江苏省南京市2018届高三数学第三次模拟考试试题.DOC

1、- 1 -江 苏 省 南 京 市 2018 届 高 三 数 学 第 三 次 模 拟 考 试 试 题注 意 事 项 ：1本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题）两部分本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸一 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 计 70 分 . 不 需 写 出 解 答 过 程 ， 请 把 答 案 写 在 答题 纸 的 指 定 位 置 上 ）1集合

2、A x| x2 x60， B x| x240，则 A B= _2已知复数 z 的共轭复数是 若 z(2i)5，其中 i 为虚数单位，则 的模 z z为 _3某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了 500 名学生，他们的每天在校平均开销都不低于 20 元且不超过 60 元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在50，60元的学生人数为 _4根据如图所示的伪代码，可知输出 S 的值为 _5已知 A， B， C 三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么 A 与 B 在相邻两天值班的概率为 _6若实数 x， y 满足 则 的取值范围为 x y 3 0，x 2y 5 0，

3、y 2 0， ) yx _7. 已知 ， 是两个不同的平面， l， m 是两条不同的直线，有如下四个命题：S1I1While I8S S2I I3End WhilePrint S(第 3 题图) (第 4 题图)- 2 -若 l ， l ，则 ； 若 l ， ，则 l ； 若 l ， l ，则 ； 若 l ， ，则 l 其中真命题为 （填所有真命题的序号） _8在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 1( a0， b0)的一个焦点到一条渐近线的x2a2 y2b2距离为 2a，则该双曲线的离心率为 _9若等比数列 an的前 n 项和为 Sn， nN *，且 a1=1， S6=3S3，则 a7的值

4、为 _10若 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的函数，且 f(x)Error!则 f(a+1)的值为 _11在平面直角坐标系 xOy 中，圆 M： x2 y26 x4 y80 与 x 轴的两个交点分别为A， B，其中 A 在 B 的右侧，以 AB 为直径的圆记为圆 N，过点 A 作直线 l 与圆 M，圆 N 分别交于 C， D 两点若 D 为线段 AC 的中点，则直线 l 的方程为 _12在 ABC 中， AB=3， AC=2， D 为边 BC 上一点若 5， ，AB AD AC AD 23则 的值为 AB AC _13若正数 a， b， c 成等差数列，则 的最小值为 c2a b ba

5、 2c _14已知 a， bR，e 为自然对数的底数若存在 b3e，e 2，使得函数 f (x)e x ax b 在1，3上存在零点，则 a 的取值范围为 _二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中，锐角 ， 的顶点为坐标原点 O，始边为 x 轴的正半轴，终边与单位圆 O 的交点分别为 P， Q已知点 P 的横坐标为 ，点 Q 的纵坐标为 （1）求 cos2 的值；（2）求 2 的值. PO(第 15 题图)Qx- 3 -16.（本小题满分 14 分）如图

6、，在三棱锥 P ABC 中， PA ，其余棱长均为 2， M 是棱 PC 上的一点， D， E 分别6为棱 AB， BC 的中点（1）求证: 平面 PBC平面 ABC；（2）若 PD平面 AEM，求 PM 的长17(本小题满分 14 分)如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段 AB， AC 和以 BC 为直径的半圆弧 组成，其BC 中 AC 为 2 百米， AC BC， A 为 若在半圆弧 ，线段 AC，线段 AB 上各建一个观赏 3 BC 亭 D， E， F，再修两条栈道 DE， DF，使 DE AB， DF AC. 记 CBD （ ） 32（1）试用 表示 BD 的长；（2）试确定点 E

7、的位置，使两条栈道长度之和最大.18(本小题满分 16 分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 1( a b0)经过点 P( ， )，离心率x2a2 y2b2 85 35为 . 已知过点 M( ，0)的直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点25（1）求椭圆 C 的方程；（2）试问 x 轴上是否存在定点 N，使得 为定值若存在，求出点 N 的坐标；若不NA NB 存在，请说明理由.ABCD FE(第 17 题图)(第 16 题图)A CBMD EPxyO(第 18 题图)MBA- 4 -19(本小题满分 16 分)已知函数 f (x)2 x33 ax23 a2（ a0） ，记 f

