1、Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 1 The language of transport phenomena is mathematics Ordinary(partial) differential equations Elementary vector analysis. 第1章 数学准备：矢量分析与场论Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 2 本章的目的 作为传递过程原理的数学准备，通过本章的 学习，需要熟悉以下内容： 矢量运算( 标量积、矢量积) 三种正交曲线坐标系 直角坐标系下梯度、散度、旋度的定义 标量和矢量的拉普
2、拉斯运算 偏导数、全导数和随体导数的定义Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 3 例：用矢量运算形式表示的传递方程 请将下面三个方向上的Navier-Stokes 方程写 成统一的矢量运算和随体导数的形式: 222 222 1 3 y x xxx x z u D u uuu u u p X Dtxxyzx xyz 222 222 1 3 y yyy y x z D u uuu u u u p Y Dtyxyzy xyz 222 222 1 3 y x zz z zz u u Duu u uu p Z Dtzxyzz xyz 2 1 () 3 g Du F pu
3、u Dt Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 4 1.1 标量、矢量和张量基本概念 1.2 正交曲线坐标系 1.2 矢量微分运算 第1章教学目录Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 5 1.1.1 标量、矢量和张量基本概念 1.1.2 标量积 1.1.3 矢量积 1.1 标量、矢量和张量基本概念Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 6 传递过程中所遇到的物理量可以分为三类： 标量，即0 阶张量，具有大小，无方向，如温度、体积。 矢量，即1 阶张量，具有大小和方向，如速度、力。 张量，即2 阶张量，
4、具有大小和两个方向的量，如剪切应力。 矢量的表示方法 A 是矢量的大小，又称模值 代表矢量的方向，其大小等于1，称为基本矢量、单位矢量 在直角坐标系中，矢量可以表示为： 该矢量的模为： 1.1.1 标量、矢量和张量基本概念 AA e e 1231 12 23 3 AA iA j Ak Ae Ae Ae 222 123 A AAAA Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 7 1.1.2 矢量的乘积: 标量积 标量积 在直角坐标系下： cos AB AB Bcos A B () () xyzxyz xx yy zz AB Ai Aj AkBiBjBk AB AB A
5、B Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 8 1.1.3 矢量的乘积: 矢量积 矢量积 大小： 方向：右手螺旋定则 在直角坐标系下： sin ABAB sin x y z x y z i j k ABAB AAA B BB Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 9 例题1.1 矢量的乘积 Solution (i) (ii)Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 10 例题1.1 矢量的乘积 (iii)Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 11 1.1 标量、矢量和张量基
6、本概念 1.2 正交曲线坐标系 1.3 矢量微分运算 1 矢量分析与场论Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 12 1.2 正交曲线坐标系 目的 为了解决问题的方便，不同的问题需要选用不同的坐标系 ，选 取原则 ： 被研究的课题在选定的坐标系上具有对称性，以便减少独立的空间参 数。 将在一个坐标系下推导的传递方程应用在另一个坐标系下需要 坐标变换。 主要内容 1.2.1 正交曲线坐标的概念 1.2.2 常见的正交曲线坐标系Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 13 1.2.1 正交曲线坐标（Orthogonal Curviline
7、ar Coordinates） 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交的曲线的交点来确定 该三条正交曲线组成确定三维空间任意点位置的体系 ，称为 正交曲 线坐标系 三条正交曲线称为 坐标轴 ， 描述坐标轴的量称为 坐标变量 。Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 1.2.2 常见的正交曲线坐标系 1.2.2.1 直角坐标系 1.2.2.2 柱坐标系 1.2.2.3 球坐标系Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 15 1.2.2.1直角坐标系(Cartesian Coordinate System) x y z x yz AA i
8、AjA k 任一矢量可以表示为： 范围：Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 16 范围： 和直角坐标系的变换关系： 1.2.2.2 柱坐标系(Cylindrical Coordinate System) cos sin xr yr z z 0 02 r z rr zZ A eA eA eA 任一矢量可以表示为： r=2,=-60, z=1Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 17 1.2.2.2 柱坐标系(Cylindrical Coordinate System) 微元体的体积： 微元体的面积：Transport Phenom
