1、广东省深圳市南山区 2018 届高三上学期入学摸底考试数学（文）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合 ，则 ( )A. B. C. D. 1,2 2,3 1,2,3【答案】B【解析】 ,选 B.M=(0，eMN=1,22. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是( )A. B. C. D. y=x3 y=2x y=x1x y=sin2x【答案】A【解析】 是奇函数又在定义域上单调递增 ; 在定义域上单调递增但是非奇非偶函数 ; 是奇y=x3 y=2x y=x-1x函数但在
2、和 上单调递增, 在定义域上不具单调性 ;(0,+) (,0）是奇函数又在定义域上有增有减,所以选 A.y=sin2x3. 若复数 满足 ，则 ( )z (1+2i)z=1i |z|=A. B. C. D. 25 35 105【答案】C【解析】 ,选 C.(1+2i)z=1-i4. 在正方体 中， 是线段 上的动点， 是线段 上的动点,且 不重合，则直线ABCDA1B1C1D1 BC F CD1 E,F与直线 的位置关系是( )AB1 EFA. 相交且垂直 B. 共面 C. 平行 D. 异面且垂直【答案】D【解析】由题意易知：直线 ， 又直线 与直线 异面直线，AB1平 面 A1BCD1 AB
3、1EF， AB1故选：D5. 若 满足约束条件 则 的最大值是( )x,y xy+10,x2y0,x+2y20, z=x+yA. B. C. 1 D. 312 32【答案】C【解析】可行域如图,则直线 过点 A 时取最大值 1,选 C.z=x+y (0,1)点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.6. 命题“实数的平方都是正数”的否定是( )A. 所有实数的平方都不是正数 B. 所有的实数的平方都是正数C.
4、至少有一个实数的平方是正数 D. 至少有一个实数的平方不是正数【答案】D【解析】命题“实数的平方都是正数”的否定是所有实数的平方不都是正数,即至少有一个实数的平方不是正数，选 D.点睛：命题的否定的注意点(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提； (2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)注意“或” “且”的否定， “或”的否定为“且” ，且”的否定为“或”.7. 过点 ，且倾斜角为 的直线与圆 相切于点 ，且 ，则 的A(a,0)(a0) O:x2+y2=r2(r0) B |AB|= 3 OAB面积是( )A. B. C
5、. 1 D. 212 32【答案】B【解析】在直角三角形 AOB 中 ，选 B.BAO=300,|AB|= 3|OB|=1S=12|AB|OB|=328. 已知单位向量 满足 ，则 与 的夹角的大小是( )a,b |a+b|=|ab| a baA. B. C. D. 6 3 4 34【答案】D【解析】 ，所以 ，选 D.|a+b|=|a-b|abcos=a(ba)|a|(ba)|= 112=22=349. 执行如图所示的程序框图，输出的 的值是( )SA. B. 0 C. D. 12 12 32【答案】C【解析】第一次循环后： ，S=sin6第二次循环后： ，S=sin6+sin(6+2)第三
6、次循环后： ，S=sin6+sin(6+2)+sin(6+)，第十三次循环后： ，S=sin6+sin(6+2)+sin(6+6) n=13不符合，输出 S，又周期为 4，即四项和为零，故结果为 sin(6+6)=12故选：C点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10. 设 的内角 的对边分为 ， .若 是 的中点，则 ( )ABC A,B,C a,b,c b= 3,C=6,sinA=12 D BC AD=
7、A. B. C. D. 74 72 14 12【答案】B【解析】 sinA=12A=6或 56（舍 ）|CD|=12,选 B.|AD|2= 32+(12)22 312cos6=74|AD|=72点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.11. 若双曲线 的左支与圆 相交于 两点， 的右焦点为 ，且C:x2a2y2b2=1(a,b0
