1、1第一章 晶体结构10.各类晶体的配位数（最近邻原子数）是多少？解：7 种典型的晶体结构的配位数如下表 1.1 所示：晶体结构 配位数 晶体结构 配位数面心立方六角密积 12 氯化钠型结构 6体心立方 8 氯化铯型结构 8简立方 6 金刚石型结构 412.试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。解：我们知体心立方格子的基矢为： )(2)(31kjiaji根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为： )(22)(13321 jiabkj由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。同理可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子，所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒
2、格子。13. 对于六角密积结构，固体物理学原胞基矢为 jiaa231ji2kac3试求倒格子基矢。解：根据倒格子基矢的定义可知： 23211ab )(23()23()kjiji caa2ca23ji)32(ji2321ab )(23()23( kjijikcaaca23ji)3(ji23213ab )(23()23( kjiji caa=ca23k第 2 章 晶体的结合1.是否有与库仑力无关的晶体结合类型?共价结合中, 电子虽然不能脱离电负性大的原子, 但靠近的两个电负性大的原子可以各出一个电子, 形成电子共享的形式, 即这一对电子的主要活动范围处于两个原子之间, 通过库仑力, 把两个原子连接
3、起来. 离子晶体中, 正离子与负离子的吸引力就是库仑力. 金属结合中, 原子实依靠原子实与电子云间的库仑力紧紧地吸引着. 分子结合中, 是电偶极矩把原本分离的原子结合成了晶体. 电偶极矩的作用力实际就是库仑力. 氢键结合中, 氢先与电负性大的原子形成共价结合后, 氢核与负电中心不在重合, 迫使它通过库仑力再与另一个电负性大的原子结合. 可见, 所有晶体结合类型都与库仑力有关.2.如何理解库仑力是原子结合的动力?晶体结合中, 原子间的排斥力是短程力, 在原子吸引靠近的过程中, 把原本分离的原子拉近的动力只能是长程力, 这个长程吸引力就是库仑力. 所以, 库仑力是原子结合的动力. 3.晶体的结合能
4、, 晶体的内能, 原子间的相互作用势能有何区别?3自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量, 或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量, 称为晶体的结合能. 原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能.在 0K 时, 原子还存在零点振动能. 但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多. 所以, 在 0K 时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能. 4.原子间的排斥作用取决于什么原因?相邻的原子靠得很近, 以至于它们内层闭合壳层的电子云发生重叠时, 相邻的原子间便产生巨大排斥力. 也就是说, 原子间的排斥作用来自相邻原子内层闭合壳层电子云的重叠. 5. 原子间的排斥作用和
5、吸引作用有何关系? 起主导的范围是什么?在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时, 晶体达到稳定结合状态. 可见, 晶体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力缺一不可. 设此时相邻原子间的距离为 , 当相邻原子间的距离 时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离 时, 排斥力起主导作用.6.共价结合为什么有 “饱和性”和 “方向性”?解答设 N 为一个原子的价电子数目, 对于 IVA、V A、VI A、VII A 族元素，价电子壳层一共有8 个量子态, 最多能接
6、纳(8- N)个电子, 形成(8- N)个共价键. 这就是共价结合的 “饱和性”.共价键的形成只在特定的方向上, 这些方向是配对电子波函数的对称轴方向, 在这个方向上交迭的电子云密度最大. 这就是共价结合的 “方向性”.13.有一晶体，在平衡时的体积为 ，原子之间总的相互作用能为 ，如果原子间相互作0V0U用能由下式给出：，nmrru)(试证明弹性模量可由 给出。9/00mnU解：根据弹性模量的定义可知002VVdUPK（1）上式中利用了 的关系式。d4设系统包含 个原子，则系统的内能可以写成N)(2)nmrNruU（2）又因为可把 个原子组成的晶体的体积表示成最近邻原子间距 的函数，即3rv