9、ena, Xu Jian, 2016 18 范围： 和直角坐标系的变换关系： 1.2.2.3 球坐标系(Spherical Coordinate System) sin cos sin sin cos xr yr zr 0 0 02 r rr A eA eA eA 任一矢量可以表示为： r=2, =45,=-60Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 19 1.2.2.3 球坐标系(Spherical Coordinate System) 微元体的体积： 微元体的面积：Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 20 1.1 标量、矢量和
10、张量基本概念 1.2 正交曲线坐标系 1.3 矢量微分运算 1 矢量分析与场论Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 21 1.3.1 标量场的梯度 1.3.2 矢量场的散度 1.3.3 矢量场的旋度 1.3.4 拉普拉斯算符 1.3.4 随体导数 1.3 矢量微分运算Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 22 1.3.1 标量场的梯度(gradient) 1) 场的概念 2) 标量场的等值面 3) 方向导数 4) 标量场的梯度 5) 正交曲线坐标系中梯度的表达式 6) 梯度的性质 7) 梯度运算的基本公式Transport Phe
11、nomena, Xu Jian, 2016 23 在自然界中，许多问题是定义在确定空间区域上 的，在该区域上每一点都有确定的量与之对应，我 们称在该区域上定义了一个场。 如速度场、温度场、浓度场 如果这个量是标量，则称该场为标量场； 如果这个量是矢量，则称该场为矢量场； 从数学上看，场是定义在空间区域上的函数 (1)场的概念Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 24 如果场与时间无关，称为静态场，反之为时 变场。静态标量场和矢量场可分别表示为： ， 时变标量场和矢量场可分别表示为： ， z , y , x u z , y , x F t z , y , x u
12、， t , z , y , x F (1)场的概念Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 25 经常使用场的等值面来直观表示场在空间的变化。 所谓等值面是标量场为同一数值的各点在空间形 成的曲面。 C z , y , x u (2)标量场的等值面Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 26 在实际应用中不仅需要宏观上了解场在空间的数值，还 需要知道场在不同方向上的变化情况。 引入方向导数的概念，定义标量场U在点M处沿l方向的导 数： 方向导数表示场沿l方向的空间变化率 。 (3)方向导数(Directional Derivative)
13、 00 ( )() 1 cos cos cos | lim lim M ll u u uM uM lll uuu dx dy dz xyzd l uuu xyz 方向余弦 cos ,cos ,cos Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 27 在场的某一点上，场沿不同方向上变化率的大小（方向导数）是 不同的，必然存在一个变化最大的方向。 定义：场变化最大的方向为标量场梯度的方向，其数值为标量场 的梯度值。 为了书写和运算方便，引入Hamilton 算子，它是微分运算符号， 又是矢量，即是矢量微分算子： max | uuuu gradu n i j k lx y
14、z (4)标量场的梯度(gradient） ijk x yz uuu gradu u i j k xyz Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 对于任意方向l，设其单位矢量为a，则方向导数 与梯度的关系为： 28 (4)标量场的梯度(gradient） cos cos cos cos cos cos uu u u lx y z uuu ijkijk xyz au Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 解： 因此此点处温度的最大变化率为： 其方向为： 例1.2 求标量场的梯度 0 (2 ) (2 ) TTT Tijk xyz Tx
15、yzi y xz j xyk 0 (1,1,1) 3 3 TT ij k 29 室内温度分布T=T 0 (x 2 +y 2 +xyz)+273，试求在点(1,1,1) 处温 度最大变化率。 0 19 T 33 19 i j k n Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 解：根据方向导数和梯度的关系，先分别求出该方向的 单位矢量和该点处的梯度： 则该点处的方向导数为： 例1.3 求标量场的方向导数 (2,3,1) 22 00 23 2 1 2 PPP Pijk xyz P yz i xz j xyzk P i j k 30 在给定区域内压力分布为P=P 0 xyz
16、 2 ，试求在点(2,3,1) 处方 向为2i+j-k 处的变化率。 2 6 ijk a 0 4 6 P P aP l Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 31 123 11 22 33 uuu ue e e hq hq hq (5)正交曲线坐标系中梯度的表达式 1 rz uuu ue e e rr z 11 sin r uu u ue e e rr r 柱坐标 球坐标Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 32 (6)梯度的性质 标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示 该点场变化最大的方向，其数值表示变化最大方向 上场的空
