k 3 2 2k 1 2 2k 1 2 2k 3 2 2k 3 2 1 2k 3 2 2 k 1 12 12 k 1 12也就是说，当 n k1 时，等式成立根据(1)和(2)，可知对一切 nN *，等式均成立21.解：22.解: (1) f( x) ， 2分ex x m ex x m 2 ex x m 1 x m 2当 x( m， m1)时， f( x)0；当 x( m1，)时， f( x)0，所以函数 f(x)在( m， m1)上递减，在( m1，)上递增. 4分(2)由(1)知 f(x)在( m， m1)上递减，所以其最小值为 f(m
12、1)e m1 . 5分- 7 -因为 m ， g(x)在 x m， m1最大值为( m1) 2 m1.(0，12所以下面判断 f(m1)与( m1) 2 m1 的大小，即判断 ex与(1 x)x的大小，其中x m1 .(1，32令 m(x)e x(1 x)x， m( x)e x2 x1，令 h(x) m( x)，则 h( x)e x2，因为 x m1 ，所以 h( x)e x20， m (x)递增. 8分(1，32所以 m(1)e30， m e 40，故存在 x0 ，使得 m( x0)(32) 32 (1， 32e x02 x010，所以 m(x)在(1， x0)上递减，在 上递增，(x0，32)所以 m(x) m(x0)e x0 x x02 x01 x x0 x x01，20 20 20所以当 x0 时， m(x0) x x010，(1，32 20即 ex(1 x)x，也即 f(m1)( m1) 2 m1，所以函数 y f(x)的图像总在函数 g(x) x2 x图像上方. 12分