8、(x)为 f(x)的导函数（1）若 f (x)的极大值为 0，求实数 a 的值；（2）若函数 g (x) f (x)6 x，求 g (x)在0，1上取到最大值时 x 的值；（3）若关于 x 的不等式 f(x) f(x)在 ， 上有解，求满足条件的正整数 a 的集a2a+22合20(本小题满分 16 分)若数列 an满足：对于任意 nN*， an| an1 an2 |均为数列 an中的项，则称数列 an为“T 数列” （1）若数列 an的前 n 项和 Sn2 n2， nN*，求证：数列 an为“ T 数列” ；（2）若公差为 d 的等差数列 an为“ T 数列” ，求 d 的取值范围；（3）若数

9、列 an为“ T 数列” ， a11，且对于任意 nN*，均有 an a a an1 ，2 n 1 2 n求数列 an的通项公式- 5 -南京市 2018 届高三年级第三次模拟考试数学附加题 2018.05注 意 事 项 ：1附加题供选修物理的考生使用2本试卷共 40 分，考试时间 30 分钟3答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸21 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何

10、证明选讲在 ABC 中， AC AB， M 为边 AB 上一点， AMC 的外接圆交 BC 边于点 N， BN2 AM，12求证： CM 是 ACB 的平分线B选修 42：矩阵与变换已知矩阵 A ， B ，若直线 l: x y20 在矩阵 AB 对应的变换作用下得1 20 1 2 00 1到直线 l1，求直线 l1的方程CABMN(第 21A 题图)- 6 -C选修 44：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P（2， ） ，圆心 C 为直线 sin( ) 与极轴 3 3 3的交点，求圆 C 的极坐标方程D选修 45：不等式选讲已知 a， b， c(0，)，且 a b c1，求 的

11、最大值2a b 2b c 2c a【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤22(本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为 F，点 A(1， a) (a0)是抛物线 C 上一点，且 AF2（1）求 p 的值；（2）若 M， N 为抛物线 C 上异于 A 的两点，且 AM AN记点 M， N 到直线 y2 的距离分别为 d1， d2，求 d1d2的值23(本小题满分 10 分)已知 fn(x) A x(x1)( x i1)， gn(x) A x(x1)(

12、x n1)，其中n i n n nxR， nN*且 n2F(第 22 题图)xyOAMN- 7 -（1）若 fn(1)7 gn(1)，求 n 的值；（2）对于每一个给定的正整数 n，求关于 x 的方程 fn(x) gn(x)0 所有解的集合参考答案说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得

13、的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 计 70 分 . 不 需 写 出 解 答 过 程 ， 请 把 答 案 写 在 答题 纸 的 指 定 位 置 上 ）13，2，2 2 3150 47 5 6 ，2 523 2117 8 94 102 11 x2 y 40 12 3 13 514e ，4e2 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15(本小题满分 14 分)解：（1）因为点 P 的横坐标为 ， P 在单位圆上， 为锐角，所

14、以 cos ， 2 分所以 cos2 2cos 2 1 174 分（2）因为点 Q 的纵坐标为 ，所以 sin - 8 -6 分又因为 为锐角，所以 cos 13148 分因为 cos ，且 为锐角，所以 sin ，因此 sin2 2sin cos ， 10 分所以 sin(2 ) 1314 1712 分因为 为锐角，所以 02 又 cos2 0，所以 02 ， 2又 为锐角，所以 2 ，所以 2 2 2 314 分16(本小题满分 14 分)（1）证明：如图 1，连结 PE因为 PBC 的边长为 2 的正三角形， E 为 BC 中点，所以 PE BC， 2 分且 PE ，同理 AE 3 3因

15、为 PA ，所以 PE2 AE2 PA2，所以 PE AE4 分6因为 PE BC， PE AE， BC AE E， AE， BC 平面 ABC，所以 PE 平面 ABC 因为 PE 平面 PBC，所以平面 PBC平面 ABC 7 分（2）解法一如图 1，连接 CD 交 AE 于 O，连接 OM因为 PD平面 AEM， PD 平面 PDC，平面 AEM平面 PDC OM，所以 PD OM， 9 分所以 PMPC DODC(图 1)OCBPAMD E- 9 -11 分因为 D， E 分别为 AB， BC 的中点， CD AE O，所以 O 为 ABC 重心，所以 ，DODC 13所以 PM PC

