1、晶体结构与缺陷 第一章习题及答案 1-1. 布拉维点阵的基本特点是什么？ 答：具有周期性和对称性，而且每个结点都是等同点。 1-2. 论证为什么有且仅有 14 种 Bravais 点阵。 答：第一，不少于 14 种点阵。对于 14 种点阵中的任一种，不可能找到一种连接结点的方法，形成新的晶胞而对称性不变。 第二，不多于 14 种。如果每种晶系都包含简单、面心、体心、底心四种点阵，七种晶系共 28 种 Bravais 点阵。但这 28 种中有些可以连成 14 种点阵中的某一种而对称性不变。例如体心单斜可以连成底心单斜点阵，所以并不是新点阵类型。 1-3. 以 BCC、 FCC 和六方点阵为例说明
2、晶胞和原胞的异同。 答：晶胞和原胞都能反映点阵的周期性，即将晶胞和原胞无限堆积都可以得到完整的整个点阵。但晶胞要求反映点阵的对称性，在此前提下的最小体积单元就是晶胞；而原胞只要求体积最小，布拉维点阵的原胞都只含一个结点。例如： BCC 晶胞中结点数为 2，原胞为 1； FCC 晶胞中结点数为 4，原胞为 1；六方点阵晶胞中结点数为 3，原胞为 1。见下图，直线为晶胞，虚线为原胞。 BCC FCC 六方 点阵 1-4. 什么是点阵常数？各种晶系各有几个点阵常数？ 答：晶胞中相邻三条棱的长度 a、 b、 c 与这三条棱之间的夹角 、 、 分别决定了晶胞的大小和形状，这六个参量就叫做点阵常数。 晶系
3、 a、 b、 c， 、 、 之间的关系 点阵常数的个数 三斜 abc， 90 6 (a、 b、 c 、 、 、 ) 单斜 abc， =90或 =90 4 (a、 b、 c、 或 a、 b、 c、 ) 斜方 abc， 90 3 (a、 b、 c) 正方 a=bc， =90 2 (a、 c) 立方 a=b=c， =90 1 (a) 六方 a=bc， =90,=120 2 (a、 c) 菱方 a=b=c， =90 2 (a、 ) 1-5. 分别画出锌和金刚石的晶胞，并指出其点阵和结构的差别。 答：点阵和结构不一定相同，因为点阵中的结点可以代表多个原子，而结构中的点只能代表一个原子。锌的点阵是六方点阵
4、，但在非结点位置也存在原子，属于 HCP 结构；金刚石的点阵是 FCC 点阵，但在四个四面体间隙中也存在碳原子，属于金刚石结构。见下图。 锌的结构 金刚石的结构 1-6. 写出立方晶系的 123晶面族和 晶向族中的全部等价晶面和晶向的具体指数。 答： 123 = (123) +( 23) +(1 3)+ (12 ) +(132) +( 32) +(1 2) +(13 ) +(213) +( 13) +(2 3) +(21 ) +(231) +( 31) +(2 1) +(23 ) +(312) +( 12) +(3 2) +(31 ) +(321) +( 21) +(3 1) +(32 ) =
5、 112 + 12 +1 2 +11 +121 + 21 +1 1 +12 +211 + 11 +2 1 +21 1-7. 在立方晶系的晶胞图中画出以下 晶面和晶向： (102)、 (11 )、 ( 1 )、 110、 11 、 1 0和 21。 1-8. 标注图中所示立方晶胞中的各晶面及晶向指数。 1-9. 写出六方晶系的 11 0、 10 2晶面族和 、 晶向族中的各等价晶面及等价晶向的具体指数。 答： 11 0 = (11 0) +( 2 0) + (2 0) 10 2 = (10 2) +(01 2) +( 102) +( 012) +(0 12) +(1 02) = 2 0 +11
6、0 + 2 0 = 011 +0 11 +1 01 +10 1 +01 1 + 101 1-10. 在六方晶胞图中画出以下晶面和晶向： (0001)、（ 01 0）、（ 110）、（ 10 2）、（ 012）、 0001、 010、 1 10、 01 1和 0 11。 1-11. 标注图中所示的六方晶胞中的各晶面及晶向指数。 1-12. 用解析法求 1-11 第二图中的各晶向指数 (按三指数四指数变换公式 )。 解：由三指数 U V W转化为四指数 u v t w可利用公式： U = 2u +v , V= 2v + u , W = w 将 23、 11 0、 11 3、 01 0中的 u、 v