8、) x2+y2=c2(c2=a2+b2) A,B C F为正三角形，则双曲线 的离心率是( )AFB CA. B. C. D. 3+1 2+1 3 2【答案】A【解析】设 的左焦点为 由题意得 ，选 A.C F1 |BF|= 3c,|BF1|=c2a=|BF|BF1|= 3cce=231= 3+1点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根a,b,c据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性a,b,c b a,c a,b,c质、点的坐标的范围等.12. 某组合体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由
9、正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 1，则该多面体的体积是( )A. 2 B. C. D. 43 3 53【答案】B【解析】由题意可知：该几何体下方为正方体，上方为两个等体积的三棱锥构成，其体积为：V=13+2131211=43故答案为：43点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合
10、(3)由几何体的三视图还原几何体的形状要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知 ，则 的大小关系是_.（用“ ”连接）a=(13)3.3,b=(13)3.9 a,b (13)3.9，b0,0,|2) k+6,k+3(kZ)，则 _.f(2)=【答案】 -32【解析】因为单调递减区间为 ，所以 ，k+6,k+3(kZ) T=2=2f(2)=Asin(+)=Asin=f(0)=3216. 若关于 的方程 有三个解，则实数 的取值范围是_x a【答案】 ln44,
11、1e【解析】设 与 相切时的切点为 ，则 ，又y=ax y=lnx(x1) (x1,lnx1)过点 时 y=ax (4,ln4) a=ln44如图可知满足条件实数 的取值范围是a ln44,1e点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等差数列 的前 项和为 .an n Sn,a5=2,S5=30（1）求
12、数列 的通项公式；an（2）当 取得最小值时，求 的值.Sn n【答案】 （1） （2） 或 6.an=2n12 n=5【解析】试题分析：（1）由 ， 得： ，故 ；（2）令 ，即a5=-2 S5=-30 a1=-10，d=2 an=2n-12 an0，解得 ，所以当 取最小值时， 或 6.2n-120 n6 Sn n=5试题解析：(1)因为 ，又 ，解得 .S5=(a5+a1)52 =-30 a5=-2 a1=-10所以数列 的公差 .an d=a5-a14 =2所以 .an=a1+(n-1)d=2n-12(2)令 ，即 ，解得 .an0 2n-120 n6又 ，a6=0所以当 取最小值时，
13、 或 6.Sn n=518. 如图，四棱锥 中，底面 为菱形， 底面 ， ， 是 上的一点，PABCD ABCD PA ABCD AC= 2,PA=1 E PC为 的中点.MPC（1）证明： 平面 ；PA/ BMD（2）证明： 平面 .PC BED【答案】 （1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）设 .利用三角形中位线性质得 ，再利用线面平行判定定理得ACBD=F MF/PA平面 ；（2）先根据三角形相似得 ，再由 底面 得 .而由菱形性质得PA/ BMD PCEF PA ABCD PABD.因此由线面垂直判定定理得 平面 ，即得 .最后再由线面垂直判定定理得BDAC BD PAC B
14、DPC平面 .PC BED试题解析：（1）如图，连接 ，设 .MF ACBD=F底面 为菱形， 是 的中点，ABCD F AC又 为 的中点，所以 ，MPC MF/PA又因为 平面 ， 平面 ，MF BMD PA BMD 平面 .PA/ BMD（2）因为底面 为菱形，所以 .ABCD BDAC又 底面 ， 平面 ，所以 .PA ABCD BD ABCD PABD因为 ，所以 平面 ， 平面 ，所以 .ACPA=A BD PAC PC PAC BDPC如图，连接 .EF由题可知， ,PC= 3,AC= 2,PA=1，PE=2EC故 ，EC=33,FC=22从而 .PCFC= 6,ACEC= 6所