16、 13 2314 分解法二如图 2，取 BE 的中点 N，连接 PN因为 D， N 分别为 AB， BE 的中点，所以 DN AE又 DN 平面 AEM， AE 平面 AEM，所以 DN平面 AEM 又因为 PD平面 AEM， DN 平面 PDN， PD 平面 PDN， DN PD D，所以平面 PDN平面 AEM 9 分又因为平面 AEM平面 PBC ME，平面 PDN平面 PBC PN，所以 ME PN，所以 11PMPC NENC分因为 E， N 分别为 BC， BE 的中点，所以 ，所以 PM PC NENC 13 13 2314 分17(本小题满分 14 分)解：（1）连结 DC-

17、10 -在 ABC 中， AC 为 2 百米， AC BC， A 为 ， 3所以 CBA ， AB4， BC2 6 32 分因为 BC 为直径，所以 BDC ， 2所以 BD BC cos 2 cos 34 分（2）在 BDF 中， DBF ， BFD ， BD2 cos ， 6 3 3所以 ， BDsin BFD所以 DF4cos sin( )， 66 分且 BF4cos ，所以 DE AF=44cos ， 2 2 8 分所以 DE DF44cos 4 cos sin( )= sin2 cos2 32 6 32 sin(2 )3 612 分因为 ，所以 2 ， 3 2 2 6 56所以当 2

18、 ，即 时， DE DF 有最大值 5，此时 E 与 C 重合 6 2 313 分答：当 E 与 C 重合时，两条栈道长度之和最大 14 分18(本小题满分 16 分)解（1）离心率 e ，所以 c a， b a， ca3232 a2 c2122 分所以椭圆 C 的方程为 1x24b2 y2b2- 11 -因为椭圆 C 经过点 P( ， )，所以 1，85 35 1625b2 925b2所以 b21，所以椭圆 C 的方程为 y21 x244 分（2）解法一设 N(n，0)，当 l 斜率不存在时， A( ， y)， B( ， y)，则 y21 ，25 25 2425则 ( n)2 y2( n)2

19、 n2 n ， NA NB 25 25 2425 45 456 分当 l 经过左 右顶点时， (2 n)(2 n) n24NA NB 令 n2 n n24，得 n4 45 458 分 下面证明当 N 为(4，0)时，对斜率为 k 的直线 l： y k(x )，恒有 1225 NA NB 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由 消去 y，得(4 k21) x2 k2x k240， 1651625所以 x1 x2 ， x1x2 ， 10 分所以 ( x14)( x24) y1y2NA NB ( x14)( x24) k2(x1 )(x2 )2525( k21) x1x2(4 k2)(x1

20、 x2)16 k2 2542512 分 ( k21) (4 k2) 16 k225425 16- 12 - 1612 16k2 44k2 1所以在 x 轴上存在定点 N(4，0)，使得 为定值 NA NB 16 分解法二设 N(n，0)，当直线 l 斜率存在时，设 l： y k(x )，25设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由 消去 y，得(4 k21) x2 k2x k240， 1651625所以 x1 x2 ， x1x2 ， 6分所以 ( x1 n)(x2 n) y1y2( x1 n)(x2 n) k2(x1 )(x2 )NA NB 25 25( k21) x1x2( n k2

21、)(x1 x2) n2 k225425( k21) ( n k2) n2 k2 254258 分 n2 n2 12 分若 为常数，则 为常数，设 ， 为常数，NA NB 则( n )k244 k 2 对任意的实数 k 恒成立， 165165所以 所以 n4， 4， 此时 12 NA NB 14 分当直线 l 斜率不存在时， A( ， y)， B( ， y)，则 y21 ，25 25 2425- 13 -所以 ( 4) 2 y2( 4) 2 12，NA NB 25 25 2425所以在 x 轴上存在定点 N(4，0)，使得 为定值 NA NB 16 分19(本小题满分 16 分)解：（1）因为

22、f (x)2 x33 ax23 a2（ a0） ，所以 f(x)6 x26 ax6 x(x a) 令 f(x)0，得 x0 或 a 2 分当 x(，0)时， f(x)0， f (x)单调递增；当 x(0， a)时， f(x)0， f (x)单调递减；当 x( a，)时， f(x)0， f (x)单调递增故 f (x)极大值 f (0)3 a20，解得 a 234 分（2） g (x) f (x)6 x2 x33 ax26 x3 a2（ a0） ，则 g( x)6 x26 ax66( x2 ax1)， x0，1当 0 a2 时，36( a24)0，所以 g( x)0 恒成立， g (x)在0，1