7、、 w 代入公式，得 1、 110、 111、 120 。 1-13. 根据 FCC和 HCP晶体的堆垛特点论证这两种晶体中的八面体和四面体间隙的尺寸必相同。 答：研究 FCC 晶体的 (111)密排面和 HCP 晶体的 (0001)密排面，发现两者原子排列方式完全相同；再研究两者的相邻两层密排面，发现它们层与层之间的吻合方式也没有差别。事实上只有研究相邻的三层面时，才会发现 FCC 和 HCP 的区别，而八面体间隙与四面体间隙都只跟两层密排原子有关，所以对于这两种间隙， FCC 与 HCP 提供的微观环境完全相同，他们的尺寸也必相同。 1-14. 以六方 晶体的三轴 a、 b、 c 为基，确
8、定其八面体和四面体间隙中心的坐标。 答：八面体间隙有六个，坐标分别为： (,-,)、 (,)、 (-,-,)、 (,-,)、 (,)、 (-,-,)； 四面体间隙共有二十个，在中轴上的为： (0,0, )、 (0,0, )； 在六条棱上的为： (1,0, )、 (1,1, )、 (0,1, )、 (-1,0, )、 (-1,-1, )、 (0,-1, )、 (1,0, )、 (1,1, )、 (0,1, )、 (-1,0, )、 (-1,-1, )、 (0,-1, )； 在中部的为： (,)、 (-,)、 (-,-,)、 (,)、 (-,)、 (-,-,)。 1-15. 按解析几何证明立方晶系
9、的 h k l方向垂直与 (h k l)面。 证明：根据定义， (h k l)面与三轴分别交于 a/h、 a/k、 a/l，可以推出此面方程为 x/(a/h) + y/(a/k) + z/(a/l) = 1 = hx + ky +lz = a； 平行移 动得面 hx + ky +lz = 0； 又因为 (h, k, l) (x, y, z) = hx + ky + lz 0，知矢量 (h, k, l)恒垂直于此面，即 h k l方向垂直于 hx + ky +lz = 0 面，所以垂直于 hx + ky +lz = a 即 (h k l)面。 1-16. 由六方晶系的三指数晶带方程导出四指数晶带
10、方程。 解：六方晶系三指数晶带方程为 HU + KV + LW = 0 ； 面 (H K L)化为四指数 (h k i l)，有 H = h , K = k , L = l ； 方向 U V W化为四指数 u v t w后，有 U = 2u +v , V= 2v + u , W = w ； 代入晶带方程，得 h(2u +v) + k(2v + u) + lw = 0 ； 将 i =(h+k)， t =(u+v)代入上式，得 hu + kv + it + lw = 0。 1-21.求出立方晶体中指数不大于 3 的低指数晶面的晶面距 d 和低指数晶向长度 L(以晶胞边长 a 为单位 )。 解：晶面
11、间距为 d = a/sqrt (h2+k2+l2)，晶向长度为 L = asqrt (u2+v2+w2)，可得 晶面族 d(a) 晶面族 d(a) 晶向族 L(a) 晶向族 L(a) 100 1 311 11/11 1 11 110 2/2 222 3/6 2 23 111 3/3 320 13/13 3 13 200 1/2 321 14/14 2 14 210 5/5 322 17/17 5 17 211 6/6 330 2/6 6 32 220 2/4 331 19/19 22 19 221 1/3 332 22/22 3 22 300 1/3 333 3/9 3 33 310 10/1
12、0 10 1-22.求出六方晶体中 0001、 10 0、 11 0和 10 1等晶向的长度 (以点阵常数 a 和 c 为单位 )。 解：六方晶体晶向长度公式： L = asqrt (U2+V2+W2c2/a2-UV)；（三指数） L = asqrt (u2+v2+2t2+w2c2/a2-uv)；（四指数） 代入四指数公式，得长度分别为 c、 3*a、 3a、 (3a2+c2)。 1-23.计算立方晶体中指数不大于 3 的各低指数晶面间夹角 (列表表示 )。为什么夹角和点阵常数无 关。 解：利用晶面夹角公式 cos= (h1h2+k1k2+l1l2)/sqrt(h12+k12+l12)*(h2
