1、数学模型论文题目：商业公司的最佳订货方案作者：信计 2 班 林育智 091614229信计 2 班 陈茵娜 091614210会计学六班 吴翠霞 0915516292A 题：商业公司的最佳订货方案摘要随着科技的日新月异，经济市场的日益开放，商业公司在物资订购方面的选择方案也趋向多样化。本文讨论的是商业公司在销售允许缺货的情况下的最佳订货方案。为了使总的订购费达到最优，我们在合理假设的情况下针对问题关键进行分析，整合数据，建立了以全年订货费（包括订购费、成本费、运输费、存储费以及缺货损失费）为目标函数的非线性整数规划模型，结合一系列的约束条件，运用 LINGO 进行求解，对数据进行优化处理，得出
2、最佳订货方案。由于竞争的激烈性，很多情况下会出现厂家以提供优惠方案的形式来吸引购买方，而购买方也倾向于向这些厂家订购货物，在解决问题二时，我们引用问题一的模型，并通过对单价与优惠的相关分析，结合相关约束条件，对订货的流程以及所需借助的模型进行了详细的分析之后，求得最优方案。考虑到现实中货物的运输单价是会随着物品的体积而发生波动的，在问题二的基础上，进一步对模型进行改进，使其能够更好地切合实际，借助非线性整数规划的数学算法求出最优的订货以及运输方案。本模型通过对问题进行恰当的分析和求解，并联系实际对模型进行改进，具有很好的实用性，主要适用于经济调控、计划生产与人员管理方面。虽然在假设过程中对某些
3、变量进行了限制，但相应变量仍是过多，可能导致误差。在模型改进过程中亦仅考虑单一因素，而未进行全面分析，因此在改进中提出思想。关键词：非线性整数规划模型 LINGO 软件 运输方案3目录摘要 .2一、问题重述 .41.1 背景 .41.2 相关数据 .5二、问题分析与假设 .6三、变量及符号说明 .6四、模型建立及求解 .7（一）问题一的分析与求解 .74.1.1 分析 .71.2 求解 10（二） 问题二的分析与求解 .114.2.1 分析 .114.2.2 求解 .13（三） 问题三的分析与求解 .134.3.1 改进分析 .134.3.2 求解 16五、模型评价与改进.18六、参考文献18
4、七、附件 .19(一)模型求解程序 .197.1.1 问题 1 代码： 197.1.2 问题 2 代码： 267.1.3 问题 3 代码： 34(二)运行结果： .427.2.1 问题 1 结果： 427.2.2 问题 2 结果： 587.2.3 问题 3 结果： 744一、 问题重述1.1 背景某个商业公司管理着 5 个仓库（B1B5）和 8 个分店（C1C8） ，主要经营10 种物资，而这些物资全部向 3 个工厂(A1A3)进货。公司的工作流程是根据8 个分店的销售需要，先向工厂订货，然后将各种物资运送到仓库，再由仓库运送到分店进行销售。分店只消耗物资，不储存物资。各个工厂生产 10 种物
5、资的全部或部分物资，年产量如表一，而各种物资单价如表二。每个工厂到每个仓库的运输单价如表三，每个仓库的容量如表四。同种物资在不同的仓库的库存费一样，而不同物资的库存费是不同的，另外每种物资有着自己的体积，物资的库存费与单位占用库容如表五。5 个仓库到 8个分店的运输单价如表六，个分店对物资的年需求量如表七。公司每次订货都会有其它的各种花费，称为订货费，设公司每次的订货费为 1 万元，另外，一次订货可使用的流动资金上限为 100 万元，如果进行销售时允许缺货，但是缺货的损失费是存储费的 2 倍，请问：公司一年之中应该怎样组织订货使得总的花费最少？如果 A1 工厂有订购优惠活动，物资订购量每增加
6、30 件订购单价就会降低 5 元，最多优惠 15 元，公司又应该怎样组织订货？若将该问题改为更加接近实际些，哪些条件可以变动？试给出一种具体情形对第二问再作进一步的讨论。1.2 相关数据（表一：3 个工厂生产 10 种物资的年产量）年产量（万件/年） M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10A1 0.2 - 0.3 0.1 0.32 0.1 - 0.2 0.15 0.15A2 0.2 0.13 - 0.1 - 0.15 0.2 0.15 - 0.12A3 - 0.25 0.08 0.15 - 0.1 0.14 - 0.25 0.15（表二：3 个工厂生产的 10 种物资的单
7、价）订购单价（元/件） M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10A1 100 - 210 250 290 300 - 430 450 5005A2 90 180 - 240 - 305 380 435 - 490A3 - 170 210 245 - 285 400 - 450 480（表三：3 个工厂到 5 个仓库的运输单价）运价（元/件） B1 B2 B3 B4 B5A1 - 10 14 17 13A2 10 8 - 9 16A3 15 16 9 15 -（表四：四个仓库的库容量）仓库 B1 B2 B3 B4 B5容量（ 3） 800 600 1000 700 800（表
