1、 卓越个性化教案 GFJW0901向量的数量积和坐标运算是两个非零向量，它们的夹角为 ，则数 叫做 与 的数量积（或ba, cos|baab内积） ，记作 ，即 其几何意义是 的长度与 在 的方向上的投影 .cos|ba的乘积. 其坐标运算是： 若 ，则),(),(21zyxbzyxa ； 12 ；2212|,| zyxzyx 212ba 221211,cos zyxzyx1.2. 异面直线 所成的角nm,分别在直线 上取定向量 则异面直线 所成的角 等于向量 所成的角或其补角,banm,ba,（如图 1 所示） ，则 .|cos1.3. 异面直线 的距离nm、分别在直线 上取定向量 求与向量
2、 都垂直的、 ,baba、向量 ，分别在 上各取一个定点 ，则异面直线 的距离 等于 在 上的射影、 BA、 nm、 dABn长，即 .|nABd1.4. 直线 与平面 所成的角L在 上取定 ，求平面 的法向量 （如图 2 所示） ，再求 ，则n |cosnAB为所求的角. 2 C图1DAnmb卓越个性化教学讲义21.5 二面角方法一：构造二面角 的两个半平面 的法向量l 、（都取向上的方向，如图 3 所示） ，则21n、 若二面角 是“钝角型”的如图 3 甲所示，那么其l大小等于两法向量 的夹角的补角，即 （例如 2004 年高考数21n、 .|cos21n学广东卷第 18 题第（1）问）.
3、 若二面角 是“锐角型”的如图 3 乙所示，那么其大l小等于两法向量 的夹角，即21n、 .|cos21n 方法二：在二面角的棱 l上确定两个点 ，过 分别在平面 内求出与 l垂直BA、 、 、的向量 （如图 4 所示） ，则二面角 的大小等于向21n、 l量 的夹角，即 、 .|cos21n1.6. 平面外一点 到平面 的距离p先求出平面 的法向量 ，在平面内任取一定点 ，则点 到平Ap面 的距离 等于 在 上的射影长，即 .dAPn|nPd练习1在长方体 中， 和 与底面所成的角分别为 和 ，则异面直线1ABCD1BC1D6045和 所成角的余弦值为 B12.如图，正四棱柱 1ABCD中，
4、 12AB，则异面直线 1AB与1AD所成角的余弦值为（ ） AB1D1C1n2图3乙l1n2l图3甲 1n2l图4BA图5Apn卓越个性化教学讲义3A 15B 2C 35D 43 ，在四面体 S-ABC 中，E、F、G、H、M、N 分别是棱 SA、BC、AB、SC、AC、SB 的中点，且EF=GH=MN,求证： .ABSCBSA,4如图 2，正三棱柱 的底面边长为 ，侧棱长为 ，求 与侧面 所成1ABCa2a1AC1BA的角5如图 3，直三棱柱 中，底面是等腰直角三角形， ，侧棱1ABC 90ACB分别是 与 的中点，点 在平面 上的射影是12ADE， EABD的重心 ，求点 到平面 的距离
5、B GD卓越个性化教学讲义46已知正方体 的棱长为 2， 分别是 上的动点，且 ，确1ABCDPQBCD， 2PQ定 的位置，使 PQ， P7如图 4，在底面是直角梯形的四棱锥 中， ， 面 ，SABCD90SABCD，求面 与面 所成二面角的正切值12SABCAD，C7.如图，在四棱锥 SABCD中，底面 AB为正方形，侧棱 SD 底面 EF， ， 分别为 SC， 的中点（1）证明 F 平面 ；（2）设 2，求二面角 的大小的余弦值A E BCFSD卓越个性化教学讲义58(本小题满分 14 分)如图，三棱柱 , ABCABC平 面中 ， 平 面 11 ,1ABC平 面平 面 , .90BAC
6、3,2() 求证： ；平 面1（） 求异面直线 ；所 成 角 的 余 弦 值与 1BCA（） 求点 的 距 离到 平 面19、如图，在四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD底面 ABCD，侧棱 PA=PD ，底面 ABCD2为直角梯形，其中 BCAD, ABAD , AD=2AB=2BC=2, O 为 AD 中点.（1）求证：PO平面 ABCD；（2）求异面直线 PB 与 CD 所成角的余弦值大小；（3）线段 AD 上是否存在点 Q，使得它到平面 PCD 的距离为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请AD说明理由.卓越个性化教学讲义610如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AD= A
7、A 1=1，AB=2。E 是 CC1 的中点，（1）求锐二面角 D-B1E-B 的余弦值 （2）试判断 AC 与面 DB1E 的位置关系，并说明理由。（3）设 M 是棱 AB 上一点，若 M 到面 DB1E 的距离为 27，试确定点 M 的位置。11 如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 为菱形，PA平面 ABCD， ,E，60ABCF 分别是 BC, PC 的中点.（）证明：AEPD ;（）若 H 为 PD 上的动点，EH 与平面 PAD 所成最大角正切 值为 ，求二面角 EAFC 的余弦值.62EACBD1 1卓越个性化教学讲义7ABCDP12长方体 ABCD-A1BlClD1中
8、， AB=2，AD=1，AA 1= ，E、F 分别是2AB、CD 的中点 (1)求证：D lE平面 ABlF；(2)求直线 AB 与平面 ABlF 所成的角(3)求二面角 A-B1F-B 的大小。13如图，三棱锥 PABC 中， PC 平面 ABC，PC=AC=2，AB=BC ，D 是 PB 上一点，且 CD 平面 PAB(I) 求证：AB 平面 PCB；(II) 求异面直线 AP 与 BC 所成角的大小； (III)求二面角 C-PA-B 的大小的余弦值课外练习1如右下图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，已知 AB= 4， AD =3， AA1= 2E、F 分别是线段 AB、BC上的点，且 EB= FB=1（1）求二面角 C-DE-C1 的正切值；（2）求直线 EC1 与 FD1 所成的余弦值A ED CBA1FD1 C1B1卓越个性化教学讲义82 已知，如图四棱锥 ABCDP中，底面 AB是平行四边形，PG平面 ，垂足为 G,在 上，且 GD31， ECB2,是 的中点，四面体 CP的体积为 83（）求异面直线 与 P所成角余弦值；（）若 F点是棱 上一点，且 GDF，求 C的值.