13、2+k22+l22)计算。两晶面族之间的夹角根据所选晶面的不同可能有多个，下面只列出一个，其他这里不讨论。 cos 100 110 111 210 211 221 310 100 1 2/2 3/3 25/5 6/3 2/3 310/10 110 1 6/3 310/10 3/2 22/3 25/5 111 1 15/5 22/3 53/9 230/15 210 1 30/6 25/5 72/10 211 1 76/18 715/30 221 1 410/15 310 1 后面的结果略。 1-24.计算立方晶体中指数不大于 3 的各低指数晶向间夹角 (列表表示 )，并将所得结果和上题比较。 解
14、：利用晶向夹角公式 cos= (u1u2+v1v2+w1w2)/sqrt (u12+v12+w12)*(u22+v22+w22)计算。两晶向族之间的夹角根据所选晶向的不同可能有多个，所得结果与上题完全相同，只将表示晶面的 “”替换为 “ L2 = l2(1+2cos0 cos0 +2 cos20) = L = lsqrt(1+2cos0 cos0 +2 cos20)。 3-12.用适当的原子投影图表示 BCC 晶体孪生时原子的运动，并由此图计算孪生时的切变，分析孪生引起的堆垛次序变化和引起的层错的最短滑动矢量。 解：孪生面与孪生方向分别为(1 2) 11时原子投影图如图，= | 11/6| /
15、 ( d(1 2) = 1/2 =0.707 基体部分堆垛次序为ABCDEF，孪生面为 ，孪晶部分堆垛次序为 FEDCBA，最短滑移矢量为 1/6 11。 3-13.用适当的原子投影图表示锌 (c/a=1.86)单晶在孪生时原子的运动，并由图计算切变。 解：位移为 AB-2AC = (3a2 +c2 ) 2*3a2 /(3a2 +c2 ) = (c2 - 3a2 )/(3a2 +c2 ) 面间距为 CD = 3ac/(3a2 +c2 ) = (AB-2AC)/ CD = (c2 - 3a2 )/(3ac) = (1.862 -3)/( 3*1.86) = 0.143。 3-14.用解析法 (代
16、公式法 )计算锌在孪生时的切变，并和上题的结果相比较。 解： = (c/a)2 3 / (3c/a) = 0.143，与上题结果相同。 3-15.已知镁 (c/a=1.62)单晶在孪生时所需的临界分切应力比滑移时大好几倍，试问当沿着 Mg单晶的 0001方向拉伸或者压缩时，晶体的变形方式如何？ 答： 镁单晶的滑移系统为 (0001)、 10 0，可能的滑移方向均垂直于 0001，所以此时不发生滑移； c/a=1.62织构 (立方织构 )。如果将这种铝板深冲成杯，会产生几个制耳？在何位置？ 答：深冲时，平行于 方向拉伸时， 8 个滑移系统比较易滑移，故在 010、 0 0、 100、 00方向出
17、现四个制耳，此时 1/6；同时在 、 、 、 方向可能产生四个小制耳。 3-23.实践表明，高度冷轧的镁板在深冲时往往会裂开，试分析其原因。 答：镁板冷轧后会产生 (0001)织构，在平行或垂直于板面方向施加应力，取向因子为零，几乎没有塑性，进一步加工就很易开裂。 第四章习题及答案 4-1. 在晶体中插入附加的柱状半原子面能否形成位错环？为什么？ 答：不能形成位错环。假设能形成位错环，则该位错环各 处均为刃型位错，根据 l b，则该位错环每一点处的 b 应沿着径向，也就是说环上各点的 b 不同，这与一条位错线只有一个 b 矛盾。 4-2. 请分析下述局部塑性变形会形成什么样的位错 (要求指出位
18、错线的方向和柏氏矢量 )。 (1) 简单立方晶体， (010)面绕 001轴发生纯弯曲。 (2) 简单立方晶体， (110)面绕 001轴发生纯弯曲。 (3) FCC 晶体， (110)面绕 001轴发生纯弯曲。 (4) 简单立方晶体绕 001轴扭转 角。 答： (1) 刃型， l = 001， b = a010； (2) 刃型， l = 001， b = a100或 a010； (3) 刃型 ， l = 001， b = a110/2； (4) 螺型 ， l = 001， b = a001。 4-3. 怎样的一对位错等价与一列空位 (或一列间隙原子 )？ 答：一个正刃型位错和一个负刃型位错的