8、五：10 种物资的单件库存费和体积）物资 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10单位库存费（元/件年） 40 70 90 100 120 120 150 160 180 200体积（ 3/件） 1.5 1.0 1.5 2.0 1.5 0.5 1.5 2.0 1.0 0.5（表六：5 个仓库到 8 个分店的单位运价）运价（元/件） C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8B1 3 2 3 6 3 1 4 5B2 - 3 3 - 5 2 5 3B3 5 - 2 5 - 5 - 4B4 4 1 4 4 2 - 2 -B5 2 2 5 3 5 2 5 2（表七：8 个分店对
9、 10 种物资的需求量）需求量（件/年） M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10C1 60 300 800 100 200 600 400 80 150 600C2 90 800 500 1200 500 400 200 100 800 500C3 150 500 400 800 600 - 800 800 400 -C4 300 400 200 400 150 800 500 150 1500 400C5 400 - 150 100 200 300 - 400 90 800C6 500 200 1000 - 400 150 1000 1000 200 4006C7 80
10、0 1200 90 150 90 1000 90 500 100 1000C8 1500 200 500 500 1000 90 150 200 500 200二、问题分析与假设要求最小的订货费用，必须先明确总的订货费用的构成成分，即包括订货成本、订货费、从工厂到仓库的运输费、从仓库到分店的运输费、存储费和缺货损失费；若存在优惠订购的政策，公司在订购货物时可能会尽可能多地从该工厂订购货物，从而减少总的订购费用。基于众多不确定因素，综合具体实际情况，我们提出以下模型的合理假设：1、每次订购和运输的货物的量均相等；2、每次销售都出现缺货情况，且每次所缺货物的量均相等；3、每次订货的流动资金包括订货
11、费 10000 元，从工厂运到仓库的运费及订购货物的总费用4、假设分配到分店的货物年总量小于等于分店年需求总量（出现缺货）5、假设每次出现缺货，均不影响下一次订货量三、变量及符号说明i ： 工厂编号j ： 仓库编号k ： 货物编号l ： 分店编号n ：订货次数tk ：库存量为零的时间点Mik ： 第 i 个工厂生产第 k 种货物的产量Vk ： 第 k 种货物的库存体积7Yk ： 每次订货 k 货物缺少的量Xijk ： 第 i 工厂运输到第 j 仓库第 k 种货物的量Eij ： 第 i 工厂运输到第 j 仓库的运价Aik ： 从第 i 工厂订购第 k 种货物的单价Pjl ： 第 j 仓库到第 l
12、 分店的运价Yjlk ： 从第 j 仓库到第 l 分店第 k 种货物的量Clk ：第 l 分店对第 k 种货物的需求量Bk ： 第 k 单位的库存费Rj ： 第 j 个仓库的容量Ik：第 i 种货物的单位体积Lij：第 i 工厂到 j 仓库的单位体积物资的运输费。四、模型建立和求解（一）问题一的分析与求解1.1 问题分析要求得最小的订货总费用，必须先明确总的订货费用的构成成分，即包括订货成本、订货费、从工厂到仓库的运输费、从仓库到分店的运输费、存储费和缺货损失费，其中比较复杂的是存储费和缺货损失费的确定，涉及到每种货物的需求量及订货量等变量的关系。一次订货的总花费=订货成本+ 订货费+从工厂到
13、仓库的运输费 +从仓库到分店的运输费+ 存储费+ 缺货损失费以下对于订货总费用的构成部分分别进行分析：购买 10 种物资的费用即为每种物资的订购总量与该种物资的单价之积的总和，为：8订货成本=3105ijkiikjXA将物资从工厂运送到仓库的费用即为从各工厂运送到各仓库的物资数量与该工厂到该仓库的运输费用单价之积的总和，为：从工厂到仓库的运输费= 3150)*(ijkijijEX将物资从仓库运送到分店的费用即为从各仓库运送到各分店的物资数量与该仓库到该工厂的运输费用单价之积的总和，为：从仓库到分店的运输费= 5180)*(jlkjljlPY仓库的总存储费为仓库的各货物的量与各单价库存费的乘积的
14、总合，为：存储费= 1035)*(kijkijBX在允许缺货的情况下，知缺货损失费时存储费得两倍，可得： 缺货损失费= 2kYB由以上分析可得，每次购货的总费用为： 31053510581010ijki ijkij jlkjlikj ij jlZXAXEYP对上题进行分析之后，得出以下约束条件：单次订购物资可使用的流动资金上限为 1000000 元，即：10000+ + 10000003105)*(ikjikijAX3150)*(ijkijijEX一年内从第 个工厂订购第 种物资的总量应该小于或等于第 种物资在第i k9个工厂的最大年产量，即：in* 10000*M ik(k=1,10; i=