17、间变化率。标量场的梯度垂直于通过该点 的等值面。 标量场的梯度函数建立了标量场与矢量场的联系， 这一联系使得某一类矢量场可以通过标量函数来研 究，或者标量场可以通过矢量场来研究。Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 33 设c为一常数，u和v为标量场 (7) 梯度运算的基本公式 0 (u, v) c cu c u uv uv uv u v v u fu fuu ff f uv uv Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 例1.4 求标量和标量函数的梯度 34 已知： 求： 解： 23 2 , 3 5 uxy zf ( u )u ,
18、 u f(u) 32 322 23 uuu uijkx y z ix z jx y z k xyz 32 322 326 4 6 425 ( ) 6 (2 3 ) 12 6 18 f(u) f uuux yzi xz j x yzk xyzi xy zj xyzk Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 35 1.3.2 矢量场的散度(divergence) 1) 矢量场的通量 2) 矢量场的散度 3) 散度的有关公式Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 (1) 矢量场的通量(flux) 化工中经常遇到计算流体流经某一界面的流量或能
19、量的 通量。 以下以稳定流速场 为例，说明流体流经某一光滑曲 面 ( 其面积为 )的质量流量的计算方法。 在曲面 上任取一点M 及包含M 点的曲面元d ，其面元矢 量为： ，其中 为曲面过M 点的单位外法向矢量。 则单位时间内流体流过曲面元d 的流量为： n v(x,y,z) 36 d n n dQ v d n () vM Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 (1) 矢量场的通量(flux) 单位时间内流体流过曲面 的总流量为： 如果曲面 是闭合的，则积分式表示为： 并规定曲面法向矢量由内指向外。显然，流体沿法向 正向流动，就是流体从曲面 所包围的域D内流出。
20、而 流体沿法向反向流动，就是流体从曲面 流入域D 。总 的流量即为流体流入与流出曲面的代数和( 净流量) 。 37 Qvd n Qvd n Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 (1) 矢量场的通量(flux) Q 的取值有三种情况： (1) Q0, 表示流体的流出大于流入，则称域D 内有”源” (source); (2) Q0, 表示流体的流出小于流入，则称域D 内有”汇” (sink); (3) Q=0, 表示流体的流出等于流入，说明域D 内既无” 源” 也无”汇” ，保持质量守恒。 38Transport Phenomena, Xu Jian, 2016
21、(1) 矢量场的通量(flux) 一般地，任一矢量场 通过曲面 的通量为： 如果曲面 是闭合的，则积分式表示为： 同样规定，当通量取正值时，称曲面所包围的域D 中 有”源” ；当通量取负值时，称曲面所包围的域D 中有” 汇”。闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合 曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。 39 ad n ad n () aM Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 （2）矢量场的散度（divergence） 为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任 意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲 面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：
22、 称为矢量场的散度。因此散度是矢量通过包含该点 的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限 0 , div , , lim s V x yzd xyz V Fs F 40 矢量场的散度是一个标量场，可用来表征矢量场在 各点的”源”或”汇”的强弱程度。Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 （2）矢量场的散度（divergence） 在直角坐标系中，矢量场A的散度公式为： 引入哈密顿算符，则散度公式又可以写为： y x z A A A divA x y z 41 () xyz y x z A divA i j kA iA j Ak xyz A A A xyz Tr
23、ansport Phenomena, Xu Jian, 2016 （2）矢量场的散度（divergence） 例题1.5 ：试求矢量场A=x 2 i+xyj+yzk 的散度 2 23 y x z A A A A xyz (x ) (xy) ( yz) xyz xxyxy 42 解：Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 43 课堂练习：证明 A AA xyz AAAA xyz y x z x y z A A A A AA xyzx y z A A 证明：Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 44 123 213 312 123 1