23、上单调递增，则 g (x)取得最大值时 x 的值为 1 6 分当 a2 时， g( x)的对称轴 x 1，且36( a24)0， g(1)6(2 a)a20， g(0)60，所以 g( x)在(0，1)上存在唯一零点 x0 当 x(0， x0)时， g( x)0， g (x)单调递增，当 x( x0，1)时， g( x)0， g (x)单调递减，则 g (x)取得最大值时 x 的值为 x0 8 分综上，当 0 a2 时， g (x)取得最大值时 x 的值为 1；- 14 -当 a2 时， g (x)取得最大值时 x 的值为 9 分（3）设 h (x) f (x) f ( x)2 x33( a2

24、) x26 ax3 a2，则 h (x)0 在 ， 有解 a2 a 2210 分h( x)6 x2( a2) x a6( x )2 ，a 22 a2 44因为 h( x)在( ， )上单调递减，所以 h( x) h( ) a20，a2 a 22 a2 32所以 h (x)在( ， )上单调递减，a2 a 22所以 h( )0，即 a33 a26 a40 a212 分设 t (a) a33 a26 a4（ a0） ，则 t ( a)3 a26 a6， 当 a(0，1 )时， t ( a)0， t (a)单调递减；2当 a(1 ，)时， t ( a)0， t(a)单调递增2因为 t (0)40，

25、t (1)40，所以 t (a)存在一个零点 m(0，1)， 14 分因为 t (4)40， t (5)240，所以 t (a)存在一个零点 n(4，5)，所以 t (a)0 的解集为 m， n，故满足条件的正整数 a 的集合为1，2，3，4 16 分20(本小题满分 16 分)解：（1）当 n2 时， an Sn Sn1 2 n22( n1) 24 n2，又 a1 S12412，所以 an4 n2 2 分所以 an| an1 an2 |4 n244( n1)2 为数列 an的第 n1 项，因此数列 an为“ T 数列” 4 分（2）因为数列 an是公差为 d 的等差数列，- 15 -所以 a

26、n| an1 an2 | a1( n1) d| d|因为数列 an为“ T 数列” ，所以任意 nN*，存在 mN*，使得 a1( n1) d| d| am，即有( m n) d| d|6 分若 d0，则存在 m n1N*，使得( m n) d| d|，若 d0，则 m n1此时，当 n1 时， m0 不为正整数，所以 d0 不符合题意综上， d0 8 分（3）因为 an an1 ，所以 an| an1 an2 | an an2 an1 又因为 an an an2 an1 an2 ( an1 an) an2 ，且数列 an为“ T 数列” ，所以 an an2 an1 an1 ，即 an an

27、2 2 an1 ，所以数列 an为等差数列 10 分设数列 an的公差为 t(t0)，则有 an1( n1) t，由 an a a an1 ，得 1( n1) t t2(2 n1) t2 n 1 2 n1 nt，12 分整理得 n(2t2 t) t23 t1， n(t2 t2)2 t t21 若 2t2 t0，取正整数 N0 ，t2 3t 12t2 t则当 n N0时， n(2t2 t)(2 t2 t) N0 t23 t1，与式对于任意 nN*恒成立相矛盾，因此 2t2 t0同样根据式可得 t2 t20，所以 2t2 t0又 t0，所以 t 12经检验当 t 时，两式对于任意 nN*恒成立，1

28、2所以数列 an的通项公式为 an1 (n1) 12 n 1216 分- 16 - 17 -参考答案 说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数21 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答卷

29、卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲证明：连结 MN，则 BMN BCA， 2 分又 MBN CBA，因此 MBN CBA 4 分所以 ABAC BNMN6 分又因为 AC AB，所以 2，即 BN2 MN 12 BNMN8 分又因为 BN2 AM，所以 AM MN， 所以 CM 是 ACB 的平分线 10 分B选修 42：矩阵与变换解：因为 A ， B ，所以 AB 1 20 1 2 00 1 2 20 14 分设点 P0(x0， y0)是 l 上任意一点， P0在矩阵 AB 对应的变换作用下得到 P(x， y)因为 P0(x0， y0)在直线 l