15、1,2,3)51jijkX每个仓库的库存量应该小于或等于各仓库允许的最大库容量，即：R j (j=1,5)103)*(kikijVX在假设每次销售都出现缺货的情况下，从各仓库运输第 种物资到第 l 个k分店的总量会小于第 l 个分店一年内对物资的需求量，即：n* Clk ( l=1,8; k=1,10 )51jlkY每次从工厂到仓库运输的货物的量均为正整数，即：XijkN + ( i=1,2,3; j=1,5; k=1,10 )每次从仓库到分店运输的货物的量均为正整数，即：YjlkN + (j=1,5; l=1,8; k=1,10) 从各工厂运进第 个仓库的第 种物资的总量应该与从第 个仓库运
16、出的jkj第 种物资总量相等，即：k= ( j=1,5; k=1,10 )31iijkX81ljlkY综上，规划模型的目标函数为： 3105351010355810102ijki ijkij ijk jlkjlkikij ki jlZnXAXEXBYPB 10约束条件为：.ts1.2 问题求解运用 Lingo 软件求解以上的非线性规划问题（Lingo 程序见附录程序一） ，得到最少订货总花费为 21620060 元，一年内需订货约 14 次，用gin()语句对A12=10000 A17=10000 A23=10000 A25=10000 A29=10000 A31=10000 A35=1000
17、0 A38=10000 M12=0 M17=0 M23=0 M25=0 M29=0 M31=0 M35=0 M38=0E11=10000 E23=10000 E35=10000P21=10000 P24=10000 P32=10000 P35=10000 P37=10000P46=10000 P48=1000010000+ + 10000003105)*(ikjikijAX3150)*(ijkijijEXn* 1000*M ik(k=1,10; i=1,2,3) 51jijkRj (j=1,5)103)*(kikijVXn* C lk ( l=1,8; k=1,10)51jlkYXijk0 (
18、 i=1,2,3; j=1,5; k=1,10 )= ( j=1,5; k=1,10 )31iijk81ljlkYA12=10000 A17=10000 A23=10000 A25=10000 A29=10000 A31=10000 A35=10000 A38=10000 M12=0 M17=0 M23=0 M25=0 M29=0 M31=0 M35=0 M38=0E11=10000 E23=10000 E35=10000P21=10000 P24=10000 P32=10000 P35=10000 P37=10000P46=10000 P48=1000011数据进行求整，得出每次订货和运输的
19、具体最优方案，如下表从工厂订购货物的方案：（单位：件）货物工厂 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10A1 52 - - - 2 15 - 5 - -A2 - 76 - 10 - - - - - -A3 - 173 41 - - - - - 40 -工厂到仓库的运输方案：（单位：件）仓库工厂 B1 B2 B3 B4 B5A1 - 22 - - 52A2 - 86 - - -A3 - - 254 - -仓库到分店的分配方案：（单位：件）分店仓库 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8B1 - - - - - - - -B2 - - - - - 111 - -B3 -
20、 - 236 - 17 - - -B4 - - - - - - - -B5 26 - - - - - - -从表格可以看出，在该模型的运行下不会出现缺货现象，即不会产生损失费，而且通过程序求出 n 的值为 14，但当 n 的值自己定义时，会发现 n 的值越小，费用越低，因此 n 取 14 为最优解，该模型所得方案可认为是最优方案。(二)问题二的分析与求解2.1 问题分析由于问题二中除了从第 1 工厂订购的货物的单价会随着订购数量的变化而变化外，其他的条件都没有改变，因此沿用问题一的模型，即目标函数不变，对问题进行求解。由题意可知，从第一工厂订购货物在优惠情况下所订购货物的单价与优惠条件构成分段