15、以 ，又 ，PCFC=ACEC FCE=PCA所以 ，由此知 .FCEPCA,FEC=PAC=90 PCEF又 ，所以 平面 .BDEF=F PC BED19. 某班 20 名同学某次数学测试的成绩可绘制成如图茎叶图.由于其中部分数据缺失，故打算根据茎叶图中的数据估计全班同学的平均成绩.（1）完成频率分布直方图；（2）根据（1）中的频率分布直方图估计全班同学的平均成绩 （同一组中的数据用改组区间的中点值作x代表） ；（3）根据茎叶图计算出的全班的平均成绩为 ，并假设 ，且 取得每一个可能值的机会y anZ|0n9 a相等，在（2）的条件下，求概率 .P(yx)【答案】 （1）见解析（2）78（
16、3）0.7【解析】试题分析：（1）根据频率等于频数除以总数，频率分布直方图小长方体的高等于对应概率除以组距，计算数值并完成频率分布直方图；（2）根据组中值与对应概率乘积的和为平均数计算平均成绩（3）先根据平均数等于总分除以总人数得 ，再解不等式 得 ，最后根据古典概型概y=1558+a20 1558+a2078a2率计算公式求概率试题解析：解：（1）频率分布直方图如图：（2） ，x=550.1+650.15+750.3+850.25+950.2=78即全班同学平均成绩可估计为 78 分.（3） ，y=502+603+706+805+904+98+a20 =1558+a20故 .P(yx)=P(
17、1558+a2078)=P(a2)=0.720. 已知椭圆 经过点 ， 的四个顶点构成的四边形面积为 .C:x2a2+y2b2=1(ab0) A(1,32) C 43（1）求椭圆 的方程；C（2） 为椭圆上的两个动点，是否存在这样的直线 ，使其满足:直线 的斜率与直线 的斜率E,F AE,AF AE AF互为相反数；线段 的中点在直线 上.若存在，求出直线 和 的方程；若不存在，请说明理由.EF x=12 AE AF【答案】 （1） （2） x24+y23=1 y=32x,y=32x+3【解析】试题分析：(1)利用条件布列关于 的方程组，解之即可;(2) 设直线 的方程为 ，a，b AE y-
18、32=k(x-1)代入 ，得 .利用设而要求法，得到 ，同理x24+y23=1 (3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4k2-12k-3=0 x1=4k2-12k-33+4k2，结合中点坐标公式得结果.x2=4k2+12k-33+4k2试题解析：(1)由已知得 ，解得 ，a2=4,b2=3椭圆 的方程 .Cx24+y23=1(2)设直线 的方程为 ，代入 ，得AE y-32=k(x-1) x24+y23=1.(*)(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4k2-12k-3=0设 ， ，且 是方程(*)的根，E(x1,y1) F(x2,y2) x=1 ，x1=4k2-12k-33+4k2用 代
19、替上式中的 ，可得 ，-k k x2=4k2+12k-33+4k2故 中点横坐标为 ，EFx1+x22 =3+4k22 =12解得 ，k=32直线 的方程分别为 ， 或 ， .AE,AF y=32x y=-32x+3 y=-32x+3 y=32x21. 已知函数 .f(x)=ex(a1)x+b（1）求函数 的极小值；f(x)（2）若函数 有两个零点 ，求证： .f(x) x1,x2 aex1+x22 +1【答案】 （1）极小值为 （2）见解析f(ln(a1)=(a1)1ln(a1)b【解析】试题分析：（1）先求函数导数 .再根据导函数是否变号进行分类讨论：当 时，f(x)=ex-a+1 a1导函数不变号，无极小值；当 时，导函数先负后正，有一个极小值（2）先用分析法转化要证不等式：a1因为 . 令 ，所以只要证 ，即证 ，利用导数易得 为增a-1=ex2-x1x2-x1 t=x2-x10 et2t F(t)=et2-e-t2-t函数，即得 所以原命题成立 .F(t)F(0)=0试题解析：解：（1） .f(x)=ex-a+1当 时， 在 上为增函数，函数 无极小值；a1 f(x)0,f(x) R f(x)当 时，令 ，解得 .a1 f(x)=0 x=ln(a-1)若 ，则 单调递减；x(-,ln(a-1) f(x)0,f(x)
