1、百校联盟 2018 届 TOP20 九月联考(全国卷)理科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 , ,则 ( )A=x|3x24x+10B=x|y= 4x3 AB=A. B. C. D. (34,1 34,1 13,34 13,34)【答案】B【解析】求解不等式： 可得： ，3x2-4x+10 A=x|13x1函数 有意义，则： ，则 ，y= 4x-3 4x30 B=x|x34据此可得： .AB=x|34x1本题选择 B 选项.2. 已知实数 、 满足 （为虚数单位） ，则在
2、复平面内，复数 对应的点位于（ m n (m+ni)(42i)=3i+5 z=m+ni）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】由题意可得： ，(m+ni)(42i)=(4m+2n)+(4n2m)i结合题意有： ，解得：4m+2n=34n2m=5 m=110n=1310则 z 对应的点位于第一象限.本题选择 A 选项.3. 太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆被 的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均
3、为 1，现在大圆内随机取一点，则此O y=3sin6x点取自阴影部分的概率为（ ）A. B. C. D. 136 118 112 19【答案】B【解析】设大圆的半径为 R，则： ，R=T2=1226=6则大圆面积为： ，小圆面积为： ，S1=R2=36 S2=122=2则满足题意的概率值为： .p=236=118本题选择 B 选项.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件 A 满足的不等式，在图形中画出事件 A 发生的区域，据此求解几何概型即可 .4. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （
4、 ）an n Sn 2a11=a9+7 S25=A. B. C. D. 1452 145 1752 175【答案】D【解析】由题意可得： ，2a11=a9+a13,a13=7结合等差数列前 n 项和公式有： .S25=a1+a252 25=2a13225=25a13=257=175本题选择 D 选项.5. 甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）A. 丙被录用了 B. 乙被录用了 C. 甲被录用了 D. 无法确定谁被录用了【答案】C【解析】若乙的说法
5、错误，则甲丙的说法都正确，而两人的说法互相矛盾，据此可得，乙的说法是正确的，即甲被录用了.本题选择 C 选项.6. 运行如图所示的程序框图，若输入的 （ ，10）分别为ai i=1,2,1.5、2.6、3.7、4.8、7.2、8.6、9.1、5.3、6.9、7.0，则输出的值为（ ）A. B. C. D. 49 25 12 59【答案】C【解析】阅读流程图可得，流程图中的 k 记录输入的数据中大于等于 6.8 的数据的个数，i+1记录的输入数据的总个数，10 个数据中，大于等于 6.8 的数据的个数是 5 个，据此可得：输出的值为 .p=510=12本题选择 C 选项.点睛：(1)解决程序框图
6、问题要注意的三个常用变量计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如 ii 1.累加变量：用来计算数据之和，如 SSi；累乘变量：用来计算数据之积，如 ppi.(2)使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别7. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 163(1+) 83(1+) 43(2+3) 43(2+)【答案】A【解析】依题意，该几何体由一个四棱锥和一个圆锥拼接而成，故所求体积为 .V=1312442+13224=
7、163(1+)故选：A点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合(3)由几何体的三视图还原几何体的形状要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图8. 已知抛物线 ： 的焦点 到其准线的距离为 2，过焦点且倾斜角为 的直线与抛物线交于C y2=2px(