7、V（3）上式中 为与晶体结构有关的因子（如面心立方结构， ） 。 2/又因为 212 3)(31)(0 rNrnmNdrUdVR（4） 00 122 ()( rnmVd （5）nmnmrrN00220 391考虑平衡条件 ，得 ，那么（5）式可化为)(0rdVUn0 nmnmV rNVrNd 00200222 9191)(00 )(902020020 UVnn （6）将（6）式代入（1）式得： )9/(90020mnUVnK14.上题表示的相互作用能公式中，若 ， ，且两原子构成稳定分子时间距为1m，离解能为 4eV，试计算 和 之值。103解：在平衡位置时有KErru102)(（1）)(10
8、3rdr5（2）将离解能 eV 和 m 代入（1）和（2）式可得：4kE1003rAeVm2， eVm10。95.960.515. 设某晶体每对原子的势能具 的形式，平衡时 ，结合能为rB9r108.2，试计算 A 和 B 以及晶体的有效弹性模量。JU1908解：由题意有以下方程成立： 09)(21090rBAdruU把 ， 的具体数值代入上述方程组，即得：0rU0)18.2()108.2(92190BA由此可得： ， 957.mJAmJ85.该晶体的有效弹性模量为： 0)(20VduK又 3rNv（上式中 表示晶体中所含的原子个数， 表示与晶体结构有关的因子）N故 0)(9120rduK)2
9、9(1300rBAN10279.1N16.KCl 晶体的体弹性模量为 1.741010Pa，若要使晶体中相邻离子间距缩小 0.5%，问需要施加多大的力。解：设 KCl 晶体内包含 个原胞，综合考虑到库仑吸引能和重叠排斥能，则系统的内能可以写成nrBANU（1）6此外，由于 KCl 每个原胞体积为 ，则晶体的总体积为32rNV（2）其中（1）和（2）式中的 都指 KCl 晶体中相邻 K 和 Cl 之间的距离。r根据体弹性模量的定义有：002VVdUP（3）设平衡时晶体内相邻离子间的距离为 ，则平衡体积 ，那么平衡时的体弹0r30Nr性模量为 。又根据 KCl 晶体内能表达式（1）式及平衡条件 ，
10、02VdUK 0)(VdU可得 或 。102nrBA1nr将（1）和（2）式代入（3）式，并利用平衡条件可得03302rnBrAdrK 000 220 1818 rnrnr BAd上式中的前一项由于平衡条件而等于 0，后一项求微商后利用平衡条件化简得402030)()(1rrBArKn由此知 840nrA当使晶体中相邻离子间距缩小 0.5%时，即使相邻离子间距变为，此时需施加的外力为00195.%).(rr)195.0(.2121 nnr rArBduF).()95.0812nK查书中表 2-1 可知， ， m，代入上式可得9.n13rN917.2F7第三章 晶格振动与晶体的热学性质3.周期性
11、边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，的取值将会怎样？q解：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。其具体含义是设想在一长为 的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原Na子的运动情况一样，即第 个原子和第 个原子的运动情况一样，其中jjtN 1，2，3 。t引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢 只能取一些分立的不同值。q如果晶体是无限大，波矢 的取值将趋于连续。
12、q5.试比较格波的量子声子与黑体辐射的量子光子；“声子气体”与真实理想气体有何相同之处和不同之处？解：格波的量子声子与黑体辐射的量子光子都是能量量子，都具有一定的能量和动量，但是声子在与其它粒子相互作用时，总能量守恒，但总动量却不一定守恒；而光子与其它粒子相互作用时，总能量和总动量却都是守恒的。 “声子气体”与真实理想气体的相同之处是粒子之间都无相互作用，而不同之处是“声子气体”的粒子数目不守恒，但真实理想气体的粒子数目却是守恒的。6.晶格比热容的爱因斯坦模型和德拜模型采用了什么简化假设？各取得了什么成就？各有什么局限性？为什么德拜模型在极低温度下能给出精确结果？解：我们知道晶体比热容的一般公