30、: x y20 上，所以 x0 y020 由 AB ，即 ，x0y0 xy 2 20 1x0y0 xy- 18 -得 2 x0 2 y0 x，y0 y， )6 分即 将代入得 x4 y40，所以直线 l1的方程为 x4 y40 10 分C选修 44：坐标系与参数方程解：解法一在直线 sin( ) 中，令 0，得 2. 3 3所以圆 C 的圆心坐标为 C(2，0) 4 分因为圆 C 经过点 P(2， )， 3所以圆 C 的半径 PC 2， 6 分所以圆 C 的极坐标方程 4cos 10 分解法二以极点为坐标原点，极轴为 x 轴建立平面直角坐标系，则直线方程为 y x2 ， P 的直角坐标为(1，

31、 )， 3 3 3令 y0，得 x2，所以 C(2，0)， 4 分所以圆 C 的半径 PC =2， 6 分所以圆 C 的方程为( x2) 2( y0) 24，即 x2 y24 x0， 8 分所以圆 C 的极坐标方程 4cos . 10 分D选修 45：不等式选讲解：因为(1 21 21 2)( )2( )2( )22a b 2b c 2c a- 19 -(1 1 1 )2，2a b 2b c 2c a即( )29( a b c) 2a b 2b c 2c a4 分因为 a b c1，所以( )29， 2a b 2b c 2c a6 分所以 3，2a b 2b c 2c a当且仅当 ，即 a b

32、 c 时等号成立 2a b 2b c 2c a13所以 的最大值为 3. 2a b 2b c 2c a10 分【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分 22 （本小题满分 10 分）解：（1）因为点 A(1， a) (a0)是抛物线 C 上一点，且 AF=2，所以 12，所以 p2. p23 分（2）解法一由(1)得抛物线方程为 y24 x因为点 A(1， a) (a0)是抛物线 C 上一点，所以 a2 4 分设直线 AM 方程为 x1 m (y2) ( m0)， M(x1， y1)， N(x2， y2)由 消去 x，得 y24 m y8 m40，x 1 m (y

33、2)，y2 4x， )即( y2)( y4 m2)0，所以 y14 m2 6 分因为 AM AN，所以 代 m，得 y2 2， 1m 4m8 分所以 d1d2|( y12) (y22)|4 m( )|16 4m10 分解法二由(1)得抛物线方程为 y24 x因为点 A(1， a) (a0)是抛物线 C 上一点，所以 a2 - 20 -4 分设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则 ( x11)( x21)( y12) (y22)0 AM AN 6 分又因为 M(x1， y1)， N(x2， y2)在 y24 x 上，所以( y214) (y224)16( y12) (y22)0， 即(

34、 y12) (y22)16( y12) (y22)0因为( y12) (y22)0，所以( y12) (y22)16， 8 分所以 d1d2|( y12) (y22)|16 10 分23 （本小题满分 10 分）解：（1）因为 fn(x) A x(x1)( x i1)，n i n所以 fn(1) A 1i n!( n1) n!， gn(1)n i n A 12 n2 n!，n n所以( n1) n!14 n!，解得 n15 3 分（2）因为 f2(x) g2(x)2 x2 x(x1)( x1)( x2)，f3(x) g3(x)6 x3 x(x1)6 x(x1)( x2)( x1)( x2)(

35、x3)，猜想 fn(x) gn(x)( x1)( x2)( x n) 5 分下面用数学归纳法证明：当 n2 时，命题成立；假设 n k(k2， kN*)时命题成立，即 fk(x) gk(x)( x1)( x2)( x k)，因为 fk1 (x) A x(x1)( x i1)k 1 i k 1 (k1) A x(x1)( x i1) A x(x1)( x k1)k i k 1 k 1( k+1) fk(x)( k+1) x(x1)( x k1)，所以 fk1 (x) gk1 (x)( k+1) fk(x)( k+1) x(x1)( x k1) A x(x1)( x k)k 1 k 1- 21 -( k+1) fk(x) x(x1)( x k1) A x(x1)( x k)k k( k+1) fk(x) gk(x) x(x1)( x k)( k+1)(x1)( x2)( x k) x(x1)( x k)( x1)( x2)( x k) (x k1)，即 n k1 时命题也成立 因此任意 nN*且 n2，有 fn(x) gn(x)( x1)( x2)( x n) 9 分所以对于每一个给定的正整数 n，关于 x 的方程 fn(x) gn(x)0 所有解的集合为1，2， n 10 分