21、函数125151519066030,jijkikjiji jijkikjijkikik XAXA因此在原有的约束条件下加上该分段函数作为约束条件对问题进一步约束规划；13.ts10000+ + 10000003105)*(ikjikijAX3150)*(ijkijijEX n* 1000*M ik(k=1,10; i=1,2,3) 51jijk Rj (j=1,5)103)*(kikijVX n* = Clk ( l=1,8; k=1,10)51jlkY Xijk0 ( i=1,2,3; j=1,5; k=1,10 )= ( j=1,5; k=1,10 )31iijk81ljlkYA12=10
22、000 A17=10000 A23=10000 A25=10000 A29=10000 A31=10000 A35=10000 A38=10000 M12=0 M17=0 M23=0 M25=0 M29=0 M31=0 M35=0 M38=0E11=10000 E23=10000 E35=10000P21=10000 P24=10000 P32=10000 P35=10000 P37=10000P46=10000 P48=1000051515190,6,6030, jijkikjiji jijkikjijkikik XAXA142.2 问题求解同样运用 Lingo 软件求解以上的非线性规划问题
23、（Lingo 程序见附录程序二） ，得到最少订货总花费为 21617160 元，一年内需订货约 14 次，取整之后得出每次订货和运输的具体最优方案，如下从工厂订购货物的方案：（单位：件）货物工厂 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10A1 52 - 40 - 2 15 - 5 39 -A2 - 76 - 10 - - - - - -A3 - 173 - - - - - - - -工厂到仓库的运输方案：（单位：件）仓库工厂 B1 B2 B3 B4 B5A1 - 61 - - 92A2 - 86 - - -A3 - - 172 - -仓库到分店的分配方案：（单位：件）分店仓库
24、 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8B1 - - - - - - - -B2 - - - - - 291 - -B3 - - 157 - 17 - - -B4 - - - - - - - -B5 26 - - - - - - -相对于问题一，在该模型的求解下，所需费用减少，因此可以认为在对约束条件进行修改限定是合理的。(三)问题三的分析与求解3.1、改进分析由于现实中的货物的运输单价是会随着物品的体积而发生波动的，我们对问题二的模型进行改进，使其能够更好地切合实际，从而得出最优的运输方案：综合表三和表五，易得物品的运输单价与物品的体积的关系表，如下：运价(元/m3) B1 B2 B
25、3 B4 B5A1 - 7.7 10.8 13.1 10A2 7.7 6.2 - 6.9 12.3A3 11.5 12.3 6.9 11.5 -15在其余条件与第二小问相同的情况下，求出最优的订货以及运输方案。因为问题三也与问题二有同样的整体思路，所以根据分析，我们决定同样在问题二的模型上进行改进，利用改进的非线性整数规划对该问题进行求解，以此求得最优方案。而首先要做的还是要确定目标函数和约束条件。目标函数是由订货时发生的订货费、出厂费、从工厂到仓库的运输费、仓库的存储费、销售时从仓库到分店的运输费、缺货时的缺货费这六部分组成的总花费。而此时将物资从工厂运送到仓库的费用即为从各工厂运送到各仓库
26、的物资数量、各种物资的单位体积与从各工厂运送到各仓库的单位体积物资的运输费之积的总和，为：nXILi kijkkjij 311015再结合问题 2 可得出目标函数为：Z=n*( + + +3105)*(ikjikijAXnXILijkijkij *)(315105180)*(jlkjljlPY+ 2*Yk*Bk+10000)0135)(kijkijB一次订货使用的流动资金中就包含出厂价、从工厂到仓库的运输费以及订货费，所以问题 2 中相对应的约束条件改为： 10000+ + 10000003105)*(ikjikijAXnXILijkijki *)(*(31510其余约束条件与问题 2 中一样
27、综上可得：我们得到另一改进的整数非线性规划模型为：目标函数为： 3105351058101035kZn*(*)(*)(*)(*) 2YBijkiijkij jlkjl ijkij i jl kijXALIXnYPnXBn 约束条件为：16.ts10000+ + 10000003105)*(ikjikijAXnXILijkijki *)(*(31510 n* 1000*M ik(k=1,10; i=1,2,3) 51jijk Rj (j=1,5)103)*(kikijVX n* C lk ( l=1,8; k=1,10)51jlkY Xijk0 ( i=1,2,3; j=1,5; k=1,10
