1、 函数值域求法十五种 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。 基本知识 1.定义：因变量 y 的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合） 。 2.函数值域常见的求解思路： 划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解
2、。 反解函数，将自变量 x 用函数 y 的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数 y 的不等式，解不等式即可获解。 可以从方程的角度理解函数的值域，从方程的角度讲，函数的值域即为使关于 x 的方程 y=f(x)在定义域内有解的 y 得取值范围。 特别地，若函数可看成关于 x 的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。 可以用函数的单调性求值域。 其他。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域 例 1. 求函数 的值域。 解： 显然函数的值域是： 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最
3、基本的方法之一。 例 2. 求函数 的值域。 解：将函数配方得： 由二次函数的性质可知：当 x=1 时， ，当 x=-1 时， 故函数的值域是：4，8 3. 判别式法 例 3. 求函数 的值域。 解：两边平方整理得： （1） 解得： 但此时的函数的定义域由 ，得 由 ，仅保证关于 x 的方程： 在实数集 R 有实根，而不能确保其实根在区间0， 2上， 即不能确保方程 （1） 有实根， 由 求出的范围可能比 y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为 。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 代入方程（1） 解得： 即当 时， 原函数的值域为： 注： 由判别式法来判断函数的值域时， 若原函数
4、的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4. 反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例 4. 求函数 值域。 解：由原函数式可得： 则其反函数为： ，其定义域为： 故所求函数的值域为： 5. 函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 例 5. 求函数 的值域。 解：由原函数式可得： ，可化为： 即 即 解得： 故函数的值域为 6. 函数单调性法 例 6. 求函数 的值域。 解：令 则 在2，10上都是增函数 所以 在2，10上是增函数 当x=2时， 当x=10时， 故所求函数的
5、值域为： 例 7. 求函数 的值域。 解：原函数可化为： 令 ，显然 在 上为无上界的增函数 所以 ， 在 上也为无上界的增函数 所以当 x=1 时， 有最小值 ，原函数有最大值 显然 y0，故原函数的值域为 7. 换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作 例 8. 求函数 的值域。 解：因 即 故可令 故所求函数的值域为 例 9. 求函数 的值域。 解：原函数可变形为： 可令 ，则有 当时， 当时， 而此时 有意义。 故所求函数的值域为 例 10. 求函数 ， 的值域。 解
6、： 令，则 由 且 可得： 当 时， ，当 时， 故所求函数的值域为 。 例 11. 求函数 的值域。 解：由 ，可得 故可令 当时， 当时， 故所求函数的值域为： 8. 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。要学习网,只做中学生最喜欢、最实用的学习论坛，地址 手机版地址 例 12. 求函数 的值域。 解：原函数可化简得：y=|x-2|+|x+8| 上式可以看成数轴上点 P（x）到定点 A（2） ，B(-8)间的距离之和。 由上图可知，当点 P 在线段 AB 上时，y=|x-2|+|
7、x+8|=|AB|=10 当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时，y=|x-2|+|x+8|AB|=10 故所求函数的值域为： 例 13. 求函数 的值域。 解：原函数可变形为： 上式可看成 x 轴上的点 P(x,0)到两定点 A(3,2),B(-2,-1)的距离之和， 由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时， ， 故所求函数的值域为 例 14. 求函数 的值域。 解：将函数变形为： 上式可看成定点 A（3，2）到点 P（x，0）的距离与定点 B(-2,1)到点P(x,0)的距离之差。 即：y=|AP|-|BP| 由图可知： （1）当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x
8、轴的交点时，如点P，则构成ABP，根据三角形两边之差小于第三边，有即： （2）当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时，有 综上所述，可知函数的值域为： 注：由例 13，14 可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使 A、B 两点在 x 轴的两侧， 而求两距离之差时， 则要使 A， B 两点在 x 轴的同侧。 如：例 13 的 A，B 两点坐标分别为： （3，2） ，(-2,-1)，在 x 轴的同侧；例 14 的 A，B 两点坐标分别为（3，2） ，(2,-1)，在 x 轴的同侧。 9. 不等式法 利用基本不等式 ，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为
9、定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例 15. 求函数 的值域。 解：原函数变形为： 当且仅当 tanx=cotx 即当 时，等号成立 故原函数的值域为： 例 16. 求函数 y=2sinxsin2x 的值域。 解：y=4sinxsinxcosx 当且仅当 ，即当 时，等号成立。 由 可得： 故原函数的值域为： 10. 映射法 原理：因为 在定义域上 x 与 y 是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。 例 17. 求函数 的值域。 解：定义域为 由得 故或 解得 故函数的值域为 11最值法 对于闭区间a,b上的连续函数 y=f(x),可求出 y
10、=f(x)在区间a,b内的极值,并与边界值 f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数 y 的值域。要学习网,只做中学生最喜欢、最实用的学习论坛，地址 手机版地址 例 18.已知 ,且满足 x+y=1,求函数 z=xy+3x 的值域。 点拨： 根据已知条件求出自变量 x 的取值范围， 将目标函数消元、 配方，可求出函数的值域。 解： ，上述分式不等式与不等式 同解，解之得1x3/2，又 x+y=1，将 y=1-x 代入 z=xy+3x 中，得 (-1x3/2), 且 x-1,3/2,函数 z 在区间-1,3/2上连续，故只需比较边界的大小。 当 x=-1 时，z=5；当 x=3/
11、2 时，z=15/4。 函数 z 的值域为z5z15/4 。 点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。 12.构造法 根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。 例 19.求函数 的值域。 点拨： 将原函数变形， 构造平面图形， 由几何知识， 确定出函数的值域。 解：原函数变形为 作一个长为 4、宽为 3 的矩形 ABCD，再切割成 12 个单位正方形。设HK=x,则 EK=2-x,KF=2+x, ,。 由三角形三边关系知， AK+KCAC=5。 当A、 K、 C 三点共线时取等号。 原函数的知域为y|y5 。 点评：对于形如函数
12、 (a,b,c 均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。 13比例法 对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。 例 20.已知 x,yR，且 3x-4y-5=0,求函数 的值域。 点拨：将条件方程 3x-4y-5=0 转化为比例式，设置参数，代入原函数。 解：由 3x-4y-5=0 变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k 为参数) x=3+4k,y=1+3k, 。 当 k=3/5 时，x=3/5,y=4/5 时， 。 函数的值域为z|z1. 点评： 本题是多元函数关系， 一般含有约束条
13、件， 将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。 14利用多项式的除法 例 21.求函数 y=(3x+2)/(x+1)的值域。 点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。 解：y=(3x+2)/(x+1)=31/(x+1)。 1/(x+1)0，故 y3。 函数 y 的值域为 y3 的一切实数。 点评：对于形如 y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。 15. 多种方法综合运用 例 22. 求函数 的值域。 解：令 ，则 （1）当 t0 时， ，当且仅当 t=1，即 x=-1 时取等号，所以 （2）当 t=0 时，y=0。 综上所述，函数的值域为： 注：先换元，后用不等式法 例 23. 求函数 的值域。 解： 令，则 当 时， 当时， 此时 都存在，故函数的值域为 注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用 的有界性。 总之， 在具体求某个函数的值域时， 首先要仔细、 认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