19、半原子面位于同一平面，中间如果空出一个原子位就会形成一列空位，如果重叠了一个原子位就会形成一列间隙原子。 4-4. 在简单立方晶体的 (001)投影面上画出一个和柏氏矢量成 45的混合位错附近的原子组态。 答：见右图。 4-5. 当刃型位错周 围的晶体中含有 (a)超平衡的空位、 (b)超平衡的间隙原子、 (c)低于平衡浓度的空位、 (d)低于平衡浓度的间隙原子等四种情形时，该位错将怎样攀移？ 答： (a) 正攀移； (b) 负攀移； (c) 负攀移； (d) 正攀移。 4-6. 指出图 4-109 中位错环 ABCDA 的各段位错线是什么性质的位错？它们在外应力 xy 作用下将如何运动？ (
20、及 yy ) 答： AB、 BC、 CD、 DA 各段都为刃型位错。在 xy 作用下， AB、 CD 段不运动， BC向下滑移， DA 向上滑移；在 yy 作用下，整个位错环向外扩大 。 4-10.证明混合位错在其滑移面上、沿滑移方向的剪应力为 S =Gb(1-cos2)/2r(1-)，式中是位错线 l 和柏氏矢量 b 之间的夹角， 是波桑比， r 是所论点到位错线的距离。 证：将 b 分解为 b = bcos和 b = bsin，可得 scrow =0 b /r = Gbcos/(2r)，方向沿 l； edge =0 b /r = Gbsin/2r(1-)，方向垂直于 l； S =scrow
21、 cos+edge sin =Gb(1-cos2)/2r(1-)。 4-11.证明作用在某平面 n 上的总应力 p 和应力张量 的关系为 p =n，或用分量表示成 pi =3j=1i j nj 。 (正交坐标系为 x1， x2， x3) 证：由 P(P1 ,P2 ,P3)，及 F1 =0，得 P1 A0 =11dx2dx3/2 +12dx3dx1/2 +13dx1dx2/2， 又 dx2dx3/2A0 = n1， dx3dx1/2A0 = n2， dx1dx2/2A0 = n3， P1 =11 n1+12 n2+13 n3， 同理得 P2 =21 n1+22 n2+23 n3， P3 =31
22、n1+32 n2+33 n3， 上三式即可表示为 p =n，或 pi =3j=1i j n j。 4-12.证明，对于任何对称张量 ，下式恒成立： (a)b = (b)a。 证：设 矩阵元为 i j ， i,j =1, ,n ， a = (a1, ,a n )， b = (b1, ,b n )， (a)b = (nj=11 j aj , , nj=1n j aj ) (b1, ,b n) =nj=11 j aj b1 + + nj=1n j aj b n =ni=1nj=1i j aj bi ， (b)a = (nj=11 j bj , , nj=1n j bj ) (a1, ,a n) =n
23、j=11 j bj a1 + + nj=1n j bj an =ni=1nj=1j i aj bi ， 又因为 是对称张量，所以 对于任意 i,j =1, ,n ，都有 i j =j i ，原式成立。 4-13.推导直线混合位错的弹性能公式。 解：见 4-10 题图，分别应用刃型和螺型位错弹性能公式，得 E = Eel(刃 ) + Eel(螺 ) = Gb2lsin2ln(R/r0) / 4(1-) + Gb2lcos2ln(R/r0) / (4) = Gb2l (1-cos2)ln(R/r0) / 4(1-)。 4-14.在铜单晶的 (111)面上有一个 b = a/2 10 的右螺旋位错，
24、式中 a=0.36nm。今沿 001方向拉伸，拉应力为 106 Pa，求作用在螺位错上的力。 解：利用 Peach-Koehler 公式，得 f = (b) = = (-2/4)az j， 所以 f = 1.2710-4 牛 /米，方向为 y 轴负方向。 4-15.如果外加应力是均匀分布的，求作用于任意位错环上的净力。 解：一般情形下位错受力公式为 dF = (b)dl，又因为外加应力均匀分布， 和 b 都为常量，所以任意位错环上的净力为 dF= (b)dl = (b) dl = (b)0 = 0。 4-16.设有两条交叉 (正交但不共面 )的位错线 AB 和 CD，其柏氏矢量分别为 b1和
