1、- 1 -高考数学三轮复习冲刺模拟试题 08数列 02三、解答题1.已知 A( , )，B( , )是函数 的图象上的任意两点（可以重合） ，点 M在直线 上，且 .（1）求 + 的值及 + 的值（2）已知 ，当 时， + + + ，求 ；（3）在（2）的条件下，设 = ， 为数列 的前 项和，若存在正整数 、，使得不等式 成立，求 和 的值.2.设等差数列 的首项 及公差 d都为整数，前 n项和为 Sn.（1）若 ，求数列 的通项公式；（2）若 求所有可能的数列 的通项公式.3.设等比数列 na的前 项和为 nS,已知 12()naSN.()求数列 的通项公式;()在 n与 1之间插入 个数
2、,使这 个数组成公差为 nd的等差数列,- 2 -设数列 1nd的前 项和 nT,证明: 156n.4.已知数列a n中,a 1=1,若 2an+1-an= ）2n） （1（ -,bn=an- ）1（ (1)求证: b n 为等比数列,并求出a n的通项公式;(2)若 Cn=nbn+ ）1（ ,且其前 n项和为 Tn,求证:T n3.5.已知数列 的前 项和 ( 为正整数)na1()2nnSa()令 ,求证:数列 是等差数列,并求数列 的通项公式;2bbna()令 ,试比较 与 的大小,并予以证明12nnnCTC T516.已知数列 na满足 2,34,3,1*112 nNaann ,(1)证
3、明:数列 n是等比数列,并求出 的通项公式(2)设数列 nb的前 n项和为 S,且对任意 *,有 121 nabb 成立,求 S7.设数列 的前 n项和为 .已知 ， ， anS1a13nSnN- 3 -（）求数列 的通项公式；（）记 为数列 的前 项和，求 nanTnanT8.设数列a n的前 n项和为 Sn，且满足 Sn=2-a ，n=1，2，3，（1）求数列a 的通项公式；（4 分）（2）若数列b n满足 b1=1，且 b 1n=b +an，求数列b n的通项公式；（6 分）（3）设 C =n（3- b ） ，求数列 C 的前 n项和 T 。 （6 分）9.已知数列 na的前 项和为 n
4、S,且 *2()naN,数列 b满足 1,且点 *1()Pb在直线 2yx上.()求数列 n、 的通项公式;()求数列 a的前 项和 nD;()设 22*sicos()ncbN,求数列 nc的前 2项和 2nT.10.对 nN 不等式 nxy2,0所表示的平面区域为 Dn,把 Dn内的整点(横坐标与纵坐标均为整数的点)按其到原点的距离从近到远排成点列(x 1,y1),(x2,y2),(xn,yn),求xn,yn;(2)数列a n满足 a1=x1,且 n2 时 an=yn2 ).(1nyy 证明:当 n2 时,221)(a;(3)在(2)的条件下,试比较 )()321 naa 与 4的大小关系.