8、p0) F 60， 两点，若 ， ，垂足分别为 ， ，则 的面积为（ ）MN MMl NNl M N MNFA. B. C. D. 433 833 1633 3233【答案】B【解析】由题意可得 ：抛物线的方程为 ，直线 MN 的方程为： ，y2=4x x=33y+1联立直线与抛物线的方程可得： ，y2433x4=0则： ，y1+y2=433,y1y2=4，|y1y2|= y(1+y2)24y1y2=833的面积为 .S=122|y1y2|=833本题选择 B 选项.9. 已知 ，则 （ ）cos(2+)=3sin(+76) tan(12+)=A. B. C. D. 423 234 443 4
9、34【答案】B【解析】由题意可得： ，sin=3sin(+6)即： ，sin(+12)12=3sin(+12)+12结合两角和差正余弦公式有：，sin(+12)cos12cos(+12)sin12=3sin(+12)cos12+3cos(+12)sin12整理可得： .tan(+12)=2tan12=2tan(46)=2tan4tan61+tan4tan6=234本题选择 B 选项.10. 已知单位向量 与 的夹角为 ，向量 与 的夹角为 ，则 （ ）e1 e2 e1+2e2 2e1+e223 =A. B. C. 或 D. 或3 3 23 1 3【答案】B【解析】由题意可得： ，且：e1e2=
10、11cos3=12. . . . . . . .而： ，利用平面向量夹角公式可得：，cos23= 4+5274+2+2=12解得： .本题选择 B 选项.11. 如图，在长方体 中， ， ，点 是长方体外的一点，过点 作直线，ABCDA1B1C1D1 AB= 2 BB1=BC=1 P P记直线与直线 ， 的夹角分别为 ， ，若 ，则满足条件的直线（ ）AC1 BC 1 2 sin(150) =cos(1402)A. 有 1 条 B. 有 2 条 C. 有 3 条 D. 有 4 条【答案】D【解析】由题意有： ，sin(150)=cos(90+502)=sin(502)即： ，sin(150)=
11、sin(250)则 ，1=2考虑与直线 所成的角相同的直线，AC1,B1C1其在平面 内的射影应该平分 ，ADC1B1 AC1B1这样的直线只有 1 条，同理其补角也存在 1 条满足题意的直线，这样找到 2 条满足题意的直线，同理，在 处也可以找到 2 条满足题意的直线；DAC1综上可得：满足条件的直线有 4 条。本题选择 D 选项.12. 已知当 时，关于 的方程 有唯一实数解，则距离 最近的整数为（ ）x(1,+) xxlnx+(1k)xk =1 kA. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B【解析】由 可得： ，xlnx+(1k)xk =1 k=xlnx+xx1令 ，则 ，g(x)=
12、xlnx+xx1 g(x)=xlnx2(x1)2令 ，则 ，h(x)=xlnx2 h(x)=11x由 可得 ，函数 h(x)单调递增，x(1,+) h(x)0函数 h(x)的最小值为 ，则存在 满足 h(x)=0，x0(3,3.5)据此可得：距离 最近的整数为 3.k本题选择 B 选项.点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号关键是分离参数 k，把所求问题转化为求函数的最小值问题(2)若可导函数 f(x)在指定的区间 D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为 f(x)0(或 f(x)0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“” 是否可以取到第卷（共 90 分）二、填
13、空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 展开式中 的系数为_.(x+2018y2)(xy)10 x5y6【答案】210【解析】由题意可得： ，据此可得：只有 中含有 ，x(xy)10 x5y6结合二项式定理可得其系数为： .C610(1)6=21014. 函数 在 上的单调递增区间为_.f(x)=cos2x+ 3sinxsin(x+2) 0,2【答案】 0,3【解析】整理函数的解析式可得：f(x)=1+cos2x2 + 3sinxcosx=(32sin2x12cos2x)12=sin(2x6)12,函数的单调递增区间满足： ，2k22x62k+2(kZ)解得： ，k6x
14、k+3(kZ)取 k=0，结合区间 可得函数的单调递增区间为 .0,2 0,315. 已知实数 ， 满足 则 的取值范围为_.x y 2xy0,x+y4,y1, yx+2【答案】 15,45【解析】作出可行域:观察可知： ，易得： ,故 ，kBDyx+2kCD C(43,83)，B(3,1) 15 yx+245故答案为： 15,45点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行