25、b2，且 |b1| = |b2| = b。试求下述情况下两位错间的交互作用 (要求算出单位长度位错线的受力 f，总力F，和总力矩 M)： (1)两个位错都是螺型； (2)两个位错都是刃型； (3)一个是螺型，一个是刃型。 解： (1) 两个都为螺型，由 P246 知 AB 螺位错的应力场，利用 Peach-Koehler 公式，得 f = (b)= = b2xz j , f12 = b2xz = -G b1 b2 d/2(x2+d2) = -G b2 d/2(x2+d2), F = - f12 dx = -Gb2 /2， M = - f12 xdx = 0。 (2) 两个都为刃型，由 P247
26、 可知 AB 刃位错的应力场，利用 Peach-Koehler 公式，得 f = (b) = = b2z j , f12 = b2z = -Gb2 d/(1-)(x2+d2) , F = - f12 dx = -Gb2/(1-)， M = - f12 xdx = 0。 (3) 一个螺型一个刃型， f = (b) = = -b2yz k, f12 = -b2yz = -Gb2 x/2(x2+d2) , F = - f12 dx = 0， M = - f12 xdx = （ Gb2d/(2)？积分应该发散） 。 4-17.图 4-110 是一个简单立方晶体，滑移系统是 100。今在 (011)面上
27、有一空位片ABCDA，又从晶体上部插入半原子片 EFGH，它和 (010)面平行，请分析： (1) 各段位错的柏 氏矢量和位错的性质； (2) 哪些是定位错？哪些是可滑位错？滑移面是什么？ (写出具体的晶面指数。 ) (3) 如果沿 0 1方向拉伸，各位错将如何运动？ (4) 画出在位错运动过程中各位错线形状的变化，指出割阶、弯折和位错偶的位置。 (5) 画出晶体最后的形状和滑移线的位置。 解： (1) 各段位错均为刃型位错， ABCDA 位错环柏氏矢量 b1 = a0 ， EFGH 柏氏氏量 b2 = a010； (2) ABCDA 为定位错，因为 b1方向不是简单立方晶体的滑移方向， EF
28、GH，滑移面为(100)或 (001)； (3) 沿 0 1方向拉伸时， ABCDA 不动， EFGH 中只 有 FG 向左移动； (4) FG 向左移动，与 ABCDA 相交后变为，形成割阶； (5) 最后晶体形状变为右图所示，滑移线方向为 100。 4-18.在图 4-111 中位错环 ABCDA 是通过环内晶体发生滑移而环外晶体不滑移形成的。在滑移时滑移面上部的晶体相对于下部晶体沿 oy 轴方向滑动了距离 b1。此外，在距离 AB位错为 d 处有一根垂直于环面的右螺旋位错 EF，其柏氏矢量为 b2。 (1) 指出 AB、 BC、 CD 和 DA 各段位错的类型。 (2) 求出 EF 对上
29、述各段位错的 作用力。在此力作用下位错环将变成什么形状？ (3) 求 EF 位错沿 oy 方向运动而穿过位错环，请画出交割以后各位错的形状 (要求指出割阶的位置和长度。 ) 解： (1) AB 为负刃型， BC 为右螺型，CD 为正刃型， DA 为左螺型； (2) b = (0 b1 0)T，利用 Peach-Koehler公式， EF 螺旋位错应力场为 = ，其中 xz = Gb2 y/2(x2+y2)， yz = Gb2 x/2(x2+y2)， AB 受力： = (-1 0 0) T， fAB = (b)= -yz b1 j = -G b1 b2 x/2(x2+d2) j， BC 受力：
30、= (0 1 0) T， fBC = (b)= -yz b1 i = -G b1 b2 x/2(x2+y2) i， CD 受力： = (1 0 0) T， fCD = (b) =yz b1 j = G b1 b2 x/2(x2+y2) j， DA 受力： = (0 -1 0) T， fDA = (b) =yz b1 i = G b1 b2 x/2(x2+y2) i， 右图曲线指出了各处受力方向及大小，最终形状与曲线形状类似。 (4) 与 AB 交割， EF 产生弯折，宽度 b1， AB 产生割阶，高 b2； 与 CD 交割， EF 变直， CD 与 AB 相同 ， 产生割阶，高 b2。 4-2