5、 11.数列a n满足 4a1=1,an-1=(-1)nan-1-2an(n2),(1)试判断数列1/a n+(-1)n是否为等比数列,并证明;(2)设 an2bn=1,求数列b n的前 n项和 Sn.- 4 -12.已知 12a,点 1(,)na在函数 2()fx的图象上,其中 1,23n(1)证明数列 lg是等比数列;(2)设 12()()n nTa ,求 T及数列 na的通项;(3)记 nnba,求数列 nb的前 项和 nS.13.设数列 n的前 项和为 nS，且满足 n=2-a，( =1，2，3，)()求数列 a的通项公式；()若数列 nb满足 1=1，且 1nnb，求数列 nb的通项
6、公式；() 2)-(3c,求 c的前 项和 T14. （本小题满分 14分）已知数列a n的前 n项和 )(2)1(*NnaSn，数列bn满足 nab.（1）求证数列b n是等差数列，并求数列a n的通项公式；（2）设数列 1的前 n项和为 Tn，证明： *N且 3n时， 125nT；（3）设数列c n满足 can1)(3(（ 为非零常数， *） ，问是否存在整数 ，使得对任意 *N，都有 nc1.- 5 -参考答案三、解答题1. 解：（）点 M在直线 x= 上，设 M .又 ，即 ， ， + =1. 当 = 时， = ， + = ； 当 时， ，+ = + = =综合得， + . （）由（）
7、知，当 + =1时, + ，k= . n2 时， + + + ， ， 得，2 =-2(n-1),则 =1-n. 当 n=1时， =0满足 =1-n. =1-n. （） = = ， =1+ + = .- 6 -=2- ， = -2+ =2- ， ， 、m 为正整数，c=1，当 c=1时， ，1 3，m=1.2.解：（）由又故解得因此， 的通项公式是 1，2，3，（）由 得即由+得7 d11，即由+得 , 即 ,于是 又 ，故 .将 4代入得又 ，故所以，所有可能的数列 的通项公式是- 7 -1，2，3，.3.设等比数列 na的前 项和为 nS,已知 1()naSN. ()求数列 的通项公式; (
8、)在 n与 1之间插入 个数,使这 2个数组成公差为 nd的等差数列,设数列nd的前 项和 nT,证明: 156n. 【D】18解()由 12(naSN*)得 12(naSN*, 2n), 两式相减得: , 即 13(nN*, ), na是等比数列,所以 2,又 2 则 1123, a, nA ()由(1)知 12nn, 13nA 1()nnad , 14nnd, 令 123nT1n, 则 01244n+ 13nA 2133T1n -得 024nA143nnA 1()152438nn1566nnTA- 8 -4.解:(1) 21)1()(2)(2)1(1 nanabnn-6bn为等比数列, 又
9、 b1 = 2, q= nb)2-7 (2)由(1)可知 )(2Cn)1(321231 nnTn1nn-13 5.解:(I)在1()2nnSa中,令 n=1,可得 112nSa,即 2a当 2时,2 11 11() ()n nn nnn ，, 11n1a(),nna即. 1 12,2nn nbbb即 当 时 ，. 又 1a数列 是首项和公差均为 1的等差数列. 于是()12,nn nba. (II)由(I)得1()nnnc,所以 由-得 - 9 -111()3421()23nnnnnT55(3)21)2121nnn于是确定 nT与的大小关系等价于比较 n与 的大小 由 可猜想当 321.n时
10、， 证明如下: 证法 1:(1)当 n=3时,由上述验算显示成立. (2)假设 k时所以当 1nk时猜想也成立 综合(1)(2)可知,对一切 3n的正整数,都有 21.n 证法 2:当 3时, 综上所述,当 1,2n时51nT,当 3n时521nT6.解:(1)由 34naa可得 2),(aan, 1n是以 2为首项,3 为公比的等比数列 12211 )()()(n32nn(2) 1时, ,1Sba - 10 -2n时, 132,2)1( nnn abnab 1323nS)1(210 n设 12x 则 nn3)(331 21(2021 nnnx3nnS综上, 21nn 7.解：（）由题意， ，
11、则当 时， .13naS2n13naS两式相减，得 （ ）. 2 分4又因为 ， ， ，4 分1a221a所以数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列，5 分n 4所以数列 的通项公式是 （ ）. 6 分1nN（）因为 ，2112334nn nTaa 所以 ， 8 分144()n两式相减得， ， 11 分213144nnnnT整理得， ( ). 13分49nnN8. （1）a =S1=1 1分n2 时，S n=2-a 1分- 11 -S 1n=2-a 1n1分a =a +a2an= a 1a 1=11n= 21分a =( ) n1分（2）b 1n-b =（ 2) n1分211230)(nnb1分