15、域的端点或边界上取得.16. 已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，过点 且与双曲线 的一条渐进线垂直Cx2a2y2b2=1(ab0) F1 F2 F1 C的直线与 的两条渐进线分别交于 ， 两点，若 ，则双曲线 的渐进线方程为_.C MN |NF1|=2|MF1| C【答案】 y=33x【解析】联立直线方程与渐近线方程： ，y=ab(x+c)y=bax 解方程组可得交点 M 的坐标为： ，M(a2c,abc)联立直线方程与渐近线方程： ，y=ab(x+c)y=bax 解方程组可得交点 N 的坐标为： ，N(a2cb2a2,abca2b2)结合 和两点之间距离公式可得： ，|NF1|=2|
16、MF1| 2abc=abca2b2据此有： ，a2b2=13则双曲线 的渐进线方程为 .C y=33x点睛：在双曲线的几何性质中，涉及较多的为离心率和渐近线方程(1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立 e 的关系式求 e 或 e 的范围；另一种是建立 a，b，c 的齐次关系式，将 b 用 a，e 表示，令两边同除以 a 或 a2 化为 e 的关系式，进而求解(2)求曲线 的渐近线的方法是令 ，即得两渐近线方程.x2a2y2b2=1(a0,b0) x2a2y2b2=0三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知 中，角
17、 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且 ，其中 是 的面积，ABC A B C a b c S ABC.C=4（1）求 的值；cosB（2）若 ，求 的值.S=24 a【答案】(1) ；(2) .55【解析】试题分析：(1)由题意结合三角形 面积公式可得 ， ，结合两角和差正余弦公式可得的值是 ；cosB55(2)由面积公式可得 ，结合正弦定理可得 .bc=1610 a=62试题解析：(1) ，得 ，得 ，BAAC+2S3=0 3bccosA=212bcsinA sinA=3cosA即 ，所以 ，sin2A=910又 ， ，故 ， ，A(0,34） sinA0 sinA=31010 cosA=
18、1010故 .（2） ，所以 ，得 ，S=24 bcsinA=48 bc=1610由（1）得 ，所以 ，cosB=55 sinB=255在 中，由正弦定理，得 ，即 ABCbsinB= csinC b255=c22联立，解得 ， ，则 ，所以 .b=8 c=210 a2=b2+c2-2bccosA=72 a=6218. 如图所示，在已知三棱柱 中， ， ， ，平面 平ABFDCE ADE=90 ABC=60 AB=AD=2AF ABCD面 ，点 在线段 上，点 是线段 的中点.ADEF M BE G AD（1）试确定点 的位置，使得 平面 ；M AF/ GMC（2）求直线 与平面 所成角的正弦
19、值.BG GCE【答案】(1)点 为线段 上靠近点 的三等分点；(2) .M BE E147【解析】试题分析：(1)结合线面平行的性质和判断定理可得点 为线段 上靠近点 的三等分点；M BE E(2)建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量和平面的法向量可得直线 与平面 所成角BG GCE的正弦值是 .147试题解析：（1）取 的中点 ，连接 交 于点 ， 点即为所求的点.FE P CP BE M M连接 ， 是 的中点， 是 的中点， ，PG G AD P FE PG/AF又 平面 ， 平面 ，所以直线 平面 ，PG MGC AF MGC AF/ MGC ， ， ， ，PE/AD AD/BC
20、PE/BCBMME=BCPE=2故点 为线段 上靠近点 的三等分点.M E（2）不妨设 ，由（1）知 ，AD=2 PGAD又平面 平面 ，平面 平面 ，ADEF ABCD ADEF ABCD=AD平面 ， 平面 .PG ADEF PG ABCD故 ， ，以 为坐标原点， ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系PGGD PGGC G GC GD GP x y z，G-xyz ， ，ABC=60 AB=AD=2AF 为正三角形， ，ADC GC= 3 ， ， ， ，G(0,0,0) C( 3,0,0) D(0,1,0) E(0,1,1) ， ，GE=(0,1,1) GC=( 3,0,0)设平面 的一个法向量 ，则由 ， 可得 令 ，则CEG n1=(x,y,z) n1GE=0 n1GC=0 y+z=0,3x=0, y=1，n1=(0,1,-1) ，且 ，故 ，故 ，CD=(- 3,1,0) =BA A(0,-1,0) B( 3,-2,0) BG=(- 3,2,0)故直线 与平面 所成角的正弦值为 .BG GCEsin=|n1BG|n1|BG|=147点睛：利用空间向量求线面角有两种途径：一是求斜线和它在平面内射影的方向向量的夹角