31、0.有一封闭位错环位于断面为正方形的棱柱滑移面上。正方形的两边分别沿 x 和 y 轴，柏氏矢量沿 z 轴。如果位错环只能滑移，试求在以下两种应力分布情况下位错环的平衡形状和起动的临界应力。 (1) xz = 0， yz = const； (2) xz =yz = const。 (假定线张力近似不变。 ) 解： (1) f = (b)= -ubk； (2) f = (b)= (u-v)bk； 起动应力 p = 2Gexp(-2w/b)/(1-)。 (P262) 4-21.在简单立方晶体的 (100)面上有一个 b = a001的螺位错。如果它 (a)被 (001)面上 b = a010的刃位错交
32、割， (b)被 (001)面上 b = a001的螺位错交割，试问在这两种情形下每个位错上会形成割阶还是弯折？ 4-22.一个 b = a/2 10的螺位错在 (111)面上运动。若在运动过程中遇到障碍物而发生 交滑移，请指出交滑移系统。 解： 所有包含螺位错方向的面都是滑移面， 对于 FCC 晶体滑移面 (111)来说，只有 (111)与 (11 )包含 l = b = a/2 10 若发生交滑移，一定是从 (111)面到 (11 )面。 4-23.在 FCC 晶体的滑移面上画出螺型 Shockley 分位错附近的原子组态。 答： 4-24.判断下列位错反应能否进行？若能进行， 试在晶胞图上
33、作出矢量关系图。 (a) a/2 1+ a/2 111 a001 (b) a/2 110 a/6 12 + a/6 211 (c) a/2 110 a/6 112+ a/3 11 (d) a/2 10 + a/2 011 a/2 110 (e) a/3 112+ a/6 11 a/2 111 解：几何条件都满足，只判断是否满足能量条件 bi2 bj2 ， (a) 3/2a2 a2 ； (b) 1/2a2 1/3a2 ； (c) 1/2a2 =1/2a2 ； (d) a2 1/2a2 ； (e) 3/4a2 =3/4a2 ； 全部满足。 4-26.估算 Al、 Cu 和不锈钢中扩展位错的平衡宽度
34、。已知三种材料的点阵常数 a 和 剪切模量 G 分别为： aAl =0.404nm， aCu =0.361nm， a 不锈钢 =0.356nm， G Al = 3106N/cm2， G Cu = 5106N/cm2， G 不锈钢 = 10106N/cm2。三种材料的层错能 I见表 4-2。 解： Al、 Cu 和不锈钢都为面心立方结构，因此 d0 = Ga2 /(24I)，查表得三种材料的层错能 I分别为 16610-6、 4510-6、 1510-6 J/m2，代入得三种材料的 d0 分别为 3.9110-7、1.9210-6、 1.1210-5 m。 4-14 f = 1.2710-4 牛
35、 /米，方向为 y 轴负方向 4-16 (1) 两个都为螺型，由 P246 知 AB 螺位错的应力场，利用 Peach-Koehler 公式，得 f = (b)= = b2xz j , f12 = b2xz = -G b1 b2 d/2(x2+d2) = -G b2 d/2(x2+d2), F = - f12 dx = -Gb2 /2， M = - f12 xdx = 0。 (4) 两个都为刃型 ， 由 P247 可知 AB 刃位错的应力场 ， 利用 Peach-Koehler 公式 ， 得 f = (b) = = b2z j , f12 = b2z = -Gb2 d/(1-)(x2+d2)
36、, F = - f12 dx = -Gb2/(1-)， M = - f12 xdx = 0。 (3) 一个螺型一个刃型 ， f = (b) = = -b2yz k, f12 = -b2yz = -Gb2 x/2(x2+d2) , F = - f12 dx = 0， M = - f12 xdx = （积分发散） 。 4-21 4-24 全部满足。 4-26.表里面 MJ 不是兆焦，应该是 mJ 毫焦，所以大家的数量级都错了。 8-2. C=1.3%*erf(6.8x*cm-1); 8-6. (a) t 1.012*104s; (b) t 4.047*104s; (c) x1/x2=(D1/D2)=(16.6/7.94) =1.446. 8-7.C=0.85erf(25.13*x)=0.8,得 x 0.053cm。