12、b n-b1=( 2)+（ 1) 2n=1n1分=2- 2nb =3- 11分b 1=1 成立 1分b n=3-（ 2) n（3）C =n（ ) 1分Tn=1（ 1)+2（ )0+n（ 2) n2T =1（ ) +(n-1) （ ) +n（ 1) n=2+ 1n-n（ 2) 1n=2+2-（ )n-n（ ) 1n- 12 -T n=8- 321- 2n=8- 2n9. 【解】()当 , 1a 当 n时, 1nnnSa 12()a, 是等比数列,公比为 2,首项 12a n 又点 *1(,)nPbN在直线 2yx上, 1nb, 是等差数列,公差为 2,首项 1b, () (2)nna 13415
13、72(3)2()2nnD 2345 1n 得 1234 12(2)nnn 14()2()(3)6nn1(3)6nnD() 2()nc 为 偶 数为 奇 数 21321242()nnnTab 1273n 10.解:(1)当 n=1时,(x 1,y1)=(1,1) n=2时,(x 2,y2)=(1,2) (x3,y3)=(1,3) n=3时,(x 4,y4)=(1,4) n时 (x n,yn)=(1,n) (*)nxNy - 13 -(2)由22212212()3(1()n nnaa (3)当 n=1时, 14,na时, 125()4a成立 由(2)知当 n3 时, 2()nn即 21()n 32
14、123111() nnaaaa = 234()nn =21221(1)4na= 1222 ()3()na 2111()()() 23nn= 14n 得证 11.解:(1)由 12()nna 11()()nnn即 11()2(*2)naNn且另:1 1111()()()2()2nn nnnnaa a- 14 -1()na是首项为 3公比为-2 的等比数列 111()2)(2)(nnnna(2)由 2nab 1129462nnn()()1nnS=34629(*)nN 12. ()由已知 21nna, 21()nna 1,两边取对数得 1lg()2lg()nnaa,即 1l()2gna ln是公比为
15、 2的等比数列. ()由()知 11lg()l()na122lg3nn 123na(*) 12nT+03n-12n-1+= - 由(*)式得 13n () 21nna1(2)na 11()2nnaa1nn又 2nnba1()nnba 12nS+1231( )naa+12()na - 15 -12213,3n naa213nnS. 13.解: ()n=1 时，a 1+S1=a1+a1=2a 1=1 S n=2-an即 an+Sn=2 a n+1+Sn+1=2两式相减：a n+1-an+Sn+1-Sn=0即 an+1-an+an+1=0，故有 2an+1=ana n0 21n(nN *)所以，数列
16、a n为首项 a1=1，公比为 2的等比数列.a n= 1)2(nN *)bn-b1=1+11232 )2()()1()(1 nnn又b 1=1，b n=3-2( )n-1(n=1，2，3，) (3) 1-2nc所以 212111 244nnnnnT14.解：（1）在 )2(naS中，令 n=1，可得 aS，即 当 2n时， 121nnn， 111)2(nnnna，- 16 - 11)2(2nna，即 12nna. b， 1nb，即当 时， 1nb.又 1，数列b n是首项和公差均为 1的等差数列.于是 n a2)(， n2.（2）由（1）得 nnc)(1，所以 nnT2)2(4)1(332
17、1432 )(121 nn由得 132 2)()(1nnnT112)(21)(4nn nnT3)12(3125125nnnn于是确定 Tn与 的大小关系等价于比较 与 2n+1的大小由 ;52;4;3;2可猜想当 3时， 1n.证明如下：证法 1：当 n=3时，由上验算显示成立.假设 n=k+1时 1)(2)1()(24)2(21 kkkgkk所以当 n=k+1时猜想也成立综合可知，对一切 3n的正整数，都有 n.证法 2：当 时 12)1( 101210 nCCCnnnnnn综上所述，当 n=1,2时 5T，当 3时 25T- 17 -（3） nnnnac 2)1(3)1( 23 11n 0)(21n 12)(n 当 n=2k1，k=1,2,3,时，式即为23k依题意，式对 k=1,2,3都成立， 1当 n=2k,k=1,2,3,时，式即为23k依题意，式对 k=1,2,3都成立， 23 1，又 0存在整数 ，使得对任意 *Nn有 nc1.