13、式为 2)/(201)()( TkBVBmedkTEc由上式可以看出，在用量子理论求晶体比热容时，问题的关键在于如何求角频率的分布函数 。但是对于具体的晶体来讲， 的计算非常复杂。为此，在爱因斯坦模型)()(中，假设晶体中所有的原子都以相同的频率振动，而在德拜模型中，则以连续介质的弹性波来代表格波以求出 的表达式。)(爱因斯坦模型取得的最大成就在于给出了当温度趋近于零时，比热容 亦趋近于零的Vc结果，这是经典理论所不能得到的结果。其局限性在于模型给出的是比热容 以指数形式趋近于零，快于实验给出的以 趋近于零的结果。德拜模型取得的最大成就在于它给出了3T在极低温度下，比热和温度 成比例，与实验结
14、果相吻合。其局限性在于模型给出的德拜温度 应视为恒定值，适用于全部温度区间，但实际上在不同温度下，德拜温度 是D D8不同的。在极低温度下，并不是所有的格波都能被激发，而只有长声学波被激发，对比热容产生影响。而对于长声学波，晶格可以视为连续介质，长声学波具有弹性波的性质，因而德拜的模型的假设基本符合事实，所以能得出精确结果。10.试求质量为 ，原子间距为 ，力常数交错为 ， 的一维原子链振动的色散关系。m2/a12当 时，求在 和 处的 ，并粗略画出色散关系。1200q)(q解：下图 3.3 给出了该一维原子链的示意图x2n-2 x2n+1 x2n x2n+1 x2n+2 x2n+3图 3.3
15、在最近邻近似和简谐近似下，第 2n 和第（2n+1）个原子的运动方程为 )()( 212121222 nnn nn xxdtxm（1）当 时，上述方程组（1）可变为20 )(10)(102122 212 nnn nxxdtxm（2）为求格波解，令2)1(12tqanintiBexA（3）将（3）式代入（2）式，可导出线性方程组为 0)1()10()22/2/1 /BmAemeiqaiqa iqai（4）令 ，从 ， 有非零解的系数行列式等于零的条件可得201ABa2m2 1 2 1 290)1)(10()1( 2/2/2/420 iqaiqaiiqaee（5）由（5）式可解出 )cos(20当
16、 时， ， ，0q1cosqa0当 时， ， ，202其色散关系曲线如下图 3.4 所示： O a a图 3.4 原子间的力常数不相等的双原子链的晶格振动色散关系曲线 11.如有一维布喇菲格子，第 个原子与第 个原子之间的力常数为 ；而第 个原n212nn2子与第 个原子的力常数为 。12n（1） 写出这个格子振动的动力学方程；（2） 说明这种情况也有声学波和光学波；（3） 求 时，声学波和光学波的频率；0q（4） 求 （ 为晶格常数）时，声学波和光学波的频率。a2解：（1）此题与（11）题基本相似，在最近邻近似和简谐近似下，同样可以写出第和第 个原子的动力学方程为n20202q10 )()(
17、 211221122 nnnn xxdtxm（1）（2）为求出方程组（1）的格波解，可令)12(12tqaninBexA（2）于是将（2）式代入（1）式，可导出线性方程组为 0)()( 22 BmAemeiqaiqa iqai（3）令 ， ， 从 、 有非零解的系数行列式等于零的条件20212可得0)2cos()( 214120 qa（4）由（4）式可解出cs2142120（5）由此可知， 的取值也有 和 之分，即存在声学波和光学波（3）由（5）式可知当 时， ，有0q12cosqa声学波频率 ，光学波频率)(20 )(2120（4）同样由（5）式可知当 时， ，有aq21cosq声学波频率
18、，光学波频率220 212011(a) (b)轻 原 子重 原 子16.设晶体由 个原子组成，试用德拜模型证明格波的状态密度为N。239)(mN式中 为格波的截止频率。m解：在德拜模型中，假设晶体的振动格波是连续介质的弹性波，即有色散关系qvp（1）那么格波的状态密度为2341)2(qdV32pv（2）又根据 mNd03)(（3）将（2）式代入（3）式得mNdvVp032（4）由（4）式可得 NVvmp23318（5）把（5）式代入（2）式即可得 239)(mN18.应用德拜模型，计算一维、二维情况下晶格振动的状态密度、德拜温度、晶格比热容。12解：在德拜模型中，假设晶体的振动格波是连续介质的
19、弹性波，即有色散关系qvp（1）（1）在一维情况下，晶格振动的状态密度为pvLdq21)(（2）上式中， 表示一维晶格的总长度。L又由关系式 mNd0)(（3）将式（3）代入式（2）可得 ，由此求得mNdvLp0 LNvpm于是德拜温度 kBmD晶体的比热容为 dvLeTkc pTkBVBm 2)/(20 1)(（其中 ）)/(022xpmvL TkxB（2）在二维情况下，晶体振动的格波有 2 支，即一支纵波和一支横波，在德拜模型中，假设纵波和横波的波速相等，都等于 ，即纵波和横波都有如下的色散关系pqv先考率纵波，其状态密度为2211)(pvSqdS类似地可以写出横波的状态密度为 22)(p