28、)= ( j=1,5; k=1,10 )31iijk81ljlkYA12=10000 A17=10000 A23=10000 A25=10000 A29=10000 A31=10000 A35=10000 A38=10000 M12=0 M17=0 M23=0 M25=0 M29=0 M31=0 M35=0 M38=0E11=10000 E23=10000 E35=10000P21=10000 P24=10000 P32=10000 P35=10000 P37=10000P46=10000 P48=1000051515190,906,630, jijkikjiji jijkikjijkikik
29、 XAXA173.2 问题求解同样运用 Lingo 软件求解以上的非线性规划问题（Lingo 程序见附录程序二） ，得到最少订货总花费为 21464600 元，一年内需订货约 14 次，取整之后得出每次订货和运输的具体最优方案，如下从工厂订购货物的方案：（单位：件）货物工厂 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10A1 52 - - - 2 15 - 5 - -A2 - 76 - 10 - - - - - -A3 - 172 40 - - - - - 39 -工厂到仓库的运输方案：（单位：件）仓库工厂 B1 B2 B3 B4 B5A1 - 22 - - 52A2 - 86
30、- - -A3 - - 251 - -仓库到分店的分配方案：（单位：件）分店仓库 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8B1 - - - - - - - -B2 - - - - - 110 - -B3 - - 233 - 17 - - -B4 - - - - - - - -B5 26 - - - - - - -18五、模型评价与改进优点：1在对原问题进行正确地分析之后，建立了允许缺货的数学模型，不仅符合实际情况，同时也能够得到很好的订货方案；2能够对所给问题中的不切实际的情况进行改进，并建立一个运输费随着货物体积的波动而波动的数学模型，最终也很好地解决了问题，给出了最优的订货方案。3模
31、型的建立相对简单，思路清晰。缺点：1模型仅建立在对实际情况的单方面分析下，未进行全方面分析2由于限制条件过多导致有些商品没有订购和有些商店没有开店。改进：虽然在问题 2 以及问题 3 都已经结合实际实际情况分别从工厂在有优惠活动的情况下以及在工厂到仓库的运输费会随着货物的体积的不同而波动的情况下进行讨论分析，并得出相应情况下的最优方案。但是，在商业公司的订货中不仅仅会出现上述情况，要使更结合实际情况的订货方案达到最优，我们还应该考虑工厂的产量与货物的价格之间的函数关系、订货后，工厂如何分配送货，从而减少存储费以及如何分配来减少甚至是不出现缺货情况等因素，得到最终的最优订货方案。六、参考文献1姜
32、启源，数学模型(第三版)，高等教育出版社，2003.82胡运权，运筹学教程，清华大学出版社，2003 年 5 月3陈思，浅析采购价值与缺货成本的关系，物流工程与管理，05 期,2010 4 韩中庚， 实用运筹学:模型、方法与计算，北京：清华大学出版社，2007 年；5 徐玖平、胡知能、李军，运筹学（II 类） ，北京：科学出版社，2004。19七、附件（一）模型求解程序：7.1.1 问题（1）的模型求解程序：model:min=n*(100*x111+10000*x112+210*x113+250*x114+290*x115+300*x116+10000*x117+430*x118+450*x
33、119+500*x1110+100*x121+10000*x122+210*x123+250*x124+290*x125+300*126+10000*x127+430*x128+450*x129+500*x1210+100*x131+10000*x132+210*x133+250*x134+290*x135+300*x136+10000*x137+430*x138+450*x139+500*x1310+100*x141+10000*x142+210*x143+250*x144+290*x145+300*x146+10000*x147+430*x148+450*x149+500*x1410+10
34、0*151+10000*x152+210*x153+250*x154+290*x155+300*x156+10000*x157+430*x158+450*x159+500*x1510+90*x211+180*x212+10000*x213+240*x214+10000*x215+305*x216+380*x217+435*x218+10000*x219+490*x2110+90*x221+180*x222+10000*x223+240*x224+10000*x225+305*x226+380*x227+435*x228+10000*x229+490*x2210+90*x231+180*x232
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