24、2 3 1 FF h hF h hF h h hhh q q q (3) 正交曲线坐标系中的散度表达式 11 () z r F F Fr F rr r z 2 2 111 () ( s i n) sin sin r F Fr F F rr r r 柱坐标 球坐标Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 45 (4) 散度的有关公式 div 0 div ( ) ( ) div ( ) div ( ) div fff f ffff CCC CCC FFFF FFF F FG FG F G 为常矢量 为标量 为常数, 为矢量Transport Phenomena, Xu
25、Jian, 2016 46 1.3.3 矢量场的旋度 环量 矢量场的旋度 旋度的有关公式Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 47 矢量场对于闭合曲线L 的环量定义为该矢量对闭合 曲线L 的线积分 ，记为： （ 1)如果矢量场的任意闭合回路的环量恒为零 ，称 该矢量场为 无旋场 ，又称为保守场 。 （ 2)如果矢量场对于任何闭合曲线的环量不为零 ， 称该矢量场为 有旋矢量场 。 0 0 L d z , y , x L F （1）环量（Circulation）Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 48 引入矢量场旋度，定义为：矢量场
26、在M 点处 的旋度为一矢量，其数值为包含M 点在内的 小面元边界的环量与小面元比值极限的最大 值，其方向为极限取得最大值时小面积元的 法线方向，即： Max l F F rot lim s d n l s 0 (2) 矢量场的旋度(Curl/Rotation) 旋度可用以表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 49 根据线积分的计算公式，得到旋度在直角坐标系中的表 达式为: rot yy xx zz xyz FF FF FF ijk yz zx xy ijk xyz FFF F F (2) 矢量场的旋度Transport P
27、henomena, Xu Jian, 2016 50 【例题】 (1) Determine the divergence and curl of F. (2) Let the curl of F be the vector G. Now obtain the divergence of this vector. Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 51Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 52 33 22 11 33 12 23 2 3 13 3 1 22 11 3 12 1 1 11 22 33 123 1 2 3 11 22
28、 33 11 rot 1 1 hF hF hF hF ee hh q q hh q q hF hF e hh q q he he he hhh q q q hF hF hF F F (3) 任意正交曲线坐标系中旋度的表达式Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 53 G F F G G F G F G F F F F C C C C f f f f f 为常矢量 0 (4) 旋度的有关公式Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 54 1.3.4 拉普拉斯算符 标量场的拉普拉斯算符 矢量场的拉普拉斯算符Transport Phenome
29、na, Xu Jian, 2016 55 2 222 222 ijkijk x yzxyz xyz 直 角 坐 标 系 (1) 标量场的拉普拉斯算符 2 23 31 12 123 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 hh hh hh hhh q h q q h q q h q 曲线正交坐标系 对于标量场，拉普拉斯算子可以理解为：对标量场所求梯 度的散度运算Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 56 (2) 矢量场的拉普拉斯算符 2 22 xyz xyz A AiAjA k iAjAkA 2 2 直角坐标系 2 AA A 曲线正交坐标系 （ ） （ ） 拉普拉
30、斯算子算子也可对矢量进 行运算，但是对于矢量进行运算 时已失去原有的梯度和散度的概 念，而仅是一种符号运算 对于直角坐标系：对各坐标分量（标量）分别进行拉普拉斯运 算， 运算结果为矢量。Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 57 1.3.5 随体导数 物理量A 对时间的导数的三种形式 偏导数 空间某固定位置上，A 随t的变化率。 全导数 物体作任意运动时，A 随空间位置以及时间的变化率。 随体导数 物体随流体运动时，A 随空间位置以及时间的变化率。 A t dA dt dA A A dx A dy Adz dt t x dt y dt z dt x yz DA
31、A A A A uuu Dt t x y z DA Dt 运动速度 流体运动速度 站在岸上，观察鱼群浓度的变化 乘汽艇，观察鱼群浓度的变化 在随波逐流的船上，观察鱼群浓度的变化Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 58 随体导数算符 x y z DAAAAA uuu Dttxyz 随体导数算符： () D u Dt t Transport Phenomena, Xu Jian, 2016 59 123 11 22 33 Dc D Dc 1 D Dc 1 Ds i n rz r cccc uuu th qh qh q cccc uuu trrz u ccc c uu trrr 对于任意正交曲线坐标系 t 柱坐标系(r, ,z) t 球坐标系(r, , ) t 1.3.5 随体导数