20、v加起来总的状态密度为221)()(pvS13（4）又由关系式 mNd02)(（5）将（4）式代入（5）式得 ，由此可得mNdvSp02 214SNvPm于是得德拜温度为214SvkPBmD而晶体的比热容为dvSeTkc pTkBVBm 2)/(20 1)(（其中 ）)/(02323xpmvS TkxB第四章能带理论 第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动1.布洛赫电子论作了哪些基本近似？它与金属自由电子论相比有哪些改进？解：布洛赫电子论作了 3 条基本假设，即绝热近似，认为离子实固定在其瞬时位置上，可把电子的运动与离子实的运动分开来处理；单电子近似，认为一个电子在离子实和其它电子所形成的势场
21、中运动；周期场近似，假设所有电子及离子实产生的场都具有晶格周期性。布洛赫电子论相比于金属自由电子论，考虑了电子和离子实之间的相互作用，也考虑了电子与电子的相互作用。5.近自由电子模型与紧束缚模型各有何特点？它们有相同之处？解：所谓近自由电子模型就是认为电子接近于自由电子状态的情况，而紧束缚模型则认为电子在一个原子附近时，将主要受到该原子场的作用，把其它原子场的作用看成微扰作用。这两种模型的相同之处是：选取一个适当的具有正交性和完备性的布洛赫波形式的函数集，然后将电子的波函数在所选取的函数集中展开，其展开式中有一组特定的展开系数，将展开后的电子的波函数代入薛定谔方程，利用函数集中各基函数间的正交
22、性，可以得到一组各展开系数满足的久期方程。这个久期方程组是一组齐次方程组，由齐次方程组有解条件可求出电子能量的本征值，由此便揭示出了系统中电子的能带结构。8.试述有效质量、空穴的意义。引入它们有何用处？解：有效质量实际上是包含了晶体周期势场作用的电子质量，它的引入使得晶体中电子准经典运动的加速度与外力直接联系起来了，就像经典力学中牛顿第二定律一样，这样便于我们处理外力作用下晶体电子的动力学问题。当满带顶附近有空状态 时，整个能带中的电流，以及电流在外电磁场作用下的变化，k完全如同存在一个带正电荷 和具有正质量 、速度 的粒子的情况一样，这样一个q*mv(k)aa14假想的粒子称为空穴。空穴的引
23、入使得满带顶附近缺少一些电子的问题和导带底有少数电子的问题十分相似，给我们研究半导体和某些金属的导电性能带来了很大的方便。18.用紧束缚方法处理面心立方的 s 态电子，若只计及最近邻相互作用，试导出其能带为 )2cos2cos2co(4)(0 akakakJAEk xzzyyx 并求能带底部电子的有效质量。解：当只计及最近邻格点的相互作用时，用紧束缚近似方法处理晶体的 s 态电子，其能带 的表达式可写为)(k近 邻sskJeAEkR0)(上式中 ， ，s0 0)()(2dVUi（其中 表示晶体中的周期性(* Jisi )(U势场，也即各格点原子势场之和； 为最近邻格点的原子势场； 为最近邻格点
24、的位)(sR矢） 。对面心立方晶格，取原点为参考点，则其最近邻的 12 个格点的位矢坐标值为（ ， ，0） ， （ ， ，0） ， （ ， ，0） ， （ ， ，0）2a2a2a2a（ ，0， ） ， （ ，0， ） ， （ ，0， ） ， （ ，0， ）（0， ， ） ， （0， ， ） ， （0， ， ） ， （0， ， ）将上述的 12 套坐标值代入上述的 的表达式，可得)(kE)( )(2)(2)(2)(20 yxyxyxyx kaikaiaikai eeJAEk )()()()(2 zxzxzxzx ikiikaie)(2)(2)(2)( zyzyzyzy kaiaikaii e)(
25、coscoscos0 zxyxyx kJAE )(2)(2)(2s zzzx kkk)2coscoscos40 akaaJ xzzyyx由于 ，所以当 时， 有最小值 ，即J0zyxk)(kEJAE10min15为能带底部。选取 ， ， 轴沿张量主轴方向，则有 ，xkyz 0* zyzxyxx mm而在能带底部有2222* )cossco(s/ JakakaJkEm xzyxxx 2222* )cssc(s/ JkkJak zyyxyy 2222* )cossco(s/ JakakJkEm xzzyzz 19. 写出一维近自由电子近似，第 n 个能带（n=1，2，3， ）中，简约波数 的 0 级7ka波函数。amk2mxaixkikeL201第一区： n=1,m=0 , 7ka071ixaeL第二区： n=2, ak2, k37ka1m1307ixeL第三区： n=3, a3,27ka157ka1m1507ixeL16
