1、初中几何折叠问题初探湖北孝感肖港初中 唐文折叠问题题型多样，变化灵活，从考察学生空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用折叠相关性质的说理计算题，发展到基于折叠操作的综合题，甚至是压轴题. 考查的着眼点日趋灵活，能力立意的意图日渐明显.这 对 于 识 别 和 理 解 几 何 图 形 的 能 力 、 空 间 思 维 能 力 和 综 合 解 决 问 题 的 能 力都 提 出 了 比 以 往 更 高 的 要 求 .折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折 1800，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果.折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更
2、突出了轴对称问题的应用. 所以在解决有关的折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质.根据轴对称的性质可以得到：折叠重合部分一定全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴；互相重合两点（对称点）之间的连线必被折痕垂直平分；对称两点与对称轴上任意一点连结所得的两条线段相等；对称线段所在的直线与对称轴的夹角相等. 在解题过程中要充分运用以上结论，借助辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题，可以使得解题思路更加清晰，解题步骤更加简洁.1、利用点的对称 例 1. （2006 年南京市）已知矩形纸片 ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点 A 与边 CD
3、上的点 E 重合.（1）如果折痕 FG 分别与 AD、AB 交于 F、G（如图），AF= ，求 DE 的长；（2）如果折痕 FG 分别与 CD、AB 交于 F、G（如图），AED 的外接圆与直线 BC 相切，求折痕 FG 的长.图中 FG 是折痕，点 A 与点 E 重合，根据折叠的对称性,已知线段 AF 的长,可得到线段 EF 的长，从而将求线段的长转化到求 RtDEF 的一条直角边 DE. 图中，连结对应点 A、E，则折痕 FG 垂直平分 AE，取 AD 的中点 M，连结 MO，则MO= DE，且 MOCD，又 AE 为 RtAED 的外接圆的直径，则 O 为圆心，延长 MO交 BC 于 N
4、，则 ONBC，MN=AB,又 RtAED 的外接圆与直线 BC 相切，所以 ON是 RtAED 的外接圆的半径，即 ON= AE，根据勾股定理可求出 DE= ，OE=. 通过 RtFEORtAED，求得 FO= ，从而求出 EF 的长.对称点的连线被对称轴垂直平分，连结两对称点既可以得到相等的线段，也可以构造直角三角形, 本题把折叠问题转化为轴对称问题，利用勾股定理和相似求出未知线段，最后把所求的线段转化到直角三角形中去处理.二、利用线段的对称性质例 2.（新课标人教版数学八年级下学期 P126）数学活动 1：折纸做300、60 0、15 0的角 对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC
5、重合，得到折痕 EF，把纸片展平，再次折叠纸片，使 A 点落在折痕 EF 上的 N 点处，并使折痕经过点 B 得到折痕 BM，同时得到线段 BN，观察所得到的ABM、MBN 和NBC，这三个角有什么关系？（教师用书中给出了这样的提示：ABMNBC，作 NGBC，则直角三角形中NG= BN，从而可得ABM=MBN=NBC=30 0.）若这样证明则要用到：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 300. 这个定理现行教材中没有涉及到，在这儿用不太合适. 如果直接运用轴对称思想说理应该比较简洁明了：连结 AN，则AN=BN，又 AB=BN，所以三角形 ABN 为等边
6、三角形，所以ABM=MBN=NBC=30 0.利用对称的思想来证明线段的相等比用其他方法快捷而且灵活.三、利用面对称的性质例 3. (2006 年临安)如图，OAB 是边长为 2 的等边三角形，其中 O 是坐标原点，顶点 B 在 y 轴的正方向上，将OAB 折叠，使点 A 落在 OB 上，记为 A点，折痕为 EF. 此题中第问是：当 A点在 OB 上运动，但不与 O、B 重合时，能否使AEF 为直角三角形？这一问题需通过分类讨论，先确定直角顶点不可能在 A处. 当AEF 为直角三角形，且直角顶点在 F 处时，根据轴对称性质我们可以得到AFE=AFE=90 0，此时 A点与 B 点重合，与题目中
7、已知相矛盾，所以直角顶点在点 F 处不成立. 同理可证，直角顶点亦不可能在点 E 处. 故当 A点在 OB上运动，若不与 O、B 重合，则不存在这样的 A点使AEF 为直角三角形.在折叠问题中,利用面的对称性可得到相等的角、全等的图形和相等的面积.解决折叠问题时，首先要对图形折叠有一准确定位，把握折叠的实质，抓住 图 形 之 间 最 本 质 的 位 置 关 系 ， 从 点 、 线 、 面 三 个 方 面 入 手 ， 发 现 其 中 变化 的 和 不 变 的 量 . 进一步发现图形中的数量关系；其次要把握折叠的变化规律，充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系用方程的形式表达出来，运用所学知识合理、有序、全面的解决问题